1.幾種特殊的多面體(1)直棱柱:側(cè)棱和底面_____的棱柱叫作直棱柱.(2)正棱柱:底面為_________的直棱柱叫作正棱柱.(3)正棱錐:一個(gè)棱錐的底面是_________,并且頂點(diǎn)在底面的射影是_________,那么稱這樣的棱錐為正棱錐.正棱錐的_______都相等,側(cè)面均為全等的等腰三角形.(4)正棱臺(tái):_______被平行于底面的平面所截,_____和_____之間的部分叫作正棱臺(tái).
2.幾種簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面展開圖與側(cè)面積
【思考】圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的關(guān)系?提示:S圓柱側(cè)=2πrl S圓臺(tái)側(cè)=π(r′+r)l S圓錐側(cè)=πrl.
【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)幾何體的側(cè)面積是指各個(gè)側(cè)面的面積之和.(　　)(2)棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由若干個(gè)等腰梯形組成的.(　　)(3)圓臺(tái)的高就是相應(yīng)母線的長(zhǎng).(　　)提示:(1)√.(2)×.棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由若干個(gè)梯形組成的,不一定是等腰梯形.(3)×.圓臺(tái)的高是指兩個(gè)底面之間的距離.
2.將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積是(　　)A.4πB.3πC.2πD.π【解析】選C.底面圓半徑為1,高為1,側(cè)面積S=2πrh=2π×1×1=2π.3.(教材二次開發(fā):例題改編)正四棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)面高為2,則其表面積為(　　)A.20B.24C.36D.44【解析】選D.S=2×2+4×4+4× (2+4)×2=20+4×6=44.
類型一　棱柱、棱錐和棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為4 cm,它的側(cè)棱與高所成的角為45°,求正三棱錐的表面積.【思路導(dǎo)引】先求出正三棱錐的高PO,從而求出側(cè)面的斜高PD進(jìn)而求出側(cè)面積和底面積.
【解析】如圖所示,設(shè)O為正三角形ABC的中心,連接PO,連接AO并延長(zhǎng)交BC于D,連接PD,則PO是正三棱錐P-ABC的高.
由正三角形ABC的性質(zhì)知,D是BC的中點(diǎn),又PB=PC,故PD⊥BC,即PD是三棱錐的斜高.由已知∠APO=45°,AO= × ×4= (cm),所以PA= AO= × = (cm),所以PB= (cm).所以PD= = = (cm).
所以正三棱錐P-ABC的側(cè)面積為:S側(cè)=3S△PBC=3× ×4× =4 (cm2),底面積:S底= ×42× =4 (cm2).故S表面積=S側(cè)+S底=4 +4 =4( + )(cm2).
【變式探究】若將本例中“側(cè)棱與高所成的角為45°”改為“側(cè)面都是直角三角形”,如何求三棱錐的表面積?【解析】由已知得正三棱錐的側(cè)面為全等的等腰直角三角形,設(shè)正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為x,則x2+x2=42所以x=2 ,所以S側(cè)=3× ×(2 )2=12(cm2).又因?yàn)镾底=4 cm2,所以S表=S側(cè)+S底=12+4 (cm2).
【解題策略】求多面體的表面積對(duì)于簡(jiǎn)單幾何體,我們可利用公式,直接求出其表面積,而在求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí),通常將所給幾何體分割(或補(bǔ)全)成基本的柱、錐、臺(tái)體,先求出這些基本的柱、錐、臺(tái)體的表面積,再通過求和或作差,求出幾何體的表面積.
【跟蹤訓(xùn)練】已知一個(gè)三棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為20 cm和30 cm的正三角形,側(cè)面是全等的等腰梯形,且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和,求棱臺(tái)的高.
【解析】如圖所示,在三棱臺(tái)ABC-A′B′C′中,O′,O分別為上、下底面的中心,D,D′分別是BC,B′C′的中點(diǎn),則DD′是等腰梯形BCC′B′的高,
所以S側(cè)=3× ×(20+30)×DD′=75DD′.又A′B′=20 cm,AB=30 cm,則上、下底面面積之和為S上+S下= ×(202+302)=325 (cm2).由S側(cè)=S上+S下,得75DD′=325 ,所以DD′= cm,又因?yàn)镺′D′= ×20= (cm),OD= ×30=5 (cm),所以棱臺(tái)的高h(yuǎn)=O′O= = =4 (cm).
類型二　圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】如圖所示,在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中,E,F分別是AB,AC的中點(diǎn),D為BC的中點(diǎn),H,G分別是BD,CD的中點(diǎn),若將正三角形ABC繞AD旋轉(zhuǎn)180°,求陰影部分形成的幾何體的表面積.
【思路導(dǎo)引】利用圓錐與圓柱的軸截面求解.【解析】該旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓錐挖去一個(gè)圓柱后形成的幾何體.令BD=R,HD=r,AB=l,EH=h,則R=2,r=1,l=4,h= .所以圓錐的表面積S1=πR2+πRl=π×22+π×2×4=12π,圓柱的側(cè)面積S2=2πrh=2π×1× =2 π.所以所求幾何體的表面積S=S1+S2=12π+2 π=(12+2 )π.
【解題策略】　(1)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的相關(guān)幾何量都集中體現(xiàn)在軸截面上,因此準(zhǔn)確把握軸截面中相關(guān)量是求解旋轉(zhuǎn)體表面積的關(guān)鍵.(2)解決柱體、錐體、臺(tái)體、球體中的接、切問題,通常是作出軸截面,轉(zhuǎn)化為平面問題來(lái)求解.
【跟蹤訓(xùn)練】圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm,它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°,那么圓臺(tái)的表面積是多少?
【解析】如圖所示,設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為c,因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°,故c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40,所以AB=SB-SA=20,所以S表面積=S側(cè)+S上+S下=π(r1+r2)·AB+π +π =π(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2).故圓臺(tái)的表面積為1100πcm2.
類型三　幾何體側(cè)面積和全面積的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】用油漆涂100個(gè)圓臺(tái)形水桶(桶內(nèi)、外側(cè)都要涂),桶口直徑為30 cm,桶底直徑為25 cm,母線長(zhǎng)是27.5 cm,已知每平方米需要油漆150 g,共需要多少油漆?(精確到0.1 kg)【思路導(dǎo)引】求水桶的表面積→計(jì)算總油漆量.【解析】每個(gè)水桶需要涂油漆的面積為S=(S桶底+S側(cè))×2=π ×2 =0.182 5π(m2),因此100個(gè)水桶需要油漆100×0.182 5π×0.15≈8.6(kg).
【解題策略】　對(duì)于有關(guān)幾何體側(cè)面積和全面積的實(shí)際問題,求解的關(guān)鍵是把題設(shè)信息數(shù)學(xué)化,然后借助數(shù)學(xué)知識(shí)解決該問題.
【跟蹤訓(xùn)練】　如圖所示的幾何體是一棱長(zhǎng)為4 cm的正方體,若在它的各個(gè)面的中心位置上打一個(gè)直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的孔,求打孔后的幾何體的表面積是多少?(π取3.14)
【解析】正方體的表面積為42×6=96(cm2),一個(gè)圓柱的側(cè)面積為2π×1×1=6.28(cm2),則打孔后幾何體的表面積為96+6.28×6=133.68(cm2).
備選類型　與空間幾何體表面積相關(guān)的綜合題(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.(1)證明:平面ADB⊥平面BDC;(2)若BD=1,求三棱錐D-ABC的表面積.【思路導(dǎo)引】(1)利用面面垂直的判定定理證明;(2)平面ABC為等邊三角形,其余各面均是直角三角形.
【解析】(1)因?yàn)檎燮鹎癆D是BC邊上的高,所以當(dāng)△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB,又DB∩DC=D,所以AD⊥平面BDC,因?yàn)锳D?平面ABD,所以平面ABD⊥平面BDC.
(2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA,因?yàn)镈B=DA=DC=1,所以AB=BC=CA= ,從而S△DAB=S△DBC=S△DCA= ×1×1= ,S△ABC= × × = ,故三棱錐D-ABC的表面積S= ×3+ = .
【解題策略】(1)棱柱、棱錐和棱臺(tái)的表面積等于側(cè)面積與底面積之和.棱柱、棱錐、棱臺(tái)均是多面體,多面體的表面積的求法有兩種:一種是分開算,把各個(gè)面的面積分別計(jì)算出來(lái),再求其和;另一種是將它們沿某些棱剪開,計(jì)算平面展開圖的面積.(2)多面體的有關(guān)表面積計(jì)算要抓住平面展開圖,或者關(guān)鍵的線面長(zhǎng),如底面邊長(zhǎng)、高等.旋轉(zhuǎn)體的表面積計(jì)算要抓住軸截面及旋轉(zhuǎn)半徑、母線長(zhǎng)等.
【跟蹤訓(xùn)練】一個(gè)圓錐的底面半徑為2 cm,高為6 cm,在其中有一個(gè)高為x cm的內(nèi)接圓柱.(1)求圓錐的側(cè)面積;(2)當(dāng)x為何值時(shí)圓柱側(cè)面積最大?求出最大值.
【解析】(1)母線l= =2 ,S側(cè)面積=π×2×2 =4 π(cm2);(2)設(shè)圓柱的底面半徑為r cm,則 = ,所以r=2- ,則圓柱的側(cè)面積為S=2π ·x=- ,所以當(dāng)x=3 cm時(shí),S最大=6π cm2.
1.圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是3和4,母線長(zhǎng)為6,則其表面積等于(　　)　　　　　　 　　　　　　 A.42πB.51πC.58πD.67π【解析】選D.S圓臺(tái)表=S圓臺(tái)側(cè)+S上底+S下底=π(3+4)×6+π×32+π×42=67π.
2.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)已知各面均為等邊三角形的四面體SABC(即正四面體SABC),棱長(zhǎng)為a,則其表面積為________.?
【解析】過點(diǎn)S作SD⊥BC,交BC于點(diǎn)D,如圖所示.因?yàn)锽C=a,SD= = = a,所以S△SBC= BC·SD= a× a= a2.因此,四面體SABC的表面積S=4× a2= a2.答案: a2
3.一個(gè)圓柱的底面面積是S,其側(cè)面積展開圖是正方形,那么該圓柱的側(cè)面積為________.?【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為R,則S=πR2,R= ,底面周長(zhǎng)c=2πR.故圓柱的側(cè)面積為S圓柱側(cè)=c2=(2πR)2=4π2 =4πS.答案:4πS
4.一座倉(cāng)庫(kù)的屋頂呈正四棱錐形,底面的邊長(zhǎng)為2.7 m,側(cè)棱長(zhǎng)為2.3 m,如果要在屋頂上鋪一層油氈紙,則需多少油氈紙?(精確到0.1 m2)

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13.3 空間圖形的表面積和體積

版本： 蘇教版 (2019)

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