中考數(shù)學(xué)隱形圓專題含答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

則點(diǎn)B的軌跡為圓心為點(diǎn)A，半徑為AB的圓。
【經(jīng)典例題1】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC邊上的動點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是___.
【解析】如圖所示：當(dāng)∠BFE=∠B′EF，點(diǎn)B′在DE上時，此時B′D的值最小，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBF≌△EB′F，
∴EB′⊥B′F，
∴EB′=EB，
∵E是AB邊的中點(diǎn)，AB=4，
∴AE=EB′=2，
∵AD=6，
∴DE=，
∴B′D=?2.
練習(xí)1-1如圖③，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE=2，點(diǎn)F是BC邊上的任意一點(diǎn)，把△BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為G，連接AG、CG，四邊形AGCD的面積是否存在最小值，若存在，求這個最小值及此時BF的長度。若不存在，請說明理由。
【解析】（3）如圖3，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABC=∠D=90°，根據(jù)勾股定理得，AC=5，
∵AB=3，AE=2，
∴點(diǎn)F在BC上的任何位置時，點(diǎn)G始終在AC的下方，
設(shè)點(diǎn)G到AC的距離為h，
∵S四邊形AGCD=S△ACD+S△ACG=AD×CD+AC×h=×4×3+×5×h=h+6，
∴要四邊形AGCD的面積最小，即：h最小，
∵點(diǎn)G是以點(diǎn)E為圓心，BE=1為半徑的圓上在矩形ABCD內(nèi)部的一部分點(diǎn)，
∴EG⊥AC時，h最小，
由折疊知∠EGF=∠ABC=90°，
延長EG交AC于H，則EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC==，
在Rt△AEH中，AE=2，sin∠BAC==，
∴EH=AE=，
∴h=EH-EG=-1=
∴S四邊形AGCD最小=h+6=×+6=．
練習(xí)1-2如圖，等邊△ABC的邊AB=8，D是AB上一點(diǎn)，BD=3，P是AC邊上一動點(diǎn)，將△ADP沿直線DP折疊，A的對應(yīng)點(diǎn)為A'，則CA'的長度最小值是 .
【解析】2
練習(xí)1-3如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△AMN，連接A'C，則A'C長度的最小值是 .
【解析】如圖，連接MC；過點(diǎn)M作ME⊥CD，
交CD的延長線于點(diǎn)E；
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∵點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，∠BCD=30°，
∴DM=MA=2，∠MDE=∠BCD=30°，
∴ME=DM=1，DE=，
∴CE=CD+DE=4，由勾股定理得：
CM2=ME2+CE2，
∴CM=7;由翻折變換的性質(zhì)得：MA′=MA=2，
顯然，當(dāng)折線MA′C與線段MC重合時，
線段A′C的長度最短，此時A′C=7?2=5，
故答案為5.
練習(xí)1-4如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB邊上一動點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連結(jié)A′C，則A′C長度的最小值是( )
A. B. ?1 C. D. 2
【解析】如圖所示：∵M(jìn)A′是定值，A′C長度取最小值時，即A′在MC上時，
過點(diǎn)M作MF⊥DC于點(diǎn)F，
∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M為AD中點(diǎn)，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=，
∴FM=DM×cs30°=，
∴MC=，
∴A′C=MC?MA′=?1.
故選：B.
變式：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是_____
解題思路：同上題，不難看出點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為以點(diǎn)F為圓心，
PF為半徑的圓上運(yùn)動，求點(diǎn)P到AB的距離最小，可過點(diǎn)F作AB的垂線于點(diǎn)M，交圓 F于點(diǎn)P，此時，最小值為PM。根據(jù)△AMP∽△ACB可以先求出PM的值，
再根據(jù)PM=FM-FP，可算出最小值。

證明：參照知識點(diǎn)儲備4，點(diǎn)直線距離。
變式1.如圖 1，四邊形 ABCD 中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，則∠CBD=_______度。
【解析】如圖，因?yàn)?AB=AC=AD，故 B、C、D 三點(diǎn)在以 A 為圓心的圓上，故∠CBD= ∠ CAD=38°
變式2如圖，在△ABC 內(nèi)有一點(diǎn) D，使得 DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°則∠BDC=__________。
【解析】100°
類型二：定角對定長
題型識別：
有一條長度固定的線段，這條線段所對的張角固定不變。
總結(jié)：
定角對定長，關(guān)鍵在于確定圓心的位置和半徑的大小。
確定圓心---圓心在定長線段的垂直平分線上，再根據(jù)圓周角與圓心角之間的關(guān)系，求出此定角所對的圓心角的大小，即可確定圓心的位置。
計(jì)算半徑---根據(jù)垂徑定理及銳角三角函數(shù)可求半徑的大小。
【經(jīng)典例題2】如圖，F(xiàn)是正方形ABCD的邊CD上一動點(diǎn)，AB=2，連接BF，過A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，連接CG，當(dāng)CG為最小值時，CH的長為（）.
A. B. C. D.
【解析】如圖1中，取AB的中點(diǎn)O，連接OG，OC.
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=2，∴OB=OA=1，
∴OC=，
∵AH⊥BF，∴∠AGB=90°，
∵AO=OB，∴OG=AB=1，
∵CG?OC?OG，
∴當(dāng)O，G，C共線時，CG的值最小，最小值=?1(如圖2中)，
∵OB=OG=1，∴∠OBG=∠OGB，
∵AB∥CD，∴∠OBG=∠CFG，
∵∠OGB=∠CGF，∴∠CGF=∠CFG，
∴CF=CG=?1，
∵∠ABH=∠BCF=∠AGB=90°，
∴∠BAH+∠ABG=90°，∠ABG+∠CBF=90°，
∴∠BAH=∠CBF，
∵AB=BC，∴△ABH≌△BCF(ASA)，
∴BH=CF=?1，
∴CH=BC?BH=2?(1)=3?，
故選：C.
練習(xí)2-1在正方形ABCD中，AD＝2，E，F(xiàn)分別為邊DC，CB上的點(diǎn)，且始終保持DE＝CF，連接AE和DF交于點(diǎn)P，則線段CP的最小值為 .

【解析】如圖，在△ADE和△DCF中，
∴△ADE2△DCF（SAS）
∴∠DAE＝∠CDF
∵∠DAE＋∠AED＝90°
∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠DPE＝∠APD＝90°
.∠APD＝90°保持不變
∴點(diǎn)P的軌跡為以AD為直徑的一段弧上
∴取AD中點(diǎn)Q，連接CQ，與該圓弧交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時CP值最小在Rt△CQD中，CQ＝
∴CP＝CQ－PQ＝－1
練習(xí)2-2如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=8，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足∠PBC=∠PCD，則線段PD的最小值為( )
A. 5 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BCD=90°，
∵∠PBC=∠PCD，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠BPC=90°，
∴點(diǎn)P在以BC為直徑的⊙O上，
連接OD交⊙O于P′，連接OP、PD，如圖，
∵PD?OD?OP(當(dāng)且僅當(dāng)O、P、D共線時，取等號)，
即P點(diǎn)運(yùn)動到P′位置時，PD的值最小，最小值為DP′，
在Rt△OCD中，OC=BC=4，CD=AB=3，
∴OD=，
∴DP′=OD?OP′=5?4=1，
∴線段PD的最小值為1.
故選：B.
練習(xí)2-3如圖，圓O的半徑為，正方形ABCD內(nèi)接于圓O，點(diǎn)E在弧ADC上運(yùn)動，連接BE，作AF⊥BE，垂足為F，連接CF.則CF的最小值為 .
【解析】
變式：如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為
解題思路：由∠PAB=∠PBC和∠ABC=90°，可得∠P=90°
AB=6，為定長且位置不變，定角∠P的頂點(diǎn)是動點(diǎn)，由定角對定長，可得動點(diǎn)P的軌跡為：以AB為直徑的圓上，圓心為AB的中點(diǎn)。
取AB得中點(diǎn)O，連接OC，交圓O為點(diǎn)P，此時CP取最小值為OC-OP=2.
證明：參照知識點(diǎn)儲備1，點(diǎn)圓距離。
如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，AE=CD，連接BE、AD相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為_____
解題思路：由等邊三角形和AE=CD，可證△ABE≌△CAD，
可得∠ABE=∠DAC，∠ABE+∠BAD=60，即
∠APD=120° AB=6，為定長且位置不變，定角∠APD的頂點(diǎn)是動點(diǎn)，由定角對定長，可得動點(diǎn)P的軌跡為：劣弧AB上。圓心和半徑的確定可以參照模型二中第5個。連接CO交圓于點(diǎn)P，此時CP的最小值為OC-OP=

證明：參照知識點(diǎn)儲備1，點(diǎn)圓距離。
如圖所示，邊長為2的等邊△ABC的，點(diǎn)B在x軸的正半軸運(yùn)動，∠BOD＝30°，
點(diǎn)A在射線OD上移動，則頂點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為
解題思路：此題可以參照模型二中的第6種，定角的頂點(diǎn)不動，定長線段位置在變化。由此可得
△OAB的外接圓在變化，但是半徑不變，取
任意一個位置作出△OAB的外接圓，如圖所
示，此時可取AB的中點(diǎn)F，無論在什么時刻，
OE、EF、CF的長度是不變的，當(dāng)點(diǎn)O、E、F、
C四點(diǎn)共線時，OC值取最大，最大值為：
OE+EF+CF=2++=2+2

變式2：如圖，點(diǎn)A是直線y=-x上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸上的一個動點(diǎn)，若AB=2，則△AOB面積的最大值為 .
【解析】角AOB為定值：135°或45°，
線段AB為定長2，可做ABO的外接圓（圓心為P），
可知圓心角角APB等于2*45＝90，所以半徑為，
O點(diǎn)在線段AB正上方是高最大，此時高為（1+）。
已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)B，C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC，CD方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動，連接AM和BN，交于點(diǎn)P.求△APB周長的最大值？
AC為邊長2的菱形ABCD的對角線，∠ABC=60°，點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、AC向終點(diǎn)C和A運(yùn)動，連接AM和BN，交于點(diǎn)P，求△APB周長的最大值？
【解析】
問題探究
（1）如圖①，已知正方形ABCD的邊長為4．點(diǎn)M和N分別是邊BC、CD上兩點(diǎn)，且BM=CN，連接AM和BN，交于點(diǎn)P．猜想AM與BN的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）如圖②，已知正方形ABCD的邊長為4．點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動．連接AM和BN，交于點(diǎn)P，求△APB周長的最大值；
問題解決
（3）如圖③，AC為邊長為2的菱形ABCD的對角線，∠ABC=60°．點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動．連接AM和BN，交于點(diǎn)P．求△APB周長的最大值．
【解析】（1）結(jié)論：AM⊥BN．
理由：如圖①中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，
∵BM=CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠CBN+∠ABN=90°，
∴∠ABN+∠BAM=90°，
∴∠APB=90°，
∴AM⊥BN．
（2）如圖②中，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，連接EP．
∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，
∴四邊形EFPG是矩形，
∴∠FEG=∠AEB=90°，
∴∠AEF=∠BEG，
∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，
∴△AEF≌△BEG，
∴EF=EG，AF=BG，
∴四邊形EFPG是正方形，
∴PA+PB=PF+AF+PG-BG=2PF=2EF，
∵EF≤AE，
∴EF的最大值=AE=2，
∴△APB周長的最大值=4+4．
（3）如圖③中，延長DA到K，使得AK=AB，則△ABK是等邊三角形，連接PK，取PH=PB．
∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，
∴∠APB=120°，
∵∠AKB=60°，
∴∠AKB+∠APB=180°，
∴A、K、B、P四點(diǎn)共圓，
∴∠BPH=∠KAB=60°，
∵PH=PB，
∴△PBH是等邊三角形，
∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，
∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，
∴△KBH≌△ABP，
∴HK=AP，
∴PA+PB=KH+PH=PK，
∴PK的值最大時，△APB的周長最大，
∴當(dāng)PK是△ABK外接圓的直徑時，PK的值最大，最大值為4，
∴△PAB的周長最大值=2+4．
類型三：四點(diǎn)共圓
判定1 四點(diǎn)圍成的四邊形，對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角；
若∠A+∠DCB=180°，或∠B+∠D=180°
或∠DCE=∠A，則點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓。
判定2 連接四點(diǎn)圍成的四邊形的對角線，被交點(diǎn)分成的兩條線段長度的積相等；
若EC·AE=ED·BE，則點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓。
判定3 運(yùn)用圓冪定理中的割線定理；
若EA·ED=EB·EC，則點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓。
判定4 四點(diǎn)連成共底邊的兩三角形，兩三角形的頂角都在共底邊的同側(cè)且相等；
若∠A＝∠D，則點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓。
【經(jīng)典例題3】如圖，∠xOy=45°，一把直角三角尺△ABC的兩個頂點(diǎn)A. B分別在OX，OY上移動，其中AB=10，則點(diǎn)O到頂點(diǎn)A的距離的最大值為，點(diǎn)O到AB的距離的最大值為 .
【解析】∵，
∴當(dāng)∠ABO=90°時，點(diǎn)O到頂點(diǎn)A的距離的最大。
則OA=AB=10.
點(diǎn)O到AB的距離的最大值為5+5.
故答案是：10，5+5.
練習(xí)3-1如圖 1，等邊△ABC 中，AB=6，P 為AB 上一動點(diǎn)，PD⊥BC，PE⊥AC，則 DE 的最小值為？
【解析】四邊形P、D、C、E四點(diǎn)共圓，角EOD=2角ECD=120°，
設(shè)半徑為R，故ED=R，要使得DE最小，則半徑E最小
故當(dāng)直徑PC最小，CP垂直AB時，PC最短為，半徑為
故DE=R=
練習(xí)3-2如圖，點(diǎn)D為∠ABC的一邊BC上一丁點(diǎn)，且BD=5，線段PQ在∠ABC另一邊AB上移動，且PQ=2，若 sinB=，則當(dāng)∠PDQ達(dá)到最大值時，PD的長為？
【解析】D為定點(diǎn)，PQ=2是定長
所以當(dāng)DH垂直評分線段PQ時，角PDQ的值最大。
練習(xí)3-3如圖1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AE、AF交BD于M、N兩點(diǎn)，連EN．
（1）若EF∥MN，則∠ANE=90°，．
（2）如圖2，轉(zhuǎn)動∠EAF，（1）中的結(jié)論是否仍成立？請證明．
【解析】（1）延長CB，在CB的延長線上截取GB=DF，連接AG，
在正方形ABCD中，
∠DBC=45°，AB=AD，
∴∠DBC=∠EAF=45°，
∴A、B、E、N四點(diǎn)共圓，
∵∠ABC=90°，
∴由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知：∠ANE=90°，
∵∠EAF=45°，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∴AE=AN，
在△GBA與△FDA中，
AB=AD，∠ABG=∠ADF，GB=DF，
∴△GBA≌△FDA（SAS），
∴∠GAB=∠FAD，GA=AF，
∵∠BAE+∠FAD+∠EAF=90°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠BAE+∠GAB=45°，
即∠GAE=45°，
在△GAE與△FAE中，
{GA=AF，∠GAE=∠FAE，AE=AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
由圓周角定理可知，∠AEG=∠ANM，
∵∠GAE=∠MAN，
∴△AGE∽△AMN
∴GE/MN=AE/AN=，
即EF/MN=，
（2）轉(zhuǎn)動∠EAF時，由于AE、AF交BD于M、N兩點(diǎn)，
延長CB，在CB的延長線上截取GB=DF，連接AG，
在正方形ABCD中，
∠DBC=45°，AB=AD，
∴∠DBC=∠EAF=45°，
∴A、B、E、N四點(diǎn)共圓，
∵∠ABC=90°，
∴由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知：∠ANE=90°，
∵∠EAF=45°，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∴AE=AN，
在△GBA與△FDA中，
{AB=AD，∠ABG=∠ADF，GB=DF，
∴△GBA≌△FDA（SAS），
∴∠GAB=∠FAD，GA=AF，
∵∠BAE+∠FAD+∠EAF=90°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠BAE+∠GAB=45°，
即∠GAE=45°，
在△GAE與△FAE中，
{GA=AF，∠GAE=∠FAE，AE=AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
由圓周角定理可知，∠AEG=∠ANM，
∵∠GAE=∠MAN，
∴△AGE∽△AMN
∴GE/MN=AE/AN=，
即EF/MN=，
故答案為：（1）90°，；
練習(xí)3-4已知：正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，且ED=FC，ED、FC交于點(diǎn)G，連接BG，BH平分∠GBC交FC于H，連接DH.
(1)求證：ED⊥FC；
(2)求證：△DGH是等腰直角三角形。
【解析】
證明：(1)∵在正方形ABCD中，
∴AD=CD，
∵ED=FC，∠CDA=∠A=90°，
即在Rt△AED和Rt△FDC中，
∵{AD=CDFC=ED，
∴Rt△AED≌Rt△FDC(HL)，
∴∠AED=∠DFC，
∵∠AFC+∠DFC=180°，
∴∠AFC+∠AED=180°，
∴∠A+∠FGE=180°(四邊形內(nèi)角和定理)，
∵∠A=90°，
∴∠FGE=90°，
即ED⊥FC；
(2)連接EC，
∵由(1)得∠FGE=90°，∠ABC=90°，
∴∠EGC+∠EBC=180°，
∴B、C. G、E四點(diǎn)共圓(如圖所示)，?
∴∠AED=∠BCG，
∴∠BGC=∠BEC，
在RT△BCE和RT△ADE中，
∵BE=AE，∠EBC=∠A，BC=AD，
∴RT△BCE≌RT△ADE(SAS)，
∴∠AED=∠BEC，
∴∠BGC=∠AED，
∴∠BGC=∠BCG，
∴BG=BC，
又∵BH平分∠GBC交FC于H，
∴BH是GC的中垂線，
∴GH=HC，∠BHC=90°，
∵∠BCH+∠GCD=90°，∠GCD+∠GDC=90°，
∴∠BCH=∠CDG，
∵∠DGC=∠BHC=90°，CD=CB，
∴∠CGD=∠BHC，∠GDC=∠HCB，BC=CD，
∴△BHC≌△CGD，
∴DG=HC，
∵GH=HC，
∴GH=DG，
又∵∠FGE=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形。
練習(xí)3-5如圖，正方形ABCD中，P為AB邊上任意一點(diǎn)，AE⊥DP于E，點(diǎn)F在DP的延長線上，且EF=DE，連接AF、BF，∠BAF的平分線交DF于G，連接GC.
(1)求證：△AEG是等腰直角三角形；
(2)求證：AG+CG=DG.
【解析】(1)證明：∵DE=EF，AE⊥DP，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF，
∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，
∴∠AFD=∠PAE，
∵AG平分∠BAF，
∴∠FAG=∠GAP.
∵∠AFD+∠FAE=90°，
∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°
∴2∠GAP+2∠PAE=90°，
即∠GAE=45°，
∴△AGE為等腰直角三角形；
(2)證明：作CH⊥DP，交DP于H點(diǎn)，
∴∠DHC=90°.
∵AE⊥DP，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠DHC.
∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，
∴∠ADE=∠DCH.
∵在△ADE和△DCH中，
∠AED=∠DHC∠ADE=∠DCHAD=DC，
∴△ADE≌△DCH(AAS)，
∴CH=DE，DH=AE=EG.
∴EH+EG=EH+HD，
即GH=ED，
∴GH=CH.
∴CG=GH.
∵AG=EG，
∴AG=DH，
∴CG+AG=GH+DH
∴CG+AG=（GH+DH）
即CG+AG=DG

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