考點(diǎn)一　分式方程的概念及其解法【主干必備】分式方程的概念及解法
【核心突破】【例1】(1)(2019·德州中考)方程 的解為_(kāi)__________.?(2)(2019·廣安中考)解分式方程:
【自主解答】 方程兩邊乘(x-2)2得:x(x-2)-(x-2)2=4,解得x=4,檢驗(yàn):當(dāng)x=4時(shí),(x-2)2≠0.所以原方程的解為x=4.
【明·技法】解分式方程時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)去分母時(shí),要將最簡(jiǎn)公分母乘以每一個(gè)式子,不要“漏乘”;
(2)解分式方程時(shí)必須檢驗(yàn),檢驗(yàn)時(shí)只要代入最簡(jiǎn)公分母看其是否為0即可.若能使最簡(jiǎn)公分母為0,則該解是原方程的增根.
【題組過(guò)關(guān)】1.(2019·濱州中考)方程 的解是__________.?2.(2019·廣州二模)若代數(shù)式 的值相等,則x=________.?
3.(新定義運(yùn)算題)(2019·安順期末)對(duì)于實(shí)數(shù)a,b定義一種新運(yùn)算“?”:a?b= 例如,則方程x?2= -1的解是__________.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)?
4.(2019·宜春豐城期末)解分式方程:
【解析】?jī)蛇叾汲艘?x+2)(x-1),得:x(x+2)-(x+2)(x-1)=3,解得:x=1,檢驗(yàn):x=1時(shí),(x+2)(x-1)=0,∴原方程無(wú)解.
考點(diǎn)二　與分式方程的解有關(guān)的字母取值問(wèn)題【核心突破】【例2】(1)(2018·眉山中考)已知關(guān)于x的分式方程 有一個(gè)正數(shù)解,則k的取值范圍為_(kāi)________________.?
(2)(2018·齊齊哈爾中考)若關(guān)于x的方程 無(wú)解,則m的值為_(kāi)______________.?
【明·技法】與分式方程的解有關(guān)問(wèn)題的兩種類型一是根據(jù)方程的解的性質(zhì)討論字母的取值,其解題策略是化分式方程為整式方程,用含有字母的代數(shù)式表示方程的解,根據(jù)題意列不等式求出字母的取值范圍,注意考慮滿足分母不等于零的限制條件;
二是分式方程無(wú)解,分式方程無(wú)解有兩種情況:1.由分式方程所化為的整式方程ax=b,出現(xiàn)a=0,b≠0的情況,此時(shí)整式方程無(wú)解,所以分式方程也無(wú)解;2.由分式方程化為整式方程,整式方程的解使得分式方程的分母為零,此時(shí)分式方程無(wú)解.
【題組過(guò)關(guān)】1.(2019·北京密云區(qū)期末)已知關(guān)于x的方程 的解是正整數(shù),且k為整數(shù),則k的值是(　 )A.0B.-2C.0或6D.-2或6
2.(2019·巴中中考)若關(guān)于x的分式方程 有增根,則m的值為_(kāi)_______.?3.(2019·宿遷中考)關(guān)于x的分式方程 的解為正數(shù),則a的取值范圍是________________.?
4.(2019·廣饒模擬)已知關(guān)于x的分式方程 (1)已知m=4,求方程的解.(2)若該分式方程無(wú)解,試求m的值.
【解析】分式方程去分母得:2(x+2)+mx=x-1,整理得:(m+1)x=-5.(1)當(dāng)m=4時(shí),(4+1)x=-5,解得:x=-1,經(jīng)檢驗(yàn):x=-1是原方程的解.
(2)∵分式方程無(wú)解,∴m+1=0或(x+2)(x-1)=0,當(dāng)m+1=0時(shí),m=-1;當(dāng)(x+2)(x-1)=0時(shí),x=-2或x=1.
當(dāng)x=-2時(shí)m= 當(dāng)x=1時(shí)m=-6,∴m=-1或-6或 時(shí)該分式方程無(wú)解.
考點(diǎn)三　分式方程的應(yīng)用【主干必備】列分式方程解應(yīng)用題的步驟跟一次方程(組)的應(yīng)用題不一樣的是:要檢驗(yàn),既要檢驗(yàn)求出來(lái)的解是否為原方程的根,又要檢驗(yàn)是否符合題意.
【核心突破】【例3】(1)(2019·綿陽(yáng)中考)一艘輪船在靜水中的最大航速為30 km/h,它以最大航速沿江順流航行120 km所用時(shí)間,與以最大航速逆流航行60 km所用時(shí)間相同,則江水的流速為_(kāi)________km/h.?
(2)(2019·甘肅中考)中國(guó)古代人民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題,其中《孫子算經(jīng)》中有個(gè)問(wèn)題,原文:今有三人共車,二車空;二人共車,九人步,問(wèn)人與車各幾何?譯文為:今有若干人乘車,每3人共乘一車,最終剩余2輛車,若每2人共乘一車,最終剩余9個(gè)人無(wú)車可乘,問(wèn)共有多少人,多少輛車?
【明·技法】用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵及注意點(diǎn)列分式方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是分析題意,弄清楚已知量與未知量之間的關(guān)系,從而得到等量關(guān)系式,進(jìn)而引進(jìn)未知數(shù),列出方程解決問(wèn)題.利用分式方程解應(yīng)用題一定要注意檢驗(yàn),找出符合實(shí)際情況的答案.
【題組過(guò)關(guān)】1.(2019·廣州三模)某市為綠化環(huán)境計(jì)劃植樹(shù)2 400棵,實(shí)際勞動(dòng)中每天植樹(shù)的數(shù)量比原計(jì)劃多20%,結(jié)果提前8天完成任務(wù).若設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)x棵,則根據(jù)題意可列方程為_(kāi)______________.?
2.(2019·達(dá)州中考)端午節(jié)前后,張阿姨兩次到超市購(gòu)買(mǎi)同一種粽子.節(jié)前,按標(biāo)價(jià)購(gòu)買(mǎi),用了96元;節(jié)后,按標(biāo)價(jià)的6折購(gòu)買(mǎi),用了72元,兩次一共購(gòu)買(mǎi)了27個(gè).這種粽子的標(biāo)價(jià)是多少?
【解析】設(shè)這種粽子的標(biāo)價(jià)是x元/個(gè),則節(jié)后的價(jià)格是0.6x元/個(gè),依題意,得: 解得:x=8,經(jīng)檢驗(yàn),x=8是原方程的解,且符合題意.答:這種粽子的標(biāo)價(jià)是8元/個(gè).
3.(2019·揚(yáng)州中考)“綠水青山就是金山銀山”為了更進(jìn)一步優(yōu)化環(huán)境,甲、乙兩隊(duì)承擔(dān)河道整治任務(wù).甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天共整治河道1 500米,且甲整治3 600米河道用的時(shí)間與乙工程隊(duì)整治2 400米所用的時(shí)間相等.求甲工程隊(duì)每天修多少米?
【解析】設(shè)甲工程隊(duì)每天修x米,則乙工程隊(duì)每天修(1 500-x)米,根據(jù)題意得 解得x=900,經(jīng)檢驗(yàn)x=900是原方程的根.答:甲工程隊(duì)每天修900米.
4.(2019·安徽模擬)某公司購(gòu)買(mǎi)了一批A.B型芯片,其中A型芯片的單價(jià)比B型芯片的單價(jià)少9元,已知該公司用3 120元購(gòu)買(mǎi)A型芯片的條數(shù)與用4 200元購(gòu)買(mǎi)B型芯片的條數(shù)相等.(1)求該公司購(gòu)買(mǎi)的A,B型芯片的單價(jià)各是多少元?
(2)若兩種芯片共購(gòu)買(mǎi)了200條,且購(gòu)買(mǎi)的總費(fèi)用為6 280元,求購(gòu)買(mǎi)了多少條A型芯片?
【解析】(1)設(shè)B型芯片的單價(jià)為x元/條,則A型芯片的單價(jià)為(x-9)元/條,根據(jù)題意得: 解得:x=35,經(jīng)檢驗(yàn),x=35是原方程的解,
∴x-9=26.答:A型芯片的單價(jià)為26元/條,B型芯片的單價(jià)為35元/條.

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