【精品試卷】中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題測試-27尺規(guī)作圖（基礎(chǔ)）（教師版）

  專題27 尺規(guī)作圖及證明（專題測試-基礎(chǔ)）一、作圖題（共14題；共133分）1.如圖，AD是△ABC的角平分線  （1）作線段AD的垂直平分線EF，分別交AB、AC于點E、F；  （用直尺和圓規(guī)作圖，標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不寫作法.）（2）連接DE、DF，四邊形AEDF是________形.（直接寫出答案）    2.如圖， 中， ， ， ．  （1）用直尺和圓規(guī)作 的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）    （2）若（1）中所作的垂直平分線交 于點 ，求 的長．    3.如圖，已知等腰△ABC頂角∠A＝36°.（1）在AC上作一點D，使AD＝BD（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明，最后用黑色墨水筆加墨）；    （2）求證：△BCD是等腰三角形.    4.如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上.   （1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的平分線，與⊙O交于點D；連接OD，交BC于點E（不寫作法，只保留作圖痕跡，且用黑色墨水筆將作圖痕跡加黑）；    （2）探究OE與AC的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.    5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D,E,F分別是AC,AB,BC的中點，連接ED,EF.   （1）求證：四邊形DEFC是矩形；    （2）請用無刻度的直尺在圖中作出∠ABC的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）.    6.如圖，在 中， ， ， ，D、E分別是斜邊AB、直角邊BC上的點，把 沿著直線DE折疊．（1）如圖1，當(dāng)折疊后點B和點A重合時，用直尺和圓規(guī)作出直線DE； 不寫作法和證明，保留作圖痕跡 （2）如圖2，當(dāng)折疊后點B落在AC邊上點P處，且四邊形PEBD是菱形時，求折痕DE的長．    7.如圖，BD是菱形ABCD的對角線，∠CBD=75°，（1）請用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為E，交AD于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）    （2）在（1）條件下，連接BF，求∠DBF的度數(shù)．    8.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°．   （1）作∠ACB的平分線交AB邊于點O，再以點O為圓心，OB的長為半徑作⊙O；（要求：不寫做法，保留作圖痕跡）    （2）判斷（1）中AC與⊙O的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)果．    9.如圖，在 中， .（1）作 的平分線交 邊于點 ，再以點 為圓心， 的長為半徑作 ；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）    （2）判斷（1）中 與 的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)果.    10.如圖，在 中．

①利用尺規(guī)作圖，在BC邊上求作一點P，使得點P到AB的距離 的長 等于PC的長；
②利用尺規(guī)作圖，作出（1）中的線段PD．
要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑 11.如圖，在△ABC中  （1）作圖，作BC邊的垂直平分線分別交于AC，BC于點D，E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）    （2）在（1）條件下，連接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值．    12.如圖，點D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A。   （1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點E(用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法)；    （2）在(1)的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系，并說明理由。    13.在△ABC中，∠C＝90°  （1）尺規(guī)作圖：作AB的垂直平分線，交BC于點D，交AB于點E；（不寫作法圖，保留作圖痕跡）    （2）若AC＝2，∠B＝15°，求BD的長．    14.如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC  （1）尺規(guī)作圖：在AD上標(biāo)出一點P，使得點P到點B和點C的距離相等（不寫作法，但必須保留作圖痕跡）；    （2）過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，求證：BE=CF；    （3）若AB=a，AC=b，則BE=________，AE=________．    二、綜合題（共3題；共30分）15.如圖， 是菱形 的對角線， ，  （1）請用尺規(guī)作圖法，作 的垂直平分線 ，垂足為 ，交 于 ；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）    （2）在（1）條件下，連接 ，求 的度數(shù)．    16.如圖，在 中，點 是邊 上的一點.  （1）請用尺規(guī)作圖法，在 內(nèi)，求作 ，使 ， 交 于 ；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）    （2）在（1）的條件下，若 ，求 的值.    17.如圖，在 中， ．  （1）尺規(guī)作圖：不寫作法，保留作圖痕跡．  ①作 的平分線，交斜邊AB于點D；②過點D作BC的垂線，垂足為點E．（2）在（1）作出的圖形中，求DE的長．   
答案解析部分一、作圖題1.【答案】 （1）解：如圖,直線EF即為所求作的垂直平分線  
（2）菱形   【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，作圖—尺規(guī)作圖的定義    【解析】【解答】（2）∵EF為AD的垂直平分線，則EA=ED，∠EAD=∠FAD，FA=FD，又∵AD是∠BAC的平分線，得∠DAF=∠EAD，∴∠FAD=∠EDA，則AF∥ED， 同理AE∥FD，∴四邊形AEDF為平行四邊形，又∵EF⊥AD，故四邊形AEDF為菱形.


【分析】先利用垂直平分線的性質(zhì)定理，和角平分線推導(dǎo)兩組對邊分別平行，得四邊形EDBF為平行四邊形，由對角線互相垂直，進(jìn)而推導(dǎo)四邊形EDFA為菱形。2.【答案】 （1）解：如圖直線 即為所求．  
（2）解：∵ 垂直平分線段 ，∴ ，   設(shè) ，在 中，∵ ，∴ ，解得 ，∴ 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，作圖—基本作圖    【解析】【分析】（1）利用尺規(guī)作圖作出AB的垂直平分線MN。
（2）利用線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可證得DA=DB；設(shè)DA=DB=x，在Rt△ACD中，利用勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可得到BD的長。3.【答案】 （1）解：如圖，點D為所作；  
（2）證明：∵AB＝AC，   ∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣36°）＝72°，∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BCD是等腰三角形.【考點】三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作圖—基本作圖    【解析】【分析】（1）分別以點A,B為圓心，大于AB長度的一半為半徑畫弧，兩弧分別在AB的兩側(cè)相交，過這兩交點作直線，該直線交AC于點D，點D就是所求的點；
（2）根據(jù)等邊對等角及三角形的內(nèi)角和得出 ∠ABC＝∠C＝72°， ∠ABD＝∠A＝36°， 根據(jù)三角形的外角定理由∠BDC＝∠A+∠ABD得出∠BDC的度數(shù)，根據(jù)等量代換得出 ∠BDC＝∠C， 故 △BCD是等腰三角形。4.【答案】 （1）解；如圖所示；   
（2）解；OE∥AC，OE= AC.  理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD= ∠BAC，∵∠BAD= ∠BOD，∴∠BOD=∠BAC，∴OE∥AC，∵OA=OB，∴OE為△ABC的中位線，∴OE∥AC，OE= AC【考點】三角形中位線定理，作圖—基本作圖    【解析】【分析】（1）以點A為圓心，任意長度為半徑畫弧，交∠CAB的兩邊各一點，再分別以這兩點為圓心，大于這兩點間距離的一半的長度為半徑畫弧，兩弧在∠BAC內(nèi)部相交于一點，過這一點及點A畫線交圓于點D，AD就是 ∠BAC的平分線 ；
（2） OE∥AC，OE= AC ，理由如下：根據(jù)角平分線的定義得出 ∠BAD= ∠BAC， 根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的一半得出 ∠BAD= ∠BOD， 故 ∠BOD=∠BAC， 根據(jù)同位角相等，二直線平行得出 OE∥AC， 根據(jù)過一邊中點且平行于另一邊的直線一定平分第三邊得出 OE為△ABC的中位線， 從而得出結(jié)論 OE∥AC，OE= AC 。5.【答案】 （1）證明：∵點D，E，F分別是AC,，AB，BC的中點 ，
∴DE、EF是△ABC的中位線
∴DE∥CF，EF∥DC
∴四邊形DEFC是平行四邊形
∵∠C=90°
∴四邊形DEFC是矩形

（2）解：如圖所示   【考點】三角形中位線定理，矩形的判定，作圖—基本作圖    【解析】【分析】（1）利用三角形中位線的定義及定理，易證DE∥CF，EF∥DC，利用平行四邊形的判定定理，可證得四邊形DEFC是平行四邊形，然后由∠C=90°，利用矩形的判定定理可證得結(jié)論。
（2）連接EC、DF交于一點，然后過這一點和B作射線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知BE=CE，再由∠A=30°，可得∠ABC=60°，易證△BCE是等邊三角形，利用等邊三角形三線合一的性質(zhì)，因此過點B和矩形CFED對角線的交點作射線即可。6.【答案】 （1）解：依題可得：作直線AB的垂直平分線DE，如圖1所示： 
（2）解：連結(jié)BP，∵四邊形PEBD是菱形，∴PE=BE,PE∥BD，設(shè)CE=x，∵BC=4，則BE=PE=4-x，又∵PE∥AB，∴△PCE∽△ACB，∴ ，∵BC=4，AC=3,∴AB=5，即 ，∴x= ,即CE= ,∴BE=PE= ，在Rt△PCE中，∴PC= = ,在Rt△PCB中，∴PB= = ,又∵S菱形PEBD=BE·PC= ·PB·DE，∴ ，∴DE= .【考點】菱形的性質(zhì)，作圖—基本作圖，相似三角形的判定與性質(zhì)    【解析】【分析】（1）根據(jù)題意作直線AB的垂直平分線DE，由垂直平分線的做法作圖即可.
（2）連結(jié)BP，設(shè)CE=x，根據(jù)菱形性質(zhì)和相似三角形的判定可得△PCE∽△ACB，由相似三角形的性質(zhì)得 ，代入數(shù)值可得CE= ；在Rt△PCE和Rt△PCB中，根據(jù)勾股定理得PC、PB長，由菱形的等面積即可得DE值.7.【答案】 （1）解：如圖所示，直線EF即為所求；    
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∴∠C=∠A=30°，∵EF垂直平分線線段AB，∴AF=FB，∴∠A=∠FBA=30°，∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，作圖—復(fù)雜作圖    【解析】【分析】（1）分別以A,B兩點為圓心，大于AB長度一半的長度為半徑畫弧，兩弧在AB的兩側(cè)分別相交，過這兩個交點作直線，交AB于點E，交AD于點F，，直線EF即為所求；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．故∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∠C=∠A=30°，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AF=FB，根據(jù)等邊對等角及角的和差即可得出答案。8.【答案】 （1）解：如圖所示：   
（2）解：相切；過O點作OD⊥AC于D點，  ∵CO平分∠ACB，∴OB=OD，即d=r，∴⊙O與直線AC相切【考點】直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定與性質(zhì)，作圖—基本作圖    【解析】【分析】（1）利用基本作圖中作角平分線的方法做出角平分線，  再以點O為圓心，OB的長為半徑作⊙O即可。（2）  過O點作OD⊥AC于D點，由角平分線性質(zhì)定理可得OB=OD，即d=r，即可得出 ⊙O與直線AC相切。   9.【答案】 （1）解：如圖,作出角平分線CO;作出⊙O.
（2）解：AC與⊙O相切．
   【考點】角平分線的性質(zhì)，切線的判定，作圖—基本作圖    【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先作出∠ACB的角平分線，再以O為圓心，OB為半徑畫圓即可。
（2）根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等及切線的判定定理，即可得出AC與⊙O相切。10.【答案】解：如圖，點P、線段PD即為所求；
 【考點】作圖—復(fù)雜作圖   【解析】【分析】根據(jù)題意可知到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，因此先利用尺規(guī)作圖作出∠CAB的角平分線，交BC于點P，再過點P作AB的垂線，交AB于點D。即可解答。11.【答案】 （1）解：如圖所示，直線DE即為所求；  
（2）解：∵DE是BC的垂直平分線，   ∴EC＝ BC＝6，BD＝CD＝9，∴cos∠C＝ ＝ ＝ ．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，作圖—尺規(guī)作圖的定義，銳角三角函數(shù)的定義    【解析】【分析】（1）分別以點B、點C為圓心，以大于BC一半的長度為半徑畫弧，分別交于線段BC的上方與下方，過這兩個交點畫一條直線，與AC交于點D，BC交于點E，直線DE即為所求；
（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可知BD=CD=9，BE=EC=， 即可求得cos∠C=。12.【答案】 （1）解：如圖所示   
（2）解：DE∥AC（理由略）   【考點】平行線的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，作圖—尺規(guī)作圖的定義    【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可得到答案。
（2）根據(jù)∠BDC為三角形 ADC的外角，即可得到∠BDC=∠A+∠DCA，由DE為∠BDC的平分線，∠A=∠DCA，即可證明∠EDC=∠DCA，根據(jù)直線平行的判定定理得到DE∥AC。13.【答案】 （1）解：如圖，點D、E為所作；  
（2）解：連接AD，如圖，   ∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝15°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝15°+15°＝30°，在Rt△ADC中，DA＝2AC＝4，∴DB＝4．【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，作圖—尺規(guī)作圖的定義    【解析】【分析】（1）分別以點A、點B為圓心，以大于AB長的一半為半徑在線段AB兩側(cè)畫弧，分別相交于兩點，過這兩個交點做直線，與AB交于點E，BC交于點D，直線DE即為所求直線；
（2）DE為AB的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知BD=AD，根據(jù)等邊對等角可知∠B=∠BAD；根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可知∠ADC=30°，根據(jù)直角三角形中30度所對的直角邊等于斜邊的一半即可求得AD的長，也就可知BD的長。14.【答案】 （1）解：①作線段BC的垂直平分線交AD于P．   點P就是所求的點．
（2）解：連接P   B、PC．∵∠PAB=∠PAF，PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE=PF，在Rt△PEB和Rt△PFC中，，∴△PEB≌△PFC，∴BE=CF．
（3）；.   【考點】直角三角形全等的判定，角平分線的性質(zhì)，作圖—尺規(guī)作圖的定義    【解析】【解答】解：（3）設(shè)BE=CF=x， 在Rt∴△PAE和Rt△PAF中，，∴△PAE≌△PAF，∴AE=AF，∴AB-BE=AC+CF，∴a-x=b+x，∴x= ，∴BE= ，AE=AB-BE=a- = ，故答案為 ， ．
【分析】（1）、直接利用尺規(guī)作圖法則作圖
（2）、依題做出圖形，根據(jù)角平分線性質(zhì)可知PE=PF，再根據(jù)直角三角形全等判定△PEB≌△PFC，從而得到結(jié)論
（3）、結(jié)合角平分線的性質(zhì)和直角三角形的判定可知△PAE≌△PAF，從而得到AE=AF，再根據(jù)線段的對等轉(zhuǎn)換可得到答案二、綜合題15.【答案】 （1）解：如圖所示，直線EF即為所求；  
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，   ∴∠ABD＝∠DBC ∠ABC＝75°，DC∥AB  ， ∠A＝∠C  ， ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°．∵EF垂直平分線段AB  ， ∴AF＝FB  ， ∴∠A＝∠FBA＝30°，∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°【考點】平行線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，作圖—尺規(guī)作圖的定義    【解析】【分析】（1）、根據(jù)尺規(guī)作圖法結(jié)合題意作出圖形
（2）、首先根據(jù)菱形的性質(zhì)可求出∠ABD＝∠DBC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠C＝∠A＝30°，最后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得到AF＝FB，從而可計算得出答案16.【答案】 （1）解：如圖所示；  
（2）解：∵ ，   ∴ .∴ .【考點】作圖—尺規(guī)作圖的定義，平行線分線段成比例    【解析】【分析】（1）利用尺規(guī)，依次找到角的對應(yīng)點，畫出角即可。
（2）根據(jù)兩線平行、兩角相等，可得到對應(yīng)的邊成比例，得到比值。17.【答案】 （1）解：如圖，DE為所作；  
（2）解：∵CD平分 ，   ，為等腰直角三角形，，，即 ，【考點】角平分線的性質(zhì)，作圖—尺規(guī)作圖的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)    【解析】【分析】（1）尺規(guī)作圖的要求，角平分線的畫法以及垂線的畫法。注意保留作圖痕跡，做法清晰。
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)以互余兩角的關(guān)系，判定△CDE 為等腰直角三角形 。據(jù)其性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)判斷△BDE∽△BAC，對應(yīng)邊成比例，即可求出DE。