理數(shù)
第Ⅰ卷
一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知，，則（ ）．
A．0B．C．D．
2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面中所對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．設(shè)實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為（ ）．
A．B．C．0D．2
4．在中，，，分別為角，，的對邊，若，，，依次成遞增的等差數(shù)列，當(dāng)?shù)闹荛L為20時，其面積等于（ ）．
A．B．C．D．
5．平面區(qū)域是由，以及軸圍成的封閉圖形，圖中陰影部分是由和直線圍成的，現(xiàn)向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（ ）．
A．B．C．D．
6．已知平面向量，，當(dāng)和垂直時，（ ）．
A．B．22C．D．25
7．設(shè)正數(shù)，滿足，的最小值為（ ）．
A．6B．8C．9D．10．
8．函數(shù)，則不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
9．上世紀(jì)50年代小學(xué)冬天普遍采用三足鑄鐵火爐，爐子上是鐵皮卷成的煙囪，拐彎處的煙囪叫拐脖，如圖1所示．其中一部分是底面半徑為1的鐵皮圓柱筒被一個與底面成45°的平面截成，截成的最短和最長母線長分別為，，如圖2所示，現(xiàn)沿將其展開，放置坐標(biāo)系中，則展開圖上緣對應(yīng)的解析式為（ ）．
圖1圖2
A．B．
C．D．
10．設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線交雙曲線的兩條漸近線于，兩點(diǎn)（，分別在一、四象限），和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率為（ ）．
A．B．C．3D．4
11．已知，若有5個零點(diǎn)，則這五個零點(diǎn)之和的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
12．直四棱柱中，底面四邊形為菱形，，，，為中點(diǎn)，過且和平面垂直的平面為平面，平面，則直線和平面所成角的正弦值為（ ）．
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分．第13～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
二、填空題：
13．某圓錐的軸截面是斜邊長為20的等腰直角三角形，則該圓錐的表面積等于______．
14．定義在上的偶函數(shù)，滿足，且，則______．
15．直線的傾斜角為銳角，且和圓及圓均相切，則直線的斜率等于______．
16．已知為拋物線的焦點(diǎn)，弦經(jīng)過，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)膬A斜角等于60°時，______．
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．?dāng)?shù)列滿足，．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)的前項(xiàng)之和為，，求數(shù)列的前項(xiàng)之和．
18．在三棱錐中，，，．
（1）求證：平面平面；
（2）若點(diǎn)滿足，求二面角的余弦值．
19．某班主任對本班40名同學(xué)每天參加課外活動的時間（分鐘）進(jìn)行了詳細(xì)統(tǒng)計(jì)，并繪制成頻率分布直方圖，如圖所示：
（1）求實(shí)數(shù)的值以及參加課外活動時間在中的人數(shù)；
（2）從每天參加活動不少于40分鐘的人中任選3人，用表示參加課外活動不少于50分鐘的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
20．已知橢圓的離心率為，為右焦點(diǎn)，上一點(diǎn)滿足垂直于軸，．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率為2的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．
21．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最小正整數(shù)值．
22．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程．
在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）寫出圓的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線交圓于，兩點(diǎn)，求．
23．選修4-5：不等式選講
已知．
（1）解不等式；
（2）設(shè)函數(shù)的最小值為，，若存在實(shí)數(shù)，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
參考答案
1．B
【解析】依題意知，，因此．故選B．
2．C
【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，它在復(fù)平面中所對應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限．故選C．
3．B
【解析】由，得，作一簇斜率為的直線，
根據(jù)的幾何意義知，在點(diǎn)處取得最小值．故選B．
4．A
【解析】由，得，
而由，，依次成遞增的等差數(shù)列，得，
因?yàn)?，所以?br>將它代入到中并配方得，；
再將代入可得，
因此．故選A．
5．A
【解析】區(qū)域的面積，
而由直角三角形的面積等于4可知，陰影面積為，
因此點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為．故選A．
6．D
【解析】當(dāng)和垂直時，有成立，解得，
此時根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，，
所以．故選D．
7．C
【解析】依題意，
因此
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故選C．
8．A
【解析】，所以在上為一個增函數(shù)，
由知函數(shù)為一個奇函數(shù)，
所以等價于，
所以，解得或．故選A．
9．D
【解析】是圖象上任意一點(diǎn)對應(yīng)煙囪上的點(diǎn)，
是底面圓周上一點(diǎn)，是母線，
設(shè)底面圓心為，，則，
設(shè)于，平面交于，
易得，作于，
則．
故選D．
10．A
【解析】設(shè)，依題意，，，
由于是直線和雙曲線的交點(diǎn)，因此可以求出，
故，，
由于，因此可以得到，
化簡得，即，
再結(jié)合，得，于是離心率．
故選A．
11．C
【解析】作出函數(shù)的圖象，
則的零點(diǎn)相當(dāng)于直線與函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
欲使有五個零點(diǎn)，則，
設(shè)此五個零點(diǎn)依次為，，，，，
由和的對稱性可知，，
而，因此這五個零點(diǎn)之和取值范圍是．故選C．
12．D
【解析】分別取，，的中點(diǎn)，，，
又為的中點(diǎn)，所以，所以，，，四點(diǎn)共面．
由四邊形為菱形知，，
再根據(jù)三角形的中位線定理知，所以，
又，，故平面．
又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>由及線面平行的判定定理知，平面，
所以平面即為平面，
由，設(shè)，
則到平面的距離等于到平面的距離，
而到平面的距離等于線段的長度，
由于四邊形為邊長等于2的菱形，，
因此為正三角形，故；
也即點(diǎn)到平面的距離等于，
而，
因此直線和平面所成角的正弦值為．故選D．
13．
【解析】依題意，圓錐的底面半徑等于10，高等于10，母線長為，
于是其側(cè)面積等于，底面積為，
因此圓錐的表面積為．
14．2
【解析】依題意，，，
因此函數(shù)的周期為3，
所以，，
因此．
15．
【解析】如圖所示，
設(shè)直線和圓切于點(diǎn)，和圓切于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
依題意，圓和圓外切，
在直角三角形中，由于，，
因此，從而的斜率等于，
而由和平行知，直線的斜率亦為．
16．
【解析】設(shè)，，
此時的直線方程為，即，
將它代入到拋物線方程中，得，
則，，
由，得，解得，
此時的直線方程為，拋物線方程為．
不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，因此可以解得，．
∴，，
∴．
17．【解析】解：（1）因?yàn)椋?br>所以兩邊同時加上1可得，，
因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
因此，故．
（2）依題意，，
因此，
故，
兩邊同時乘以3得：，
兩式相減得：，
，
，
，
因此，．
18．【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接和，
由于，因此，
而由，，得，
又因?yàn)?，，為的中點(diǎn)，因此，
在中，由于，
故根據(jù)勾股定理的逆定理知，
由于直線和平面內(nèi)的兩條相交直線，都垂直，
因此根據(jù)直線和平面垂直的判定定理知，直線平面，
又因?yàn)槠矫妫虼似矫嫫矫妫?br>（2）由（1）知、、兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，、、分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，由于，，
而，因此，，，，
因此，
設(shè)平面的一個法向量為，
由于，，故可得方程組，
因此可得其中一個法向量為，
而平面的一個法向量為，
則，
因?yàn)槎娼菫殇J角，
所以二面角的余弦值為．
19．【解析】解：（1）因?yàn)樗行【匦蚊娣e之和等于1，
所以可得方程，
解得，
由于參加課外活動時間在內(nèi)的頻率等于，
因此參加課外活動時間在中的人數(shù)為．
（2）依題意，參加課外活動時間在，的人數(shù)分別為7人和5人，
隨機(jī)變量的取值可能為0，1，2，3．
因?yàn)?，?br>，，
所以的分布列為：
．
20．【解析】設(shè)橢圓的焦距為，依題意得，
由，知點(diǎn)坐標(biāo)為，
代入到橢圓方程中得，
結(jié)合，可以解得，，
故橢圓的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，，
則根據(jù)弦長公式得．
將代入到橢圓方程中得，
由得，
且，，
故，
設(shè)到直線的距離為，
則根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得．
因此，的面積為
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
因此，當(dāng)時，面積的最大值為1．
21．【解析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，
當(dāng)時，在上恒為負(fù)數(shù)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令得，
令得．
此時，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增．
（2）法一：依題意，在上恒成立，
即在上恒成立，
令，只需，
則
，
令，則，
令，由于，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值．
于是根據(jù)恒為負(fù)數(shù)知，恒成立，
因此在上單調(diào)遞減．
而，知，
在區(qū)間上必存在，使得函數(shù)滿足，
因?yàn)椋?br>所以時，，單調(diào)遞增；
在時，，單調(diào)遞減．
故．
由得，故，
由于，因此，，
因此實(shí)數(shù)的最小正整數(shù)值為1．
法二：若，則．
當(dāng)時，由第（1）問可知，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時，即與要求矛盾，不合題意，舍去．
當(dāng)時，由（1）可知，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，
不妨記為，則有，，
所以代入，
又因?yàn)椋矗?br>代入可得，
構(gòu)造函數(shù)，
，
令，，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
所以當(dāng)時，取得最大值．
于是根據(jù)恒為負(fù)數(shù)知，恒成立，
所以在上單調(diào)遞減．
而，知，
在區(qū)間上必存在，使得，
從而當(dāng)?shù)葍r于，即，
而，所以，
又，所以，
所以的最小正整數(shù)值為1．
22．【解析】（1）將，，代入到圓的方程中，
得圓的極坐標(biāo)方程為，
而直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．
（參數(shù)方程不唯一）
（2）
將直線的參數(shù)方程代入到圓的直角坐標(biāo)方程中得
，
化簡得．
，所以方程有兩個根，分別記為，，
，，
則，
所以．
23．【解析】，
（1）當(dāng)時，所解不等式可化為，解得，
再結(jié)合條件知，此時不等式無解；
當(dāng)時，所解不等式可化為，解得，
再結(jié)合條件知，此時不等式的解集為；
當(dāng)時，所解不等式可化為，解得，
再結(jié)合條件知，此時不等式的解集為．
綜上所述，原不等式的解集為．
（2）因?yàn)闀r，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增，且是一條連續(xù)不間斷的曲線．
因此函數(shù)的最小值為．
于是實(shí)數(shù)，從而，
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使不等式成立，
所以，
由于，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
由，得．
于是實(shí)數(shù)的取值范圍是．
0
1
2
3

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