2021年高考數(shù)學(xué)解答題專項突破練習-《數(shù)列》三教師版-試卷下載-教習網(wǎng)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5=5,S5=15.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若，求數(shù)列{bn}的前100項和．

【答案解析】解:

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知數(shù)列{an}滿足.

（1）求證：是等比數(shù)列；

（2）求{an}的通項公式.

【答案解析】解：

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，前n項和為Sn，且a2·a3=45，S4=28.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若bn=eq \f(Sn,n＋c)(c為非零常數(shù))，且數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，求c的值.

【答案解析】解：(1)∵S4=28，∴eq \f(?a1＋a4?×4,2)=28，

∴a1＋a4=14，則a2＋a3=14，

又a2·a3=45，公差d＞0，

∴a2＜a3，a2=5，a3=9，

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝5，,a1＋2d＝9，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝4，))∴an=4n－3.

(2)由(1)知Sn=2n2－n，∴bn=eq \f(Sn,n＋c)=eq \f(2n2－n,n＋c)，

∴b1=eq \f(1,1＋c)，b2=eq \f(6,2＋c)，b3=eq \f(15,3＋c).

又{bn}是等差數(shù)列，∴b1＋b3=2b2，

即2×eq \f(6,2＋c)=eq \f(1,1＋c)＋eq \f(15,3＋c)，解得c=－eq \f(1,2)(c=0舍去).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 等比數(shù)列{an}中，已知a1=2，a4=16．

(I)求數(shù)列{an}的通項公式；

(Ⅱ)數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，a3=b3，a5=b5試求數(shù)列{bn}的通項公式．

【答案解析】解：(I)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

∵a1=2，a4=16．

∴16=2q3，解得q=2．

∴an=2n．

(II)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，

∵b3=a3=23=8，b5=a5=25=32．

∴b1+2d=8，b1+4d=32，解得b1=﹣16，d=12，

∴bn=﹣16+12(n﹣1)=12n﹣28．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1＋λan，其中λ≠0.

(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式；

(2)若S5=eq \f(31,32)，求λ.

【答案解析】解：(1)證明：由題意得a1=S1=1＋λa1，故λ≠1，a1=eq \f(1,1－λ)，故a1≠0.

由Sn=1＋λan，Sn＋1=1＋λan＋1得an＋1=λan＋1-λan，即an＋1(λ-1)=λan.

由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以eq \f(an＋1,an)=eq \f(λ,λ－1).

因此{an}是首項為eq \f(1,1－λ)，公比為eq \f(λ,λ－1)的等比數(shù)列，于是an=eq \f(1,1－λ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,λ－1)))n-1.

(2)由(1)得Sn=1-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,λ－1)))n.由S5=eq \f(31,32)得1-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,λ－1)))5=eq \f(31,32)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,λ－1)))5=eq \f(1,32).解得λ=-1.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知等差數(shù)列{an}的公差為2，等比數(shù)列{bn}的公比為2，且anbn=n·2n．

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；

(2)令cn=eq \f(1,an·lg2bn＋3)，記數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，試比較Tn與eq \f(3,8)的大?。?br/>

【答案解析】解：

(1)∵anbn=n·2n，

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1b1＝2，,a2b2＝8))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1b1＝2，,?a1＋2?·2b1＝8，))解得a1=2，b1=1，

∴an=2＋2(n－1)=2n，bn=2n－1．

(2)∵an=2n，bn=2n－1，

∴cn=eq \f(1,an·lg2bn＋3)=eq \f(1,2n?n＋2?)=eq \f(1,4)eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋2)，

∴Tn=c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn－1＋cn

=eq \f(1,4)1－eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,5)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,6)＋…＋eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋2)

=eq \f(1,4)1＋eq \f(1,2)－eq \f(1,n＋1)－eq \f(1,n＋2)

=eq \f(3,8)－eq \f(1,4)eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)