?17　等腰三角形與直角三角形
基礎鞏固
1．下列各組線段不能構成直角三角形的是( )
A．2,3,4 B．3,4,5
C．1,1， D．6,8,10

2．(易錯題)已知一個等腰三角形一個內角的度數為80°.則這個等腰三角形頂角的度數為( )
A．100° B．80°
C．50°或80° D．20°或80°
3．(2020·自貢)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D，連接CD，則∠ACD的度數是( )

第3題圖
A．50° B．40°
C．30° D．20°
4．(人教八上P8習題改編)一個等腰三角形的底邊長是6，腰長是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，則此三角形的周長是( )
A．16 B．12
C．14 D．12或16
5．(2020·銅仁)已知等邊三角形一邊上的高為2， 則它的邊長為( )
A．2 B．3
C．4 D．4
6．(2020·南充)如圖，在等腰三角形ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，則CD＝( )

第6題圖
A. B．
C．a－b D．b－a
7．(2020·呼倫貝爾)如圖，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D.若∠C＝65°，則∠DBC的度數是( )

第7題圖
A．25° B．20°
C．30° D．15°
8．(2020·綿陽)在螳螂的示意圖中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，則∠ACD＝( )

第8題圖
A．16° B．28°
C．44° D．45°
9．(2020·寧波)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長CB至點E，使BE＝BC，連接DE，F為DE的中點，連接BF.若AC＝8，BC＝6，則BF的長為( )

第9題圖
A．2 B．2.5
C．3 D．4
10．(2020·畢節(jié))已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為( )
A．13 B．17
C．13或17 D．13或10
11．如圖，在△ABC中，AB＝AC, D，E是兩腰的中點，F在BC上，FC＝3BF，連接DF，DF⊥BC．當∠DFE＝30°時，tan∠BDF的值為( )

第11題圖
A． B．
C． D．

12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC，ED⊥AB，則ED的長為( )

第12題圖
A．3 B．4
C．5 D．6
13．(2020·包頭)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，BE⊥CD，交CD的延長線于點E.若AC＝2，BC＝2，則BE的長為( )

第13題圖

A. B．
C． D．


14．(2020·常州)如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC，AB于點E，F.若△AFC是等邊三角形，則∠B＝______°.

第14題圖





15．(2020·襄陽)如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，則∠C＝______°.

第15題圖
16. (2020·淮安)已知直角三角形斜邊長為16，則這個直角三角形斜邊的中線長為________.
17. (2020·臺州)如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F是邊BC的三等分點．分別過點E，F沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是_______.

第17題圖
18. (2020·匯川區(qū)第五次適應性考試)《九章算術》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數是________.
19. 如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則△CDE的周長為_______.

第19題圖

20. (2020·宿遷)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AB的中點．若BC＝12，AD＝8，則DE的長為______

第20題圖
21. (2020·黔西南)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，則BD的長度為______.

第21題圖
22．(2020·衡陽改編)如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，過BC的中點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F，連接EF.

第22題圖
(1)求證：△DEF為等腰三角形；
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度數．
23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊的中點，連接AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度數；
(2)求證：FB＝FE.

第23題圖
能力提升
1．(2020·新疆)如圖，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中點，過點D作BC的平行線交AC于點E，作BC的垂線交BC于點F.若AB＝CE，且△DFE的面積為1，則BC的長為( )

第1題圖
A．2 B．5
C．4 D．10
2．(2020·德陽)已知，等腰直角三角形ABC的腰長為4，點M在斜邊AB上，點P為該平面內一動點，且滿足PC＝2，則PM的最小值為( )
A．2 B．2－2
C．2＋2 D．2
3. (2020·安順)如圖，△ABC中，點E在邊AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延長線于點D，BD＝8，AC＝11，則邊BC的長為______.

第3題圖

4．如圖，點O是等邊三角形ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD.

第4題圖
(1)求證：△OCD是等邊三角形；
(2)當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
(3)探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．
5．如圖，點C是線段AB上除點A，B外的任意一點，分別以AC，BC為邊在線段AB的同旁作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE交DC于點M，連接BD交CE于點N，連接MN.
求證：(1)AE＝BD；
(2)MN∥AB.

第5題圖

6．(2020·青島)如圖，在東西方向的海岸上有兩個相距6海里的碼頭B，D，某海島上的觀測塔A距離海岸5海里，在A處測得B位于南偏西22°方向．一艘漁船從D出發(fā)，沿正北方向航行至C處，此時在A處測得C位于南偏東67°方向，求此時觀測塔A與漁船C之間的距離．(結果精確到0.1海里)(參考數據：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈)
　　
第6題圖　　　　　

7．(2020·河南)位于河南省登封市境內的元代觀星臺，是中國現存最早的天文臺，也是世界文化遺產之一．某校數學社團的同學們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道MP上架設測角儀，先在點M處測得觀星臺最高點A的仰角為22°，然后沿MP方向前進16 m到達點N處，測得點A的仰角為45°，測角儀的高度為1.6 m.
(1)求觀星臺最高點A距離地面的高度(結果精確到0.1m.參考數據：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41)；
(2)“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6 m．請計算本次測量結果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議.

第7題圖








中考預測
1．如圖，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，D為底邊上一動點(不與點A，B重合)，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，F，則DE＋DF＝( )

第1題圖
A．5　　 B．8　　
C．13　　 D．4.8
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC.若△BCD的周長是14，BC＝6，則AC的長是( )

第2題圖
A．6　　 B．8　　
C．10　　 D．14
3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AC上一點．若DA＝DB＝15，△ABD的面積為90，則CD的長是( )

第3題圖
A．6 B．9
C．12 D．

4．如圖，已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第2個等腰直角三角形ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第3個等腰直角三角形ADE，…，依此類推，則第2 020個等腰直角三角形的斜邊長是______.

第4題圖
5．如圖，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝90°，線段AC的垂直平分線MN與AB交于點D，與AC交于點E，連接CD，則∠BCD＝______度．

第5題圖


6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E.若∠EBC＝30°，則∠A的度數為_____°.

第6題圖
7．清代數學家梅文鼎在《勾股舉隅》一書中，用四個全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法證明了勾股定理(如圖)．若Rt△ABC的斜邊AB＝5，BC＝3，則圖中線段CE的長為_______.

第7題圖




17　等腰三角形與直角三角形
基礎鞏固
1．下列各組線段不能構成直角三角形的是( A )
A．2,3,4 B．3,4,5
C．1,1， D．6,8,10

2．(易錯題)已知一個等腰三角形一個內角的度數為80°.則這個等腰三角形頂角的度數為( D )
A．100° B．80°
C．50°或80° D．20°或80°
3．(2020·自貢)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D，連接CD，則∠ACD的度數是( D )

第3題圖
A．50° B．40°
C．30° D．20°
4．(人教八上P8習題改編)一個等腰三角形的底邊長是6，腰長是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，則此三角形的周長是( A )
A．16 B．12
C．14 D．12或16
5．(2020·銅仁)已知等邊三角形一邊上的高為2， 則它的邊長為( C )
A．2 B．3
C．4 D．4
6．(2020·南充)如圖，在等腰三角形ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，則CD＝( C )

第6題圖
A. B．
C．a－b D．b－a
7．(2020·呼倫貝爾)如圖，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D.若∠C＝65°，則∠DBC的度數是( D )

第7題圖
A．25° B．20°
C．30° D．15°
8．(2020·綿陽)在螳螂的示意圖中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，則∠ACD＝( C )

第8題圖
A．16° B．28°
C．44° D．45°
9．(2020·寧波)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長CB至點E，使BE＝BC，連接DE，F為DE的中點，連接BF.若AC＝8，BC＝6，則BF的長為( B )

第9題圖
A．2 B．2.5
C．3 D．4
10．(2020·畢節(jié))已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為( B )
A．13 B．17
C．13或17 D．13或10
11．如圖，在△ABC中，AB＝AC, D，E是兩腰的中點，F在BC上，FC＝3BF，連接DF，DF⊥BC．當∠DFE＝30°時，tan∠BDF的值為( B )

第11題圖
A． B．
C． D．

12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC，ED⊥AB，則ED的長為( A )

第12題圖
A．3 B．4
C．5 D．6
13．(2020·包頭)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，BE⊥CD，交CD的延長線于點E.若AC＝2，BC＝2，則BE的長為( A )

第13題圖

A. B．
C． D．


14．(2020·常州)如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC，AB于點E，F.若△AFC是等邊三角形，則∠B＝30°.

第14題圖





15．(2020·襄陽)如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，則∠C＝40°.

第15題圖
16. (2020·淮安)已知直角三角形斜邊長為16，則這個直角三角形斜邊的中線長為8.
17. (2020·臺州)如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，E，F是邊BC的三等分點．分別過點E，F沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是6.

第17題圖
18. (2020·匯川區(qū)第五次適應性考試)《九章算術》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數是10.5.
19. 如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則△CDE的周長為7.

第19題圖

20. (2020·宿遷)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AB的中點．若BC＝12，AD＝8，則DE的長為5.

第20題圖
21. (2020·黔西南)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，則BD的長度為2.

第21題圖
22．(2020·衡陽改編)如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，過BC的中點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F，連接EF.

第22題圖
(1)求證：△DEF為等腰三角形；
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度數．
(1)證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵D是BC的中點，
∴BD＝CD.
在△BED與△CFD中，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴DE＝DF，
∴△DEF為等腰三角形．
(2)解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°.
23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊的中點，連接AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度數；
(2)求證：FB＝FE.

第23題圖
(1)解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．
∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°.
∵D為BC的中點，∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°－∠ABC＝90°－36°＝54°.
(2)證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC．
∵EF∥BC，
∴∠EBC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠BEF，
∴FB＝FE.
能力提升
1．(2020·新疆)如圖，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中點，過點D作BC的平行線交AC于點E，作BC的垂線交BC于點F.若AB＝CE，且△DFE的面積為1，則BC的長為( A )

第1題圖
A．2 B．5
C．4 D．10
2．(2020·德陽)已知，等腰直角三角形ABC的腰長為4，點M在斜邊AB上，點P為該平面內一動點，且滿足PC＝2，則PM的最小值為( B )
A．2 B．2－2
C．2＋2 D．2
3. (2020·安順)如圖，△ABC中，點E在邊AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延長線于點D，BD＝8，AC＝11，則邊BC的長為4.

第3題圖

4．如圖，點O是等邊三角形ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD.

第4題圖
(1)求證：△OCD是等邊三角形；
(2)當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
(3)探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．
(1)證明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC.
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等邊三角形．
(2)解：△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等邊三角形，
∴∠ODC＝60°.
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
(3)解：∵△OCD是等邊三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°.
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－110°－α－60°＝190°－α，
∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝α－60°，
∴∠OAD＝180°－∠AOD－∠ADO＝180°－(190°－α)－(α－60°)＝50°.
①當∠AOD＝∠ADO時，190°－α＝α－60°，
∴α＝125°；
②當∠AOD＝∠OAD時，190°－α＝50°，
∴α＝140°；
③當∠ADO＝∠OAD時，α－60°＝50°，
∴α＝110°.
綜上所述，當α＝110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．

5．如圖，點C是線段AB上除點A，B外的任意一點，分別以AC，BC為邊在線段AB的同旁作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE交DC于點M，連接BD交CE于點N，連接MN.
求證：(1)AE＝BD；
(2)MN∥AB.

第5題圖
證明：(1)∵△ACD和△BCE是等邊三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，
∴∠DCA＝∠ECB，
∴∠DCA＋∠DCE＝∠ECB＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴AE＝BD.
(2)∵△ACE≌△DCB，∴∠CAM＝∠CDN.
∵∠ACD＝∠ECB＝60°，∴∠DCN＝60°.
在△ACM和△DCN中，
∴△ACM≌△DCN(ASA)，∴MC＝NC．
∵∠MCN＝60°，∴△MCN為等邊三角形，
∴∠NMC＝60°，∴∠NMC＝∠DCA，
∴MN∥AB.
6．(2020·青島)如圖，在東西方向的海岸上有兩個相距6海里的碼頭B，D，某海島上的觀測塔A距離海岸5海里，在A處測得B位于南偏西22°方向．一艘漁船從D出發(fā)，沿正北方向航行至C處，此時在A處測得C位于南偏東67°方向，求此時觀測塔A與漁船C之間的距離．(結果精確到0.1海里)(參考數據：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈)
　　
第6題圖　　　　　第6題答圖
解：如答圖，過點A作AE⊥BD于點E，過點C作CF⊥AE于點F，則四邊形CDEF為矩形，∴CF＝DE.
根據題意可知，AE＝5，∠BAE＝22°，
∴BE＝AE·tan22°≈5×＝2，
∴DE＝BD－BE＝6－2＝4，
∴CF＝4.
在Rt△AFC中．
∵∠CAF＝67°，
∴AC＝≈4×≈4.3.
答：此時觀測塔A與漁船C之間的距離約為4.3海里．
7．(2020·河南)位于河南省登封市境內的元代觀星臺，是中國現存最早的天文臺，也是世界文化遺產之一．某校數學社團的同學們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道MP上架設測角儀，先在點M處測得觀星臺最高點A的仰角為22°，然后沿MP方向前進16 m到達點N處，測得點A的仰角為45°，測角儀的高度為1.6 m.
(1)求觀星臺最高點A距離地面的高度(結果精確到0.1m.參考數據：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41)；
(2)“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6 m．請計算本次測量結果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議.

第7題圖
解：(1)如答圖，過點A作AD⊥PM于點D，延長BC交AD于點E，
則四邊形BMNC，四邊形BMDE都是矩形，
∴BC＝MN＝16 m，DE＝CN＝BM＝1.6 m.
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE.
設AE＝CE＝x，
∴BE＝16＋x.
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝＝≈0.40，
∴x≈10.7，
∴AD＝AE＋ED≈10.7＋1.6＝12.3(m)．
答：觀星臺最高點A距離地面的高度約為12.3 m.
(2)∵“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6 m，
∴本次測量結果的誤差為12.6－12.3＝0.3 m.
減小誤差的合理化建議：可以通過多次測量取平均值的方法．
中考預測
1．如圖，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，D為底邊上一動點(不與點A，B重合)，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，F，則DE＋DF＝( D )

第1題圖
A．5　　 B．8　　
C．13　　 D．4.8
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC.若△BCD的周長是14，BC＝6，則AC的長是( B )

第2題圖
A．6　　 B．8　　
C．10　　 D．14
3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AC上一點．若DA＝DB＝15，△ABD的面積為90，則CD的長是( B )

第3題圖
A．6 B．9
C．12 D．

4．如圖，已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第2個等腰直角三角形ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第3個等腰直角三角形ADE，…，依此類推，則第2 020個等腰直角三角形的斜邊長是21 010.

第4題圖
5．如圖，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝90°，線段AC的垂直平分線MN與AB交于點D，與AC交于點E，連接CD，則∠BCD＝20度．

第5題圖


6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E.若∠EBC＝30°，則∠A的度數為40°.

第6題圖
7．清代數學家梅文鼎在《勾股舉隅》一書中，用四個全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法證明了勾股定理(如圖)．若Rt△ABC的斜邊AB＝5，BC＝3，則圖中線段CE的長為.

第7題圖


相關試卷

【中考一輪復習】2023年中考數學通用版考點梳理+練習——第18講 等腰三角形與直角三角形（含答案）：

這是一份【中考一輪復習】2023年中考數學通用版考點梳理+練習——第18講 等腰三角形與直角三角形（含答案），共7頁。

2023中考數學一輪復習專題17解直角三角形(同步練習卷）（通用版）：

這是一份2023中考數學一輪復習專題17解直角三角形(同步練習卷）（通用版），文件包含專題17解直角三角形精練通用版-老師版docx、專題17解直角三角形精練通用版-學生版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共62頁， 歡迎下載使用。

（通用版）中考數學一輪復習講與練21《等腰三角形與直角三角形》精講精練（原卷版）：

這是一份（通用版）中考數學一輪復習講與練21《等腰三角形與直角三角形》精講精練（原卷版），共13頁。試卷主要包含了已知等內容，歡迎下載使用。

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