分值：150分 時間：120分鐘
一、選擇題（每小題5分，每題只有一個正確選項）
1．已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B＝{1，2，3}，則A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|1≤x≤2}C．{1，2，3}D．{1，2}
2．已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝2i，則z＝（ ）
A．1﹣iB．1+iC．﹣1﹣iD．﹣1+i
3．命題“?α∈R，sinα＝0”的否定是（ ）
A．?α∈R，sinα≠0B．?α∈R，sinα≠0
C．?α∈R，sinα＜0D．?α∈R，sinα＞0
4．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增的是（ ）
A．y＝sinxB．y＝
C．y＝﹣D．y＝
5．已知向量＝（2，﹣1），＝（0，1），（+k）?＝3，則k＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
6．在等差數(shù)列{an}中，是方程x2+6x+2＝0的兩個實根，則＝（ ）
A． B．﹣3C．﹣6D．2
7．將包含甲、乙兩人的4位同學(xué)平均分成2個小組參加某項公益活動，則甲、乙兩名同學(xué)分在同一小組的概率為（ ）
A． B．C． D．
8.已知雙曲線（a＞0）的一條漸近線為y＝，則雙曲線的焦點坐標(biāo)為（ ）
A．（±，0）B．（±，0）C．（0，±）D．（0，±）
9．執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3，
則可輸入的實數(shù)x的值的個數(shù)為（ )
A．1 B．2C．3 D．4
10.某三棱錐的三視圖如下圖所示，則該三棱錐的體積為（ ）
1
11.函數(shù)y＝的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），并且當(dāng)x＞0時，有
2f（x）+xf′（x）＞0，且 f（﹣1）＝0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）
A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分）
13．已知函數(shù)f（x）＝，則f[f（2）]＝ ．
14．設(shè)x、y滿足約束條件，則z＝2x﹣3y的最小值是________.
15．點A，B，C，D均在同一球面上，AD⊥平面ABC，其中△ABC是邊長為3的等邊三角形，AD＝2AB，則該球的表面積為 ．
16．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足，Sn＝3an﹣2，數(shù)列{nan}的前n項和為Tn，則滿足Tn＞100的最小的n值為 ．
三、解答題（本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若bcs C＝(2a－c)cs B，
(Ⅰ)求∠B的大??；(Ⅱ)若b＝，a＋c＝4，求a,c的值.
18．在某次測驗中，某班40名考生的成績滿分100分統(tǒng)計如下圖所示．
（Ⅰ）估計這40名學(xué)生的測驗成績的中位數(shù)x0精確到0.1；
（Ⅱ）記80分以上為優(yōu)秀，80分及以下為合格，結(jié)合頻率分布直方圖完成下表，并判斷是否有95%的把握認為數(shù)學(xué)測驗成績與性別有關(guān)？
附：
x2＝
19．如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AP＝AD＝2AB＝2BC＝2，點M在棱PC上．
（Ⅰ）求證：AM⊥CD；
（Ⅱ）當(dāng)AM⊥平面PCD時，求三棱錐M﹣PAD的體積．
20．已知橢圓C：+＝1（a＜b＜0）的離心率為，短軸長為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點N（0，2）作兩條直線，分別交橢圓C于A， B兩點（異于N），當(dāng)直線NA，NB的斜率之和為4時，直線AB恒過定點，求出定點的坐標(biāo)．
21．已知函數(shù)f（x）＝．
（1）若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a＝1且x＞0時，f（x）＞mln（x+1），求m的取值范圍．
22.已知在直角坐標(biāo)系xOy中，圓錐曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線經(jīng)過定點P（2，3），傾斜角為．
（1）寫出直線的參數(shù)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線與圓相交于A，B兩點，求｜PA｜·｜PB｜的值．
高三文科數(shù)學(xué)參考答案與試題解析
一．選擇題（共14小題）
1．已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B＝{1，2，3}，則A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|1≤x≤2}C．{1，2，3}D．{1，2}
選：D．
2．已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝2i，則z＝（ ）
A．1﹣iB．1+iC．﹣1﹣iD．﹣1+i
選：B．
3．命題“?α∈R，sinα＝0”的否定是（ ）
A．?α∈R，sinα≠0B．?α∈R，sinα≠0
C．?α∈R，sinα＜0D．?α∈R，sinα＞0
選：B．
4．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增的是（ ）
A．y＝sinxB．y＝|x|
C．y＝﹣x3D．y＝ln（+x）
選：D．
5．已知向量＝（2，﹣1），＝（0，1），（+k）?＝3，則k＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
選：D．
6．在等差數(shù)列{an}中，a2，a14是方程x2+6x+2＝0的兩個實根，則＝（ ）
A．B．﹣3C．﹣6D．2
選：A．
7．將包含甲、乙兩人的4位同學(xué)平均分成2個小組參加某項公益活動，則甲、乙兩名同學(xué)分在同一小組的概率為（ ）
A．B．C．D．
選：C．
8．已知雙曲線（a＞0）的一條漸近線方程為y＝，則雙曲線的焦點坐標(biāo)為（ ）
A．（±，0）B．（±，0）C．（0，±）D．（0，±）
選：D．
9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3，則可輸入的實數(shù)x的值的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
選：C．
10．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．1
選：A．
11．函數(shù)y＝的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
選：C．
12．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），當(dāng)x＞0時，有2f（x）+xf'（x）＞0，且f（﹣1）＝0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（ ）
A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
選：B．
13．已知函數(shù)f（x）＝，則f[f（2）]＝ ．
答案為：．
14．設(shè)x、y滿足約束條件，則z＝2x﹣3y的最小值是
【解答】解：由z＝2x﹣3y得y＝，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：
平移直線y＝，由圖象可知當(dāng)直線y＝，過點A時，直線y＝截距最大，此時z最小，
由得，即A（3，4），
代入目標(biāo)函數(shù)z＝2x﹣3y，
得z＝2×3﹣3×4＝6﹣12＝﹣6．
∴目標(biāo)函數(shù)z＝2x﹣3y的最小值是﹣6．
15．點A，B，C，D均在同一球面上，AD⊥平面ABC，其中△ABC是等邊三角形，AD＝2AB＝6，則該球的表面積為 48π ．
【解答】解：如圖，O′為底面的中心，OO′⊥底面ABC，
E為AD中點，且OE⊥AD，
在正三角形ABC中，由AB＝3求得，
又OO′＝AE＝3，
∴OA＝2，
∴S球＝4π×12＝48π，
故答案為：48π．
16．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足，Sn＝3an﹣2，數(shù)列{nan}的前n項和為Tn，則滿足Tn＞100的最小的n值為 7 ．
【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿足Sn＝3an﹣2，①
當(dāng)n≥2時，有Sn﹣1＝3an﹣1﹣2，②，
①﹣②可得：an＝3an﹣3an﹣1，變形可得2an＝3an﹣1，
當(dāng)n＝1時，有S1＝a1＝3a1﹣2，解可得a1＝1，
則數(shù)列{an}是以a1＝1為首項，公比為的等比數(shù)列，則an＝（）n﹣1，
數(shù)列{nan}的前n項和為Tn，則Tn＝1+2×+3×（）2+……+n×（）n﹣1，③
則有Tn＝+2×（）2+3×（）3+……+n×（）n，④
③﹣④可得：﹣Tn＝1+（）+（）2+……×（）n﹣1﹣n×（）n＝﹣2（1﹣）﹣n×（）n，
變形可得：Tn＝4+（2n﹣4）×（）n，
若Tn＞100，即4+（2n﹣4）×（）n＞100，
分析可得：n≥7，故滿足Tn＞100的最小的n值為7；
故答案為：7．
17. （1）sinBcs C＝(2sinA－sinc)cs B
sin(B+C)=2sinAcsB
csB=，B=。
（2）a=3,c=1或a=1,c=3。
18．在某次測驗中，某班40名考生的成績滿分100分統(tǒng)計如圖所示．
（Ⅰ）估計這40名學(xué)生的測驗成績的中位數(shù)x0精確到0.1；
（Ⅱ）記80分以上為優(yōu)秀，80分及以下為合格，結(jié)合頻率分布直方圖完成下表，并判斷是否有95%的把握認為數(shù)學(xué)測驗成績與性別有關(guān)？
附：
x2＝
【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖易知：
0.01×10+0.015×10+0.02×10＝0.45；
即分數(shù)在[40，70）的頻率為：0.45，
所以0.03×（x0﹣70）＝0.5﹣0.45，
解得：x0＝≈71.7；
∴40名學(xué)生的測驗成績的中位數(shù)為71.7；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖，可得列聯(lián)表如下：
X2＝＝≈0.135＜3.841；
所以沒有95%的把握認為數(shù)學(xué)測驗成績與性別有關(guān)．
19．如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AP＝AD＝2AB＝2BC＝2，點M在棱PC上．
（Ⅰ）求證：AM⊥CD；
（Ⅱ）當(dāng)AM⊥平面PCD時，求三棱錐M﹣PAD的體積．
【解答】證明：（Ⅰ）設(shè)AD中點為E，連接AC、CE，由題意AE＝BC，
∵AD∥BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形．
又AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴ABCE為正方形．
在Rt△CDE中，CD＝，又AC＝，AD＝2，
∴AC2+CD2＝AD2，∴CD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵PA，AC?平面PAC，且PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．
∵AM?平面PAC，∴AM⊥CD．
解（Ⅱ）由已知AM⊥平面PCD，∴AM⊥PC．
∵AC＝，PC＝，，
∴AM＝，PM＝，∴PM＝，
C到平面PAD的距離等于B到平面PAD的距離，
所以三棱錐M﹣PAD的高h＝＝，
∴三棱錐M﹣PAD的體積VM﹣PAD＝＝．
20．已知橢圓C：+＝1（a＜b＜0）的離心率為，短軸長為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點N（0，2）作兩條直線，分別交橢圓C于A，B兩點（異于N），當(dāng)直線NA，NB的斜率之和為4時，直線AB恒過定點，求出定點的坐標(biāo)．
【解答】解：（Ⅰ）由題意知：，2b＝4，a2﹣c2＝b2．
解得a＝2，b＝c＝2，所以橢圓方程為．
（Ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB方程為y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由由kNA+kNB＝4，得，
整理可得2kx1x2+（m﹣2）（x1+x2）＝4x1x2（*）
聯(lián)立，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，由題意知二次方程有兩個不等實根，
∴，．
代入（*）得，整理得整理可得（m﹣2）（k﹣m﹣2）＝0，．
∵∵m≠2，∴m＝k﹣2，∴y＝kx+k﹣2，y+2＝k（x+1），所以直線AB恒過定點（﹣1，﹣2）．
當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為x＝x0，A（x0，y1），B（x0，y2），其中y2＝﹣y1，∴y1+y2＝0，
由kNA+kNB＝t，得，∴∴x0＝﹣1．
∴當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線AB也過定點（﹣1，﹣2）．
綜上所述，直線AB恒過定點（﹣1，﹣2）．
21．已知函數(shù)f（x）＝．
（1）若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a＝1且x＞0時，f（x）＞mln（x+1），求m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵f（x）＝在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）＝，即xex﹣ex+a≥0．
設(shè)g（x）＝xex﹣ex+a，則g′（x）＝xex＞0，
∴g（x）＞g（0）＝a﹣1，則a﹣1≥0，得a≥1．
（2）當(dāng)a＝1時，f（x）＞mln（x+1）?ex﹣x﹣1＞mxln（x+1）?ex﹣x﹣1﹣mxln（x+1）＞0，
設(shè)h（x）＝ex﹣x﹣1﹣mxln（x+1），則h′（x）＝，
再令H（x）＝，則H′（x）＝．
若m，∵x＞0，∴m（）＜1，則H′（x）＞0，h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
h′（x）＞h′（0）＝0，∴h（x）是增函數(shù)，h（x）＞h（0）＝0，可得f（x）＞mln（x+1）成立；
若m＞，H′（x）＝在（0，+∞）上單調(diào)遞增，H′（0）＝1﹣2m＜0，
H′（ln（2m））＝2m﹣＝＞0．
∴存在x0∈（0，ln（2m））使得H′（x0）＝0，當(dāng)x∈（0，x0）時，H′（x）＜0，
∴h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，可得h（x）＜h（0）＝0，即f（x）＞mln（x+1）不成立．
綜上可得，m的取值范圍為（﹣∞，]．
22（t為參數(shù)），x2+y2=16
(2)3
合格
優(yōu)秀
合計
男生
16
女生
4
合計
40
P（x2≥k0）
0.050
0010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
合格
優(yōu)秀
合計
男生
16
女生
4
合計
40
P（x2≥k0）
0.050
0010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
合格
優(yōu)秀
合計
男生
16
6
22
女生
14
4
18
合計
30
10
40

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