2022屆黑龍江省雙鴨山市第一中學(xué)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（       ）A． B．C．，或 D．，或【答案】B【分析】首先求出，再求即可.【詳解】因?yàn)?/span>或，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的運(yùn)算，同時(shí)考查二次不等式，屬于簡(jiǎn)單題.2．已知復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（       ）象限.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】，，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第四象限.故選：D3．已知函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由奇函數(shù)對(duì)稱性可得，代入已知解析式解得.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，.又，則，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】圖象具有對(duì)稱性的函數(shù)求值題型關(guān)鍵在于區(qū)間轉(zhuǎn)化，將未知區(qū)間的問(wèn)題利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解.4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，以為圓心的圓與拋物線交于兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，若四邊形為矩形，則矩形的面積是A． B． C． D．3【答案】A【詳解】分析：首先根據(jù)題的條件，四邊形為矩形，可以得到對(duì)邊是平行且相等的，所以得到兩條邊是關(guān)于圓心對(duì)稱的，從而可以求得圓心到直線的距離，從而求得其橫坐標(biāo)，代入拋物線的方程，可以求得點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而求得矩形的邊長(zhǎng)，之后應(yīng)用矩形的面積公式求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，四邊形為矩形，可得，從而得到圓心到準(zhǔn)線的距離與到的距離是相等的，所以有M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，代入拋物線方程，從而求得，所以，從而求得四邊形的面積為.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)拋物線及圓的有關(guān)性質(zhì)以及矩形的面積公式，在解題的過(guò)程中，MN和PQ關(guān)于圓心對(duì)稱是最關(guān)鍵的一步，此時(shí)可以求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，借助于拋物線的方程，求得其縱坐標(biāo)，從而求得對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，利用面積公式，求得結(jié)果.5．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而求得正確結(jié)果.詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.6．在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)?/span>A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙【答案】A【分析】利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則甲比乙成績(jī)高，丙比乙成績(jī)低，故3人成績(jī)由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預(yù)測(cè)正確，則丙預(yù)測(cè)也正確，不符合題意；若丙預(yù)測(cè)正確，則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，丙比乙的成績(jī)高，乙比甲成績(jī)高，即丙比甲，乙成績(jī)都高，即乙預(yù)測(cè)正確，不符合題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)知識(shí)與時(shí)政結(jié)合，主要考查推理判斷能力．題目有一定難度，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查．7．已知兩個(gè)不同的平面，和兩條不重合的直線，，下列說(shuō)法正確的是（       ）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)線面平行，面面平行的判定定理以及面面垂直的性質(zhì)定理等即可判斷．【詳解】對(duì)A，因?yàn)橹本€未必相交，所以不一定成立，A錯(cuò)誤；對(duì)B，由，可得，又，所以，B正確；對(duì)C，若，，則或，C錯(cuò)誤；對(duì)D，若，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，不一定成立，D錯(cuò)誤．故選：B．8．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，，則雙曲線的離心率為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得，根據(jù)雙曲線定義建立關(guān)系可求.【詳解】根據(jù)可得，又.設(shè)，則，，所以，則.故選：A.9．若圓和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再由圓心距與半徑間的關(guān)系列式求解．【詳解】化圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0為（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，則k＞﹣25，圓心坐標(biāo)為（3，4），半徑為，圓C1：x2+y2＝1的圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為1．要使圓C1：x2+y2＝1和圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0沒(méi)有公共點(diǎn)，則|C1C2|或|C1C2|，即5或5，解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．10．函數(shù)的大致圖象為（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，用導(dǎo)數(shù)法證明其單調(diào)性和即可.【詳解】由，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選：A11．已知為常數(shù)，在某個(gè)相同的閉區(qū)間上，若為單調(diào)遞增函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)，則稱此區(qū)間為函數(shù)的“”區(qū)間.若函數(shù)，則此函數(shù)的“”區(qū)間為（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式組求解的問(wèn)題.【詳解】對(duì)于函數(shù)，對(duì)于函數(shù)，則此函數(shù)的“”區(qū)間滿足： ，即，∴故選：C12．設(shè)分別為圓和橢圓上的點(diǎn),則兩點(diǎn)間的最大距離是 A．  B． C． D．【答案】D【解析】轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值加（半徑）.【詳解】設(shè)，圓心為，則，當(dāng)時(shí)，取到最大值，∴最大值為．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查圓上點(diǎn)與橢圓上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是圓上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圓心，利用圓心到動(dòng)點(diǎn)距離的最值加（或減）半徑得出結(jié)論．二、填空題13．已知向量的夾角為120°，，若，則實(shí)數(shù)λ=___________.【答案】【分析】由，可得，化簡(jiǎn)后結(jié)已知條件可求得答案【詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>的夾角為120°，，且，所以，即，所以，解得，故答案為：14．正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則________.【答案】63【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式，求出與，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列公比為，且.由，得，則，解得，即，因?yàn)?/span>，所以，因此.故答案為：63.15．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F為拋物線C：的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若，則△POF的面積為______.【答案】【分析】由拋物線的焦半徑公式（或定義）求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后可計(jì)算三角形面積.【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由，設(shè)，則,,所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的面積為．故答案為：.16．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的離心率為____________．【答案】2.【分析】通過(guò)向量關(guān)系得到和，得到，結(jié)合雙曲線的漸近線可得從而由可求離心率.【詳解】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有，又OA與OB都是漸近線，得又，得．又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量結(jié)合雙曲線的漸進(jìn)線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．三、解答題17．已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減求得，又由時(shí)，，符合上式，即可求解；（2）由，得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.【詳解】(1)解：由題意，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減，可得，所以，又由當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)解：由，則，所以，所以.18．已知銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大?。?/span>（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得，進(jìn)而求得，即可求解；（2）由（1）得到，根據(jù)三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)，進(jìn)而得到，得到的范圍，即可求解.【詳解】（1）在中，由，利用正弦定理得，所以，即，因?yàn)?/span>，可得，所以，又因?yàn)?/span>，所以.（2）由（1）知，可得，可得，所以，因?yàn)?/span>為銳角三角形，所以，，且，所以，，所以故的取值范圍為.19．如圖，在三棱柱中，平面平面，是的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2).【分析】（1）連接，由平面幾何知識(shí)證得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可證得，再由線面垂直的判定和性質(zhì)可得證；（2）運(yùn)用等體積法可求得三棱錐的體積．【詳解】(1)證明：在三棱柱中，連接，，，，是等邊的邊的中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，所以平面，，又平面，.(2)（2）由（1）知平面，.20．已知函數(shù)，(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，的圖象在的圖象下方．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出切線的斜率以及切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式可得切線的方程；（2）由題意可得對(duì)于恒成立，只需證明，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求得的最小值即可求證.【詳解】(1)由函數(shù)，得，所以切線的斜率，又因?yàn)?/span>，切點(diǎn)為，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為即.(2)當(dāng)時(shí)，的圖象在的圖象下方，即證明，所以需證明令，則，令，則．因?yàn)?/span>，所以恒成立，所以在上的增函數(shù)，且，所以，即恒成立，所以在上是增函數(shù)，且，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，的圖象在的圖象下方.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為、和，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，記直線、，的斜率分別為、、.(1)求證：為定值；(2)若，求的周長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，可得出，利用斜率公式可計(jì)算得出為定值；（2）分析可得，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式、韋達(dá)定理結(jié)合可求得，可得知直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，進(jìn)而可求得的周長(zhǎng).【詳解】(1)證明：設(shè)，易知、，其中，則，為定值.(2)解：，即，設(shè)、，而，聯(lián)立，則，且，，.所以，，，，所以，，，故直線恒過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，所以，的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.22．已知曲線的直角坐標(biāo)方程是，把曲線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到曲線.（1）設(shè)曲線上任一點(diǎn)為，求的最大值；（2），為曲線上兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的值.【答案】（1）最大值為2；（2）.【解析】（1）把曲線的直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程，根據(jù)輔助角公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)坐標(biāo)變換公式求出曲線的方程，利用參數(shù)方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用極徑的幾何意義以及三角函數(shù)的有界性求解即可.【詳解】（1）：，曲線的參數(shù)方程(為參數(shù))，，當(dāng)時(shí)，的最大值為2.（2），，代入得：.故曲線的直角坐標(biāo)方程為：，對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程為：(為參數(shù))，因此曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為： ，對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為：，顯然有，所以有，因此，因?yàn)?/span>，設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以. 

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