2021年高考數(shù)學(xué)解答題專(zhuān)項(xiàng)突破練習(xí)-《數(shù)列》二 教師版

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LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn，，.


(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；


(2)設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.


【答案解析】解：(Ⅰ) ；(Ⅱ) .





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{aeq \\al(2,n)}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且3Tn=Seq \\al(2,n)＋2Sn，n∈N*.


(1)求a1的值；


(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．


【答案解析】解：(1)由3T1=Seq \\al(2,1)＋2S1，得3aeq \\al(2,1)=aeq \\al(2,1)＋2a1，即aeq \\al(2,1)－a1=0.


因?yàn)閍1＞0，所以a1=1.


(2)因?yàn)?Tn=Seq \\al(2,n)＋2Sn，①


所以3Tn＋1=Seq \\al(2,n＋1)＋2Sn＋1，②


②－①，得3aeq \\al(2,n＋1)=Seq \\al(2,n＋1)－Seq \\al(2,n)＋2an＋1.


因?yàn)閍n＋1＞0，所以3an＋1=Sn＋1＋Sn＋2，③


所以3an＋2=Sn＋2＋Sn＋1＋2，④


④－③，得3an＋2－3an＋1=an＋2＋an＋1，即an＋2=2an＋1，


所以當(dāng)n≥2時(shí)，eq \f(an＋1,an)=2.


又由3T2=Seq \\al(2,2)＋2S2，


得3(1＋aeq \\al(2,2))=(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即aeq \\al(2,2)－2a2=0.


因?yàn)閍2＞0，所以a2=2，所以eq \f(a2,a1)=2，


所以對(duì)n∈N*，都有eq \f(an＋1,an)=2成立，


所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n－1，n∈N*.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.


（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；


（2）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足條件，，，


若，求數(shù)列的前項(xiàng)和


【答案解析】（1）（2）





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0,b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4.


(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；


(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和(n∈N*).


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在數(shù)列{an}中，an＋1＋an=2n－44(n∈N*)，a1=－23．


(1)求an；


(2)設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，求Sn的最小值．


【答案解析】解：


(1)∵an＋1＋an=2n－44(n∈N*)，①


an＋2＋an＋1=2(n＋1)－44，②


由②－①，得an＋2－an=2．


又∵a2＋a1=2－44，a1=－23，∴a2=－19，


同理得，a3=－21，a4=－17．


故a1，a3，a5，…是以a1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，


a2，a4，a6，…是以a2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．


從而an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－24，n為奇數(shù)，,n－21，n為偶數(shù).))


(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，


Sn=(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)


=(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2(n－1)－44]


=2[1＋3＋…＋(n－1)]－eq \f(n,2)×44=eq \f(n2,2)－22n，


故當(dāng)n=22時(shí)，Sn取得最小值為－242．


當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，


Sn=a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)


=a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44]


=a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋eq \f(n－1,2)·(－44)


=－23＋eq \f(?n＋1??n－1?,2)－22(n－1)


=eq \f(n2,2)－22n－eq \f(3,2)．


故當(dāng)n=21或n=23時(shí)，Sn取得最小值－243．


綜上所述：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn取得最小值為－242；


當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn取得最小值為－243．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 {an}為等差數(shù)列，公差d＞0，Sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，已知a1a4=27，S4=24．


(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；


(2)令bn=an?2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．


【答案解析】解：(1)∵a1a4=27，S4=24． ∴，


解得a1=3，d=2． ∴an=3+2(n-1)=2n+1．


(2)bn=an?2n=(2n+1)?2n． ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=3×2+5×22+…+(2n+1)?2n，


2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)?2n+(2n+1)?2n+1，


∴-Tn=6+2×(22+23+…+2n)-(2n+1)?2n+1=2+2×-(2n+1)?2n+1=-2+(1-2n)?2n+1，


∴Tn=(2n-1)?2n+1+2．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1=1，公比q>0，其前n項(xiàng)和為Sn，且S1+a1,S3+a3,S2+a2成等差數(shù)列.


（1）求{an}的通項(xiàng)公式；


（2）若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足為數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和，若Tn≥m恒成立，求m的最大值.


【答案解析】


解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 函數(shù)f（x）=ae2csx（x∈[0，+∞），記xn為f（x）的從小到大的第n（n∈N*）個(gè)極值點(diǎn)．


（1）證明：數(shù)列{f（xn）}是等比數(shù)列；


（2）若對(duì)一切n∈N*，xn≤|f（xn）|恒成立，求a的取值范圍．


【答案解析】


解：








LISTNUM OutlineDefault \l 3 設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足.


（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，S3=12．


(1)求a24與S7的值；


(2)已知m、n均為正整數(shù)，滿(mǎn)足am=Sn．試求所有n的值構(gòu)成的集合．


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知數(shù)列{an}與{bn}滿(mǎn)足an+1-an=2(bn+1-bn)(,n∈N).


(1)若a1=1,bn=3n+5，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；


(2)若a1=6，bn=2n(n∈N*)且λan>2n+n+2λ對(duì)一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍.


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn+1=Sn+1，其中q﹥0，n∈N+.


(1)若a2，a3，a2+ a3成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；


(2)設(shè)雙曲線(xiàn)的離心率為en，且e2=2，求e12+ e22+…+en2，


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＋1=qSn＋1，其中q＞0，n∈N*.


(1)若2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；


(2)設(shè)雙曲線(xiàn)x2－eq \f(y2,a\\al(2,n))=1的離心率為en，且e2=eq \f(5,3)，證明：e1＋e2＋…＋en＞eq \f(4n－3n,3n－1).


【答案解析】解：(1)由已知，Sn＋1=qSn＋1，Sn＋2=qSn＋1＋1，


兩式相減得到an＋2=qan＋1，n≥1.


又由S2=qS1＋1得到a2=qa1，


故an＋1=qan對(duì)所有n≥1都成立.


所以，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列.


從而an=qn－1.由2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列，


可得2a3=3a2＋2，即2q2=3q＋2，則(2q＋1)(q－2)=0，


由已知，q＞0，故q=2.


所以an=2n－1(n∈N*).


(2)證明：由(1)可知，an=qn－1.


所以雙曲線(xiàn)x2－eq \f(y2,a\\al(2,n))=1的離心率en=eq \r(1＋a\\al(2,n))=eq \r(1＋q2?n－1?).


由e2=eq \r(1＋q2)=eq \f(5,3)，解得q=eq \f(4,3).


因?yàn)?＋q2(k－1)＞q2(k－1)，所以eq \r(1＋q2?k－1?)＞qk－1(k∈N*).


于是e1＋e2＋…＋en＞1＋q＋…＋qn－1=eq \f(qn－1,q－1)，


故e1＋e2＋…＋en＞eq \f(4n－3n,3n－1).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an＋1.


(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；


(2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足，n∈N*，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.


【答案解析】 (1) an=2n－1;(2)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知數(shù)列滿(mǎn)足，，.


（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并且求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；


（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.


【答案解析】解：