楊老師
學生姓名
年（尚孔教研院彭高鋼級
9
上課時間

學（尚孔教研院彭高高鋼科
數(shù)學
課題名稱
最值問題之“隱圓再現(xiàn)”的問題
教學目標
1、掌握點圓的最大最小值問題；
2、掌握尋找隱圓的方法；
3、應用隱圓解決實際問題；
最值問題之“隱圓再現(xiàn)”的問題
【知識要點】
點到圓的最小距離和最大距離
總結(jié)：（圓外一點到圓上最短距離是與圓心的連線；最長距離是與圓心連線的延長線。）
圓內(nèi)一點P到圓上的最短距離為PA，最長距離為PB；(P、A、0、B四點在同一條直線上，即P，A，B三點過圓心O) ．

二、圓的存在條件（常見的類型，還有定半徑長度類）
類型1、圓的定義：（定長）在一個平面內(nèi)，線段 AB 繞它固定的一個端點 A 旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點 B 所形成的圖形叫做圓；
類型2、定直角：直徑所對的圓周角為90°；
應用幾何性質(zhì)：
①三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；
②兩點間線段最短；
③連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；
④定圓中的所有弦中，直徑最長．
【例題精講】
知識點一、翻折定點定長--隱圓現(xiàn)。
例1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是 ．
2.如圖，在矩形ABCD中，AC=6，BC=8，點F是邊AC的中點，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到點D的距離的最小值是 ．
3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC邊上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是 ．
5．如圖，菱形ABCD邊長為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A1MN，連接A1C，則A1C的最小值是 ．
知識點二、動點定直角---隱圓現(xiàn)
1.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為 ．
2．如圖，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，點M是AC邊上一動點，連接BM，以CM為直徑的⊙O交BM于N，則線段AN的最小值為 ．
3．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D為線段AC上一動點，連接BD，過點C作CH⊥BD于H，連接AH，則AH的最小值為 ．
4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形內(nèi)部的一個動點，且AE⊥BE，則線段CE的最小值為 ．
6．如圖，正方形ABCD中，AB＝2，動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從點D出發(fā)向點C運動，點E、F運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交于點P，M是線段BC上任意一點，則MD+MP的最小值為 ．
4、（湖北武漢3分）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 ．



知識點三、動點定長隱圓現(xiàn)
1．如圖，⊙O的半徑為2，AB.CD是互相垂直的兩條直徑，點P是⊙O上任意一點，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥CD于點N，點Q是MN的中點，當點P從點A運動到點D時，點Q所經(jīng)過的路徑長為（ ）．
2．如圖，正方形ABCD的邊長為2，將長為2的線段QR的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時滑動．如果點Q從點A出發(fā)，沿圖中所示方向按A?B?C?D?A滑動到A止，同時點R從點B出發(fā)，沿圖中所示方向按B?C?D?A?B滑動到B止，在這個過程中，線段QR的中點M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為（ ）
A．2B．4﹣πC．πD．π﹣1
3．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點E、F分別為AD、DC邊上的點，且EF＝2，點G為EF的中點，點P為BC上一動點，則PA+PG的最小值為（ ）
A．3B．4C．2D．5
【立馬試試】
2．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'C．在MN上存在一動點P．連接A'P、CP，問△A'PC周長是否存在最小值是，若存在，請計算出這個最小值；若不存在，請說明理由．
7．如圖，一塊∠BAC為30°的直角三角板ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，點E在量角器的圓弧邊緣處從A到B運動，連接CE，交直徑AB于點D．
(1)當點E在量角器上對應的刻度是90°時，則∠ADE的度數(shù)為多少？
(2)若AB=8，P為CE的中點，當點E從A到B的運動過程中，點P也隨著運動，則點P所走過的路線長為多少？
類型四、三條相等線段造成的隱形圓
1．如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為（ ）
A．68°B．88°C．90°D．112°
2．如圖，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．則BD2的值為（ ）
A．14B．15C．18D．12
【課堂總結(jié)】隱形圓的幾種存在情況
1.
2.
3.
4.
【2019錦江1診真題再現(xiàn)】
（武侯二診）24．（4分）如圖，點O是矩形ABCD的對角線的交點，AB＝15，BC＝8，直線EF經(jīng)過點O，分別與邊CD，AB相交于點E，F(xiàn)（其中0＜DE＜）．現(xiàn)將四邊形ADEF沿直線EF折疊得到四邊形A′D′EF，點A，D的對應點分別為A′，D′，過D′作D′G⊥CD于點G，則線段D′G的長的最大值是 ，此時折痕EF的長為 ．
（2018?錦江區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，對角線AC、BD相交于點O，現(xiàn)將一個直角三角板OEF的直角頂點與O重合，再繞著O點轉(zhuǎn)動三角板，并過點D作DH⊥OF于點H，連接AH．在轉(zhuǎn)動的過程中，AH的最小值為 ．
【課后練習】
3．如圖，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°，在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且點C在邊OA上，連接CB，將線段OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段OE，使得DE＝CB，則∠BOE的度數(shù)為（ ）
A．15°B．15°或45°C．45°D．45°或60°
4．直線y＝x+4分別與x軸、y軸相交于點M，N，邊長為2的正方形OABC一個頂點O在坐標系的原點，直線AN與MC相交于點P，若正方形繞著點O旋轉(zhuǎn)一周，則點P到點（0，2）長度的最小值是（ ）

A．2﹣2B．3﹣2C．D．1
二．填空題（共5小題）
5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB邊上的動點（不與點B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則B′A長度的最小值是 ．
三．解答題（共2小題）
7．（阿氏圓）問題背景 如圖1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．
問題初探 請寫出任意一對滿足條件的AB與AC的值：AB＝ ，AC＝ ．
問題再探 如圖2，在AC右側(cè)作∠CAD＝∠B，交BC的延長線于點D，求CD的長．
問題解決 求△ABC的面積的最大值．
8．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x軸于點B，連接AC
畫圖操作：（1）在y正半軸上求作點P，使得∠APB＝∠ACB（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）
理解應用：（2）在（1）的條件下，
①若tan∠APB＝，求點P的坐標；
②當點P的坐標為 時，∠APB最大
拓展延伸：（3）若在直線y＝x+4上存在點P，使得∠APB最大，求點P的坐標．
9．如圖，邊長為2的正方形ABCD的頂點A，B在一個半徑為2的圓上，頂點C，D在該圓內(nèi)，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點D第一次落在圓上時，點C運動的路線長為______．

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