第一講　函數(shù)與方程思想 學(xué)案

 專題九   數(shù)學(xué)思想方法精析第一講　函數(shù)與方程思想Z 一、函數(shù)思想就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并用函數(shù)的解析式將其表示出來(lái)，從而通過(guò)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，使問(wèn)題獲解．二、方程思想就是分析數(shù)學(xué)中的變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組，轉(zhuǎn)化為對(duì)方程的解的討論， 從而使問(wèn)題獲解．三、函數(shù)思想與方程思想聯(lián)系函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的，如函數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)解決，方程問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題加以解決，如解方程f(x)＝0，就是求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函數(shù)y＝f(x)的正(或負(fù))區(qū)間，再如方程f(x)＝g(x)的解的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的交點(diǎn)問(wèn)題，也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)－g(x)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，方程f(x)＝a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域，函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要． 例1 (1)已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，對(duì)于函數(shù)f(x)值域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m，使x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(  D  )A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析]　因?yàn)?/span>x∈[2,16]，所以f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]．不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即為m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立．設(shè)g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，則此函數(shù)在區(qū)間[1,4]上恒大于0，所以即解得x<－2或x>2.(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a－1|)>f(－)，則a的取值范圍是(，).[解析]　由f是偶函數(shù)且f在上單調(diào)遞增可知，f(x)在上單調(diào)遞減．又因?yàn)?/span>f>f，f＝f，所以2<，即<，解得<a<.『規(guī)律總結(jié)』函數(shù)與方程思想在不等式問(wèn)題中的應(yīng)用要點(diǎn)(1)在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用函數(shù)的最值解決問(wèn)題．(2)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題更明朗化．一般地，已知范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù)．G 1．(2018·太原一模)定義域?yàn)?/span>R的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，則不等式<1的解集為(  B  )A．(－∞，0)　　　　　　　 B．(0，＋∞)C．(－∞，2)  D．(2，＋∞)[解析]　構(gòu)造函數(shù)g(x)＝，則g′(x)＝＝.由題意得g′(x)<0恒成立，所以函數(shù)g(x)＝在R上單調(diào)遞減．又因?yàn)?/span>g(0)＝＝1，所以<1.即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集為(0，＋∞)．2．若不等式x2＋ax＋1≥0對(duì)一切x∈(0，]恒成立，則a的最小值為(  C  )A．0　　　 B．－2　　　　C．－　　　 D．－3[解析]　因?yàn)?/span>x2＋ax＋1≥0，即a≥＝－(x＋)，令g(x)＝－(x＋)，當(dāng)0<x≤時(shí)，g(x)＝－(x＋)遞增，g(x)max＝g()＝－，故a≥－，即a的最小值為－. 例2 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝()x－6.若在區(qū)間(－2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，2).[解析]　由f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為4，因?yàn)楫?dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝()x－6.所以若x∈[0,2]，則－x∈[－2,0]，則f(－x)＝()－x－6＝3x－6，因?yàn)?/span>f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝3x－6＝f(x)，即f(x)＝3x－6，x∈[0,2]，由f(x)－loga(x＋2)＝0得f(x)＝loga(x＋2)，作出函數(shù)f(x) 的圖象如圖．當(dāng)a>1時(shí)，要使方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則等價(jià)于函數(shù)f(x)與g(x)＝loga(x＋2)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則滿足即解得<a<2，故a的取值范圍是(，2)．『規(guī)律總結(jié)』利用函數(shù)與方程思想解決交點(diǎn)及根的問(wèn)題的思路(1)應(yīng)用方程思想把函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，應(yīng)用函數(shù)思想把方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)論為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題．(2)含參數(shù)的方程問(wèn)題一般通過(guò)直接構(gòu)造函數(shù)或分離參數(shù)化為函數(shù)解決．G 已知函數(shù)f(x)＝x－cosx，則方程f(x)＝所有根的和為(  C  )A．0　　　 B．　　　　C．　　　 D．[解析]　∵f(x)＝x－cosx，∴f ′(x)＝＋sinx，當(dāng)x∈(－，)時(shí)，∵sinx>－，∴f ′(x)＝＋sinx>0，∴f(x)＝x－cosx在(－，)上是增函數(shù)．∵f()＝－cos＝，∴在區(qū)間(－，)上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x＝滿足f(x)＝.當(dāng)x≤－時(shí)，有x≤－，－cosx≤1，∴x≤－時(shí)，f(x)＝x－cosx≤－＋1<，由此可得：當(dāng)x≤時(shí)，f(x)＝沒(méi)有實(shí)數(shù)根．同理可證：x≥時(shí)，f(x)＝－1>，∴方程f(x)＝也沒(méi)有實(shí)數(shù)根．綜上可知f(x)＝，只有實(shí)數(shù)根.故選C． 例3 直線y＝a分別與曲線y＝2(x＋1)，y＝x＋ln x交于點(diǎn)A，B，則|AB|的最小值為(  D  )A．3　　 B．2　　　C．　　 D．[解析]　當(dāng)y＝a時(shí)，2(x＋1)＝a，所以x＝－1.設(shè)方程x＋ln x＝a的根為t，則t＋ln t＝a，則|AB|＝＝＝.設(shè)g(t)＝－＋1(t>0)，則g′(t)＝－＝，令g′(t)＝0，得t＝1，當(dāng)t∈(0,1)時(shí)，g′(t)<0；當(dāng)t∈(1，＋∞)時(shí)，g′(t)>0，所以g(t)min＝g(1)＝，所以|AB|≥，所以|AB|的最小值為.『規(guī)律總結(jié)』求最值或參數(shù)范圍的技巧(1)充分挖掘題設(shè)條件中的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求字母為元的不等式(組)求解．(2)充分應(yīng)用題設(shè)中的等量關(guān)系，將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù)，然后應(yīng)用函數(shù)知識(shí)求解．(3)當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時(shí)，是構(gòu)建一元二次方程的明顯信息，構(gòu)造方程再利用方程知識(shí)使問(wèn)題巧妙解決．(4)當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)多個(gè)變量時(shí)，往往要利用等量關(guān)系去減少變量的個(gè)數(shù)．G 如圖，A是單位圓與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在單位圓上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，＝＋，四邊形OAQP的面積為S，當(dāng)·＋S取得最大值時(shí)θ的值為(  B  )A．　　　 B．　　　　C．　　　 D．[解析]　∵＝(1,0)，＝(cosθ，sinθ)，∴·＋S＝cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)，故·＋S的最大值為，此時(shí)θ＝.故選B． 例4 橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，短軸長(zhǎng)為，離心率為，直線l與y軸交于點(diǎn)P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A，B，且＝3.(1)求橢圓C的方程；(2)求m的取值范圍．[解析]　(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，設(shè)c>0，c2＝a2－b2，由題意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.故橢圓C的方程為y2＋＝1，即y2＋2x2＝1.(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(k≠0)，l與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B2(x2，y2)，由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)x1＋x2＝，x1x2＝，因?yàn)?/span>＝3，所以－x1＝3x2.所以則3(x2＋x2)2＋4x1x2＝0，即3·()2＋4·＝0，整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0，當(dāng)m2＝時(shí)，上式不成立；當(dāng)m2≠時(shí)，k2＝，由(*)式，得k2>2m2－2，又k≠0，所以k2＝>0，解得－1<m<－或<m<1，即所求m的取值范圍為(－1，－)∪(，1)．『規(guī)律總結(jié)』利用判別式法研究圓錐曲線中的范圍問(wèn)題的步驟第一步：聯(lián)立方程．第二步：求解判別式Δ.第三步：代換．利用題設(shè)條件和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，得到所求目標(biāo)參數(shù)和判別式不等式中的參數(shù)的一個(gè)等量關(guān)系，將其代換．第四步：下結(jié)論．將上述等量代換式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目標(biāo)參數(shù)的取值范圍．G 若點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a>0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則·的取值范圍為(  B  )A．[3－2，＋∞)　　　　 B．[3＋2，＋∞)C．[－，＋∞)  D．[，＋∞)[解析]　由c＝2，得a2＋1＝4，∴a2＝3.∴雙曲線方程為－y2＝1.設(shè)P(x，y)(x≥)，·＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1(x≥)．令g(x)＝x2＋2x－1(x≥)，則g(x)在[，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，g(x)min＝g()＝3＋2.∴·的取值范圍為[3＋2，＋∞)．