2021高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專項(xiàng)突破立體幾何中的平行與垂直含解析

這是一份2021高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專項(xiàng)突破立體幾何中的平行與垂直含解析，共21頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?立體幾何中的平行與垂直
一、單選題
1、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）m、n是平面外的兩條直線，在m∥的前提下，m∥n是n∥的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
，則存在有.而由可得，從而有.反之則不一定成立，可能相交，平行或異面.所以是的充分不必要條件，故選A
2、（2020年高考浙江）已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線l，m，n．“l(fā) ，m，n共面”是“l(fā) ，m，n兩兩相交”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】依題意是空間不過同一點(diǎn)的三條直線，
當(dāng)在同一平面時(shí)，可能，故不能得出兩兩相交.
當(dāng)兩兩相交時(shí)，設(shè)，根據(jù)公理可知確定一個(gè)平面，而，根據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.
綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.
故選：B
3、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是（ ）
A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，平行與同一個(gè)平面
C．內(nèi)有兩條相交直線與內(nèi)兩條相交直線平行 D．，垂直與同一個(gè)平面
【答案】C
【解析】
對(duì)于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，可得與相交或或平行；
對(duì)于B，，平行于同一條直線，可得與相交或或平行；
對(duì)于C，內(nèi)有兩條相交直線與內(nèi)兩條相交直線平行，可得α∥β；
對(duì)于D，，垂直與同一個(gè)平面，可得與相交或或平行．
故選：C．
4、（2020屆浙江省嘉興市3月模擬）已知，是兩條不同的直線，是平面，且，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【解析】
A選項(xiàng) 有可能線在面內(nèi)的情形，錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)中l(wèi)與m還可以相交或異面，錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)中不滿足線面垂直的判定定理，錯(cuò)誤，
D選項(xiàng)中由線面垂直的性質(zhì)定理可知正確.
故選：D
5、（2020·浙江高三）已知α，β是兩個(gè)相交平面，其中l(wèi)?α，則（　?。?br /> A．β內(nèi)一定能找到與l平行的直線
B．β內(nèi)一定能找到與l垂直的直線
C．若β內(nèi)有一條直線與l平行，則該直線與α平行
D．若β內(nèi)有無數(shù)條直線與l垂直，則β與α垂直
【答案】B
【解析】
由α，β是兩個(gè)相交平面，其中l(wèi)?α，知：
在A中，當(dāng)l與α，β的交線相交時(shí)，β內(nèi)不能找到與l平行的直線，故A錯(cuò)誤；
在B中，由直線與平面的位置關(guān)系知β內(nèi)一定能找到與l垂直的直線，故B正確；
在C中，β內(nèi)有一條直線與l平行，則該直線與α平行或該直線在α內(nèi)，故C錯(cuò)誤；
在D中，β內(nèi)有無數(shù)條直線與l垂直，則β與α不一定垂直，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
6、（2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)）設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是（ ）
A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行
C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．
7、（2020屆浙江省高中發(fā)展共同體高三上期末）如果用表示不同直線，表示不同平面，下列敘述正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】D
【解析】
選項(xiàng)A中還有直線n在平面內(nèi)的情況，故A不正確，
選項(xiàng)B中再加上兩條直線相交的條件可以得到兩個(gè)平面平行，故B不正確，
選項(xiàng)C中還有相交，故C不正確，
故選：D．
8、（2020屆北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高三上學(xué)期8月開學(xué)數(shù)學(xué)試題）已知平面，是內(nèi)不同于的直線，那么下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【解析】選項(xiàng)：由線面平行的性質(zhì)可知正確.
選項(xiàng)：由線面平行的判定可知正確.
選項(xiàng)：由線面垂直的性質(zhì)可知正確.
選項(xiàng)：因?yàn)橐粭l直線垂直于平面內(nèi)的一條直線不能推出直線垂直于平面，故錯(cuò)誤.
故選：
9、（2020屆北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高三上學(xué)期10月月考）如圖，點(diǎn)P在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論：
三棱錐的體積不變；
平面；
；
平面平面．
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是　　

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【解析】

對(duì)于，由題意知，從而平面，
故BC上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，
所以以P為頂點(diǎn)，平面為底面，則三棱錐的體積不變，故正確；
對(duì)于，連接，，且相等，由于知：，
所以面，從而由線面平行的定義可得，故正確；
對(duì)于，由于平面，所以，
若，則平面DCP，
，則P為中點(diǎn)，與P為動(dòng)點(diǎn)矛盾，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，連接，由且，
可得面，從而由面面垂直的判定知，故正確．
故選：C．
10、（北京市海淀區(qū)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知、、是三個(gè)不同的平面，且，，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】如下圖所示，將平面、、視為三棱柱的三個(gè)側(cè)面，設(shè)，將、、視為三棱柱三條側(cè)棱所在直線，則“”“”；

另一方面，若，且，，由面面平行的性質(zhì)定理可得出.
所以，“”“”，因此，“”是“”的必要而不充分條件.
故選：B.

12、（2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則（ ）

A．BM=EN，且直線BM，EN 是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN 是相交直線
C．BM=EN，且直線BM，EN 是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN 是異面直線
【答案】B
【解析】如圖所示，作于，連接，BD，易得直線BM，EN 是三角形EBD的中線，是相交直線.
過作于，連接，
平面平面，平面，平面，平面，與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，易知，，，故選B．


13、（2020屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三第五次月考數(shù)學(xué)(文)試題）如圖所示的四個(gè)正方體中，正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形的序號(hào)為（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】D
【解析】
由題意結(jié)合正方體的性質(zhì)：
如圖①，平面ABC∥平面MNP，則平面，①正確；
如圖②，平面ABC∥平面MNP，則平面，②正確；
如圖③，平面ABC∥平面MNP，則平面，③正確；
如圖④，平面AB∩平面MNP=A，則④錯(cuò)誤；
故選：D.


14、（2020屆浙江省臺(tái)州市溫嶺中學(xué)3月模擬）如圖，在直角梯形中，，，，為中點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到，到，在翻折過程中，有下列命題：
①的最小值為；
②平面；
③存在某個(gè)位置，使；
④無論位于何位置，均有.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
在直角梯形中，， ，，
為中點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，
將沿折起，使點(diǎn)到，到，
在翻折過程中，當(dāng)與重合時(shí)，的最小值為；所以①正確；
連接交于連接，可以證明平面平面，所以平面，所以②正確；
當(dāng)平面時(shí)，可得平面，所以，所以③正確；
因?yàn)?，，所以直線平面，所以無論位于何位置，均有.所以④正確；
故選：D.


二、 多選題
15、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知是兩個(gè)不重合的平面，是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（ ）
A．若則
B．若則
C．若，，則
D．若，則
【答案】ACD
【解析】

若，則且使得，，又，則，，由線面垂直的判定定理得，故A對(duì)；
若，，如圖，設(shè)，平面為平面，，設(shè)平面為平面，，則，故B錯(cuò)；
垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，故C對(duì)；
若，則，又，則，故D對(duì)；
故選：ACD．
16、（2020屆山東省濱州市高三上期末）已知菱形中，，與相交于點(diǎn)，將沿折起，使頂點(diǎn)至點(diǎn)，在折起的過程中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．存在一個(gè)位置，使為等邊三角形
C．與不可能垂直 D．直線與平面所成的角的最大值為
【答案】ABD
【解析】
A選項(xiàng)，因?yàn)榱庑沃?，與相交于點(diǎn)，所以，；
將沿折起，使頂點(diǎn)至點(diǎn)，折起過程中，始終與垂直，因此，
又，由線面垂直的判定定理，可得：平面，因此，故A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)檎燮鸬倪^程中，邊長(zhǎng)度不變，因此；若為等邊三角形，則；設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，因?yàn)?，則，即，又，所以，即二面角的余弦值為時(shí)，為等邊三角形；故B正確；
C選項(xiàng)，，，由A選項(xiàng)知，，，
所以，因此，
同B選項(xiàng)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，易得，，
所以，顯然當(dāng)時(shí)，，即；故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，同BC選項(xiàng)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，，，由幾何體直觀圖可知，當(dāng)平面，直線與平面所成的角最大，為，易知.
故選：ABD.

17、（2020屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）己知為兩條不重合的直線,為兩個(gè)不重合的平面,則下列說法正確的是（ ）
A．若且則
B．若則
C．若則
D．若則
【答案】BC
【解析】
A. 若且則可以，異面，或相交，故錯(cuò)誤；
B. 若則，又故，正確；
C. 若則或，又故，正確；
D. 若則，則或，錯(cuò)誤；
故選：
18、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）在正方體中，N為底面ABCD的中心，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），M為線段AP的中點(diǎn)，則（ ）

A．CM與PN是異面直線 B．
C．平面平面 D．過P，A，C三點(diǎn)的正方體的截面一定是等腰梯形
【答案】BCD
【解析】
共線，即交于點(diǎn)，共面，因此共面，A錯(cuò)誤；
記，則，
，又，
，，即．B正確；
由于正方體中，，平面，則，，可得平面，平面，從而可得平面平面，C正確；

取中點(diǎn)，連接，易知，又正方體中，，∴，共面，就是過P，A，C三點(diǎn)的正方體的截面，它是等腰梯形．D正確．
故選：BCD.
19、（2020·蒙陰縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）已知四棱錐，底面為矩形，側(cè)面平面，，.若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說法正確的為（ ）
A．平面
B．面
C．四棱錐外接球的表面積為
D．四棱錐的體積為6
【答案】BC
【解析】
作圖在四棱錐中：

由題：側(cè)面平面，交線為，底面為矩形，，則
平面，過點(diǎn)B只能作一條直線與已知平面垂直，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
連接交于，連接，中，∥，面，
面，所以面，所以選項(xiàng)B正確；
四棱錐的體積是四棱錐的體積的一半，取中點(diǎn)，連接，
，則平面，，四棱錐的體積
所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
矩形中，易得，
中求得：在中
即： ，所以O(shè)為四棱錐外接球的球心，半徑為，
所以其體積為，所以選項(xiàng)C正確
故選：BC
三、填空題
20、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：

①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正確的有________(把所有正確的序號(hào)都填上)
【答案】①④
【解析】
對(duì)于①，因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又，所以平面PAB，從而可得，故①正確．
對(duì)于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC與平面PBC不可能垂直，故②不正確．
對(duì)于③，由于在正六邊形中，所以BC與EA必有公共點(diǎn)，從而BC與平面PAE有公共點(diǎn)，所以直線BC與平面PAE不平行，故③不正確．
對(duì)于④，由條件得為直角三角形，且PA⊥AD，又，所以∠PDA=45°．故④正確．
綜上①④正確．
答案：①④
21、（2019年高考北京卷理數(shù)）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：
①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．
以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________．
【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.
【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：
（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m，正確；
（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α，不正確，有可能m在平面α內(nèi)；
（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α，不正確，有可能l與α斜交、l∥α.
故答案為：如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.
22、(2018南京三模） 已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，有如下四個(gè)命題：
①若l⊥α，l⊥β，則α∥β； ②若l⊥α，α⊥β，則l∥β；
③若l∥α，l⊥β，則α⊥β； ④若l∥α，α⊥β，則l⊥β．
其中真命題為______（填所有真命題的序號(hào)）．
【答案】:①③
【解析】：①考查定理：垂直同一直線的兩個(gè)平面平行；②直線l可能在平面β內(nèi)；③正確；④不一定垂直；
23、(2017南京、鹽城二模）已知α，β為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題中正確的是________(填上所有正確命題的序號(hào))．
①若α∥β，m?α，則m∥β；　　　　?、谌鬽∥α，n?α，則m∥n；
③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β.
【答案】 ①④　
【解析】：思路分析 逐一判斷每個(gè)命題的真假．
①這是面面平行的性質(zhì)，正確；②只能確定m，n沒有公共點(diǎn)，有可能異面，錯(cuò)誤；③當(dāng)m?α?xí)r，才能保證m⊥β，錯(cuò)誤；④由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，所以m⊥β，正確．
24、(2016南京三模）已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，l⊥α，m?β.給出下列命題：
①α∥β?l⊥m；?、讦痢挺?l∥m；
③m∥α?l⊥β；?、躭⊥β?m∥α.
其中正確的命題是________(填寫所有正確命題的序號(hào))．
【答案】. ①④　
【解析】：①由l⊥α，α∥β，得l⊥β，又因?yàn)閙?β，所以l⊥m；
②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l?β，又因?yàn)閙?β，所以l與m或異面或平行或相交；
③由l⊥α，m∥α，得l⊥m.因?yàn)閘只垂直于β內(nèi)的一條直線m，所以不能確定l是否垂直于β；
④由l⊥α，l⊥β，得α∥β.因?yàn)閙?β，所以m∥α.
四、解答題
25、（2020年高考江蘇）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面AB1C1；
（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．

【解析】因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.
又平面，平面，
所以平面.

（2）因?yàn)槠矫妫矫?
所以.
又,平面,平面,
所以平面.
又因?yàn)槠矫?所以平面平面.
26、（2019年高考江蘇卷）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．
求證：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．

【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】（1）因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因?yàn)锳B=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC.
因?yàn)槿庵鵄BC?A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又因?yàn)锽E?平面ABC，所以CC1⊥BE.
因?yàn)镃1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因?yàn)镃1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
27、(2019南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)）如圖，在四棱錐PABCD中，M，N分別為棱PA，PD的中點(diǎn)．已知側(cè)面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.
求證：(1)MN∥平面PBC；
（2）MD⊥平面PAB.


【證明】(1)在四棱錐P－ABCD中，M，N分別為棱PA，PD的中點(diǎn)，所以MN∥AD.(2分)
又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.(4分)
又BC?平面PBC，MN?平面PBC，所以MN∥平面PBC. (6分)
(2)因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以AB⊥AD.又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，所以AB⊥側(cè)面PAD.(8分)
又MD?側(cè)面PAD，所以AB⊥MD.(10分)
因?yàn)镈A＝DP，又M為AP的中點(diǎn)，從而MD⊥PA. (12分)
又PA，AB在平面PAB內(nèi)，PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB.(14分)
28、(2019南京、鹽城二模）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分別是AB1和BC的中點(diǎn)．
求證：(1)DE∥平面ACC1A1；
(2)AE⊥平面BCC1B1.


規(guī)范解答 (1)連結(jié)A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，所以四邊形AA1B1B是平行四邊形．
又因?yàn)镈是AB1的中點(diǎn)，所以D也是BA1的中點(diǎn)．(2分)
在△BA1C中，D和E分別是BA1和BC的中點(diǎn)，所以DE∥A1C.
又因?yàn)镈E?平面ACC1A1，A1C?平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1.(6分)
(2)由(1)知DE∥A1C，因?yàn)锳1C⊥BC1，所以BC1⊥DE.(8分)
又因?yàn)锽C1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE?平面ADE，所以BC1⊥平面ADE.
又因?yàn)锳E?平在ADE，所以AE⊥BC1.(10分)
在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.(12分)
因?yàn)锳E⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，BC1，BC?平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1. (14分)
29、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（一））如圖，三棱錐DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F(xiàn)分別為BD，CD的中點(diǎn)．求證：
(1) EF∥平面ABC；
(2) BD⊥平面ACE.

. 規(guī)范解答 (1)三棱錐DABC中，因?yàn)镋為DB的中點(diǎn)，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，所以EF∥BC，(3分)
因?yàn)锽C?平面ABC，EF?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.(6分)
(2)因?yàn)锳C⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，BC，DC?平面BCD
所以AC⊥平面BCD，(8分)
因?yàn)锽D?平面BCD，所以AC⊥BD，(10分)
因?yàn)镈C＝BC，E為BD的中點(diǎn)，所以CE⊥BD，(12分)
因?yàn)锳C∩CE＝C，AC，CE?平面ACE，所以BD⊥平面ACE.(14分)

30、（2020屆江蘇省海安中學(xué)、金陵中學(xué)、新海高級(jí)中學(xué)高三12月聯(lián)考）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，且，，，分別是，的中點(diǎn)，.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面．

【解析】(1)取中點(diǎn)，連，，
，分別是，的中點(diǎn)
，且
又為中點(diǎn)
，且
，
四邊形為平行四邊形
，又平面，平面
平面
(2)設(shè)
由及為中點(diǎn)
得
又，
，

又為公共角


即又，
平面，又平面
平面平面

31、（2020屆江蘇省海安中學(xué)、金陵中學(xué)、新海高級(jí)中學(xué)高三12月聯(lián)考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP兩兩垂直，長(zhǎng)度分別為1，2，2.若DC=λAB（λ∈R），且向量PC與BD夾角的余弦值為1515.

（1）求λ的值；
（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.
【解析】（1）依題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，因?yàn)镈C=λAB，所以C(λ,2,0)，
從而PC=(λ,2,-2)，則由cos?PC,BD?=1515，解得λ=10（舍去）或λ=2.
（2）易得PC=(2,2,-2)，PD=(0,2,-2)，設(shè)平面PCD的法向量n=(x,y,z)，
則n?PC=0，n?PD=0，即x+y-z=0，且y-z=0，所以x=0，
不妨取y=z=1，則平面PCD的一個(gè)法向量n=(0,1,1)，又易得PB=(1,0,-2)，
故cos?PB,n?=PB?nPB?n=-105，
所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為105.

32、（2020屆江蘇南通市高三基地學(xué)校第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱錐中，.為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且平面.

求證：（1）平面；
（2）平面平面.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?
因?yàn)闉橐稽c(diǎn)，所以為中點(diǎn).
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?
（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平?
因?yàn)?，所?
因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以平?
因?yàn)槠矫?，所以平面平?