2021屆四川省成都市高新區(qū)高三第三次階段性考試數(shù)學(xué)（理）試題  一、單選題1．復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則即可求解.【詳解】，.故選：B.2．已知集合，，則中元素的個數(shù)為（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個數(shù)為4.故選：C.【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學(xué)生對交集定義的理解，是一道容易題.3．的展開式中，第4項的系數(shù)為（    ）A． B．80 C．40 D．【答案】A【分析】用二項式展開式的通項公式代入計算即可.【詳解】解：，故選：A．【點睛】考查二項展開式中指定項的系數(shù)，記住展開式的通項公式是關(guān)鍵，基礎(chǔ)題.4．在等差數(shù)列中，為前項和，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】由. 故選：A.5．已知是邊長為2的正方形的邊中點，則的值是（    ）A．2 B．3 C．4 D．【答案】C【分析】由即可求出.【詳解】.故選：C.6．已知，滿足不等式組，則的最大值為（    ）A．2 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】首先畫出不等式組表示的可行域，再利用目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義求最值.【詳解】首先畫出可行域，當(dāng)時，畫出初始目標(biāo)函數(shù)表示的直線，平移目標(biāo)函數(shù)后，當(dāng)直線過點時，取得最大值， 故選：D7．已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（    ）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】由線面的位置關(guān)系可判斷A，B；由線面垂直的性質(zhì)和線面平行的判定可判斷C；由線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理可判斷D.【詳解】對于A，若，，可得或，故A錯誤;對于B，若，，可得或，或m與α相交，故B錯誤;對于C，若，，可得或，故C錯誤;對于D，若，由線面平行的性質(zhì)定理可得過m的平面β與α的交線1與m平行，又，可得，則，故D正確.故選：D8．已知，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可判斷.【詳解】，，，，，，.故選：D.9．已知，，則的最大值為（    ）A． B．2 C．4 D．【答案】B【分析】由兩點的距離公式表示，再運用兩角差的余弦公式化簡，利用余弦函數(shù)的值域求得最值.【詳解】∵，，∴.∵，∴.故選B.【點睛】本題綜合考查兩點的距離公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、兩角差的余弦公式和余弦的值域，屬于中檔題.10．命題：函數(shù)的最小正周期為的充要條件是；命題：定義域為的函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.則下列命題為真命題的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判斷命題的真假性，再判斷復(fù)合命題的真假.【詳解】函數(shù)周期，解得：，所以命題是真命題；若滿足定義域為的函數(shù)滿足，函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)關(guān)于軸對稱，故命題也是真命題，所以是真命題.故選:A11．已知，若直線分別與的交點橫坐標(biāo)為，，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)直線分別與與的交點分別為，，由反函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，推出，，，且，再由基本不等式，即可得出答案．【詳解】根據(jù)題意可得，設(shè)直線分別與與的交點分別為，，因為與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，由直線與直線垂直，兩直線的交點為，所以點，關(guān)于點對稱，所以，，，且所以，故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是求出，，，且，這個結(jié)論的得到涉及到反函數(shù)的圖象和性質(zhì).12．如圖，一張矩形紙的長、寬分別為，，四條邊的中點分別是，，，，現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得，，，四點重合為一點，從而得到一個多面體，關(guān)于該多面體有下述四個結(jié)論：①該多面體是六面體；        ②點到棱的距離為；③平面平面；    ④該多面體外接球的直徑為，其中所有正確結(jié)論有（    ）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用圖形翻折，結(jié)合勾股定理，可確定該多面體是以A，B，C，D為頂點的三棱錐，利用線面垂直，判定面面垂直，即可得出結(jié)論.【詳解】結(jié)論①中，長、寬分別為，，A，B，C，D分別是其四條邊的中點，則由勾股定理可得，，，，四點重合為一點，從而得到一個多面體，如圖，該多面體是以A，B，C，D為頂點的三棱錐，故①錯誤；結(jié)論②中，，，是等腰直角三角形，點到棱的距離為，故②正確；結(jié)論③，，， 平面，又平面，平面平面，故③正確；結(jié)論④，三棱錐擴(kuò)展為長方體，三棱錐的外接球就是長方體的外接球，長方體的外接球直徑是長方體的體對角線，設(shè)長方體的三邊長分別為，則 ，可得，該多面體外接球的直徑為，故④正確.所以結(jié)論②③④正確，共3個.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意，得出折疊之后的幾何體，并依托于一個長方體畫出其圖象，再進(jìn)行位置關(guān)系的證明，以及求值.  二、填空題13．已知函數(shù)，的最小正周期是___________.【答案】【分析】先化簡函數(shù)f(x)，再利用三角函數(shù)的周期公式求解.【詳解】由題得，所以函數(shù)的最小正周期為.故答案為：【點睛】本題主要考查和角的正切和正切函數(shù)的周期的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14．已知數(shù)列的前項和，則______.【答案】【分析】分，兩種情況，由求解.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，而適合上式，所以故答案為：15．若對任意a，b滿足0<a<b<t，都有blna<alnb，則t的最大值為________.【答案】e【分析】不等式變形為，只要在上為增函數(shù)即可．【詳解】因為0<a<b<t，blna<alnb，所以，令y＝，x∈(0，t)，則函數(shù)在(0，t)上單調(diào)遞增，故y′＝≥0，解得0<x≤e，故t的最大值是e.故答案為：．【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)在上遞增，方法是構(gòu)造法．16．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，若雙曲線的左支上存在一點P，使得與雙曲線的一條漸近線垂直于點H，且，則此雙曲線的離心率為______.【答案】.【分析】設(shè)出雙曲線的焦點和一條漸近線方程，求得到漸近線的距離，可得，，由直角三角形的銳角三角函數(shù)和三角形的余弦定理，化簡可得，再由離心率公式可得所求值.【詳解】設(shè)雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為：，， 一條漸近線方程為，可得到漸近線的距離為，，則，，在直角三角形中，，在中，可得，化為，即有，故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率，考查三角形的余弦定理和銳角三角函數(shù)的定義，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題. 三、解答題17．在中，，，.（1）求；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接利用正弦定理求出結(jié)果.（2）直接利用余弦定理和三角形的面積公式求出結(jié)果.【詳解】（1）中，，，.所以：，利用正弦定理得：，解得：，由于，所以：，利用三角形內(nèi)角和，所以：；（2）利用余弦定理：，解得：.所以：.【點睛】本題考查正余弦定理解三角形，重點考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.18．共享單車進(jìn)駐城市，綠色出行引領(lǐng)時尚．某市有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，2020年該市共享單車用戶年齡等級分布如圖1所示，一周內(nèi)市民使用單車的頻率分布扇形圖如圖2所示．若將共享單車用戶按照年齡分為“年輕人”（20歲－39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或者40歲及以上）兩類，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使用單車用戶”，使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常使用單車用戶”．已知在“經(jīng)常使用單車用戶”中有是“年輕人”．（1）現(xiàn)對該市市民進(jìn)行“經(jīng)常使用共享單車與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個容量為200的樣本，請你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下列列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，判斷是否有85%的把握認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)？ 年輕人非年輕人合計經(jīng)常使用單車用戶  120不常使用單車用戶  80合計16040200 使用共享單車情況與年齡列聯(lián)表      （2）將（1）中頻率視為概率，若從該市市民中隨機(jī)任取3人，設(shè)其中經(jīng)常使用共享單車的“非年輕人”人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列與期望．參考數(shù)據(jù)：獨立性檢驗界值表0.150.100.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635 其中，，【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有的把握可以認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．【分析】（1）補(bǔ)全的列聯(lián)表，利用公式求得，即可得到結(jié)論；（2）由（1）的列聯(lián)表可知，經(jīng)常使用單車的“非年輕人”的概率，即可利用獨立重復(fù)試驗求解隨機(jī)變量取每個數(shù)值的概率，列出分布列，求解數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）補(bǔ)全的列聯(lián)表如下： 年輕人非年輕人合計經(jīng)常使用共享單車10020120不常使用共享單車602080合計16040200于是，，，，∴，即有的把握可以認(rèn)為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關(guān)．（2）由（1）的列聯(lián)表可知，經(jīng)常使用共享單車的“非年輕人”占樣本總數(shù)的頻率為，即在抽取的用戶中出現(xiàn)經(jīng)常使用單車的“非年輕人”的概率為0.1，∵，∴，，，∴的分布列為01230.7290.2430.0270.001．∴的數(shù)學(xué)期望．【點睛】本題主要考查了列聯(lián)表,獨立性檢驗，二項分布，二項分布的期望，屬于中檔題.19．如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，，點是的中點．（Ⅰ）線段上是否存在一點，使得點，，，共面，存在請證明，不存在請說明理由；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）存在的中點滿足條件.證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）取的中點，連接，，根據(jù)平行的傳遞性，證明，即可證明四點共面；（Ⅱ）取的中點，連結(jié)，以點為坐標(biāo)原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式，即可求出結(jié)果.【詳解】證明：（Ⅰ）存在的中點滿足條件；連接，，因為點是的中點，則是三角形的中位線，所以，又由已知，所以，所以，，，四點共面；（Ⅱ）取的中點，連結(jié)，以點為坐標(biāo)原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，則，，，，，∴，，設(shè)為平面的一個法向量，則，所以，不妨取，則，所以；設(shè)為平面的一個法向量，則，所以，取，則，，所以∴，又因為所求二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點睛】方法點睛：立體幾何體中空間角的求法：（1）定義法：根據(jù)空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）的定義，通過作輔助線，在幾何體中作出空間角，再解對應(yīng)三角形，即可得出結(jié)果；（2）空間向量的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，平面的法向量，通過計算向量夾角（兩直線的方法向量夾角、直線的方向向量與平面的法向量夾角、兩平面的法向量夾角）的余弦值，來求空間角即可.20．如圖，拋物線：的焦點為，拋物線上一定點．過焦點的直線（不經(jīng)過點）與拋物線交于，兩點，與準(zhǔn)線交于點．（1）若，求直線的斜率；（2）記，，的斜率分別為，，，問是否存在常數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）先將代入拋物線方程，求解拋物線的方程，設(shè)的中點為點，直線的傾斜角為，根據(jù)題意可得，，得，得的斜率為；（2）設(shè)直線的方程為，，，，然后分別表示出，及，然后聯(lián)立直線與拋物線方程，得出，，假設(shè)成立，將，及的表達(dá)式代入，再將，的值代入求解的值.【詳解】解：（1）把點的坐標(biāo)代入，解得，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線的方程為．設(shè)的中點為點，直線的傾斜角為.過作，則而∴∴∴直線的斜率為.（2）由條件可設(shè)直線的方程為，，由拋物線準(zhǔn)線：，可知．又，所以由消去整理得:，顯然，設(shè)，，則，又，則，．因為，，三點共線，所以，即，所以即存在常數(shù)，使得成立．【點睛】圓錐曲線中的存在性問題通常采用“肯定順推法”，一般步驟為：先假設(shè)滿足條件的點、直線、參數(shù)等存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他條件進(jìn)行推理計算，若不出現(xiàn)矛盾，并且能得到相應(yīng)的點、直線或參數(shù)值等，則所求問題有解，否則不存在.在解答的過程中要注意設(shè)而不求思想的運用，注意韋達(dá)定理在推力計算中的運用.21．已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)，恒成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，記，求證：對任意，恒成立.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】(1）對函數(shù)求導(dǎo)，然后分a≥1，及討論即可得出結(jié)論；(2) ，然后分及x∈兩種情況驗證即可得證.【詳解】（1）因為，所以， 易知在單調(diào)遞減；∵，∴（i）當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，故，符合題意；（ii）當(dāng)時，使，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；故當(dāng)時，，不符合題意；（iii）當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，故，不符合題意；綜上所述， （2），當(dāng)時，，令，所以，故在單調(diào)遞減，所以，即，所以在單調(diào)遞減，所以.綜上：對任意，恒成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題，首先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得到最值，轉(zhuǎn)化為關(guān)于最值的不等式成立求解，涉及考查分類討論思想，運算求解能力及邏輯推理能力，屬于中檔題．22．在極坐標(biāo)系中，已知圓：，直線：.（1）若點在圓上，求的值；（2）以極點為原點，以極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，已知直線：與、在第一象限的交點分別為，，求的值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）將點坐標(biāo)代入圓的極坐標(biāo)方程，由此求得；結(jié)合極點也在圓上求得的所有可能取值.（2）求得直線的極坐標(biāo)方程，并分別與的方程聯(lián)立，求得，由此求得的值.【詳解】（1）將的坐標(biāo)代入：得到，又因為（即極點）也在圓上，所以或.（2）的斜率為，傾斜角為，所以直線的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立與得，聯(lián)立與得，所以.23．已知為正數(shù)，且滿足 證明：（1）；（2）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）變換，利用均值不等式得到答案.（2），利用三元均值不等式得到答案.【詳解】（1），故，當(dāng)時等號成立.（2）易知..當(dāng)時等號成立.【點睛】本題考查了根據(jù)均值不等式證明不等式，意在考查學(xué)生對于均值不等式的應(yīng)用能力.

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