?運(yùn)用空間向量解決立體幾何中的角與距離
一、單選題
1、若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，0，－4)，則( )
A. l∥α　　　　　　 　 B. l⊥α 　　　　　　
C. l?α　　 D. l與α斜交
【答案】B
【解析】　∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n，∴l(xiāng)⊥α.故選B.
2、 已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則下列向量是平面ABC法向量的是( )
A. (－1，1，1) B. (1，－1，1)
C. D.
【答案】C.
【解析】?。?－1，1，0)，＝(－1，0，1)，經(jīng)計算得C項(xiàng)符合題意．故選C.
3、在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，則異面直線AF與C1E所成角的正切值為( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC，DA，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，

第3題圖
可得A(0，2，0)，B(2，2，0)，C(2，0，0)，B1(2，2，2)，C1(2，0，2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得E(2，1，0)，F(xiàn)(2，1，2)，則AF＝(2，－1，2)，C1E＝(0，1，－2)，設(shè)兩異面直線所成角為θ，則cos θ＝|cos〈，C1E〉|＝＝＝，則sin θ＝，故異面直線AF與C1E所成角的正切值為＝.故選C.
4、如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點(diǎn)，則B1M與D1N所成角的余弦值為(　　)

A.　　　　　　　 B．
C. D.
【答案】C　
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為2，則B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0，0,2)，N(1,0,0)，∴＝(－1，－1，－2)，＝(1,0，－2)，

∴B1M與D1N所成角的余弦值為＝＝.
5、.如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E為線段AB上一點(diǎn)，且AE＝AB，則DC1與平面D1EC所成角的正弦值為(　　)

A. B．
C. D.
【答案】A　
【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，

∴＝(0,3,1)，＝(1,1，－1)，＝(0,3，－1)．
設(shè)平面D1EC的法向量為n＝(x，y，z)，
則即取y＝1，得n＝(2,1,3)．
∴cos，n＝＝，
∴DC1與平面D1EC所成的角的正弦值為.
6、（2020屆浙江省之江教育評價聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）在正方體中，是底面的中心，是棱上的點(diǎn)，且，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體中棱長為4，
則，
，，
＝＝，
平面的法向量，
∴＝，∴＝，
，，
設(shè)平面的法向量，
則，取，得，
＝，
∵，∴.
故選：C.

7、在正方體ABCD -A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(　　)
A. B．
C. D.
【答案】B　
【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)棱長為1，

則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，
∴＝(0,1，－1)，
＝，
設(shè)平面A1ED的一個法向量為n1＝(1，y，z)，
則即
∴∴n1＝(1,2,2)．
又平面ABCD的一個法向量為n2＝(0,0,1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝.
即平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為.
8、如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)

A．(1,1,1) B．
C. D.

【答案】C　
【解析】設(shè)AC與BD相交于O點(diǎn)，連接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，

又O是正方形ABCD對角線交點(diǎn)，
∴M為線段EF的中點(diǎn)．
在空間坐標(biāo)系中，E(0,0,1)，F(xiàn)(，，1)．
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，知點(diǎn)M的坐標(biāo).
9、（2020屆浙江省十校聯(lián)盟高三下學(xué)期開學(xué)）如圖，矩形中，，，為的中點(diǎn)，沿著向上翻折，使點(diǎn)到.若在平面上的投影落在梯形內(nèi)部（不含邊界），設(shè)二面角的大小為，直線，與平面所成角分別為，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由，
可知，，作中點(diǎn)，
則，
故在線段上，
作交于，連接，，，如圖，

易知，，，，
又，
．
故選：C．
10、（2020屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三下學(xué)期開學(xué)）如圖正四棱錐，為線段上的一個動點(diǎn)，記二面角為，與平面所成的角為，與所成的角為，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
以正方形的中心為原點(diǎn)，分別以平行于所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

取中點(diǎn)，連接.則.連接，則.
設(shè)，則.
則.
又，
，
.
，
，即.
由題意知都是銳角，.
故選：.
11、（2018年高考浙江卷）已知四棱錐S?ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S?AB?C的平面角為θ3，則（ ）
A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1
C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
【答案】D
【解析】設(shè)O為正方形ABCD的中心，M為AB中點(diǎn)，過E作BC的平行線EF，交CD于F，過O作ON垂直EF于N，連接SO，SN，SE，SM，OM，OE，則SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，
因此
從而
因?yàn)椋约矗?br /> 故選D.
12、（2019年高考浙江卷）設(shè)三棱錐V–ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．記直線PB與直線AC所成的角為α，直線PB與平面ABC所成的角為β，二面角P–AC–B的平面角為γ，則（ ）
A．β

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