班級________姓名________學(xué)號________成績________


一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）


1．下面的函數(shù)是二次函數(shù)的是（ ）


A．y＝3x+1B．y＝x2+2x


C．y＝D．y＝


2．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x的圖象可能是（ ）


A．B．C．D．


3．對于二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2﹣2的圖象，下列說法正確的是（ ）


A．有最低點，坐標(biāo)是（1，2）B．有最高點，坐標(biāo)是（﹣1，﹣2）


C．有最高點，坐標(biāo)是（1，2）D．有最低點，坐標(biāo)是（﹣1，﹣2）


4．將拋物線y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線是（ ）


A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1B．y＝﹣2（x+2） 2﹣1


C．y＝﹣2（x﹣4） 2﹣5D．y＝﹣2（x+2） 2﹣5


5．若二次函數(shù)y＝（k﹣2）x2+4x+1與x軸有交點，則k的取值范圍是（ ）


A．k≤6B．k≤6且k≠2C．k＜6且k≠2D．k＜6


6．拋物線y＝2（x﹣1）2+c過（﹣2，y1），（0，y2），（）三點，則y1，y2，y3大小關(guān)系是（ ）


A．y2＞y3＞y1B．y1＞y?＞y?C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2


7．把二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3配方化為y＝a（x﹣h）2+k形式是（ ）


A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4B．y＝﹣（x+1）2+4


C．y＝﹣（x﹣1）2+3D．y＝﹣（x+1）2﹣3


8．共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，設(shè)該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（ ）


A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2


9．如表是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的幾組對應(yīng)值：


根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，方程ax2+bx+c＝0的一個解x的范圍是（ ）


A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18


C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20


10．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①abc＞0；②a+b+c＜0；③a﹣b+c＞1；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+1＜c．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）





A．4個B．3個C．2個D．1個


二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）


11．拋物線y＝x2的開口方向是 ．


12．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函數(shù)，則m＝ ．


13．拋物線y＝2x2+6x的對稱軸是直線 ．


14．如圖，橋拱是拋物線形．若以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為y軸，則拋物線的解析式是y＝﹣x2．當(dāng)水面距橋拱頂0.98m時，水面寬AB為 m．





15．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝1，與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3，0），其部分圖象如圖所示，當(dāng)y?0時，x的范圍是 ．





16．當(dāng)﹣2≤x≤1時，二次函數(shù)y＝﹣x2+kx﹣1的最大值是1，則k的值可能是 ．


三．解答題（共7小題，滿分52分）


17．（6分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3過點A（﹣1，0），B（1，﹣4）．


（1）求這個二次函數(shù)的解析式；


（2）當(dāng)y＝﹣3時，求自變量x的值．











18．（6分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：


（1）根據(jù)以上信息，可知拋物線開口向 ；對稱軸為 ；


（2）直接寫出拋物線的表達式 ．


（3）請在圖中畫出所求的拋物線．








19．（6分）某超市銷售櫻桃，已知櫻桃的進價為15元/千克，如果售價為20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售價為25元/千克，那么每天可售出200千克，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每天的銷售量y（千克）與售價x（元/千克）之間存在一次函數(shù)關(guān)系．


（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；


（2）若櫻桃的售價不得高于28元/千克，請問售價定為多少時，該超市每天銷售櫻桃所獲的利潤最大？最大利潤是多少元？








20．（8分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c過點A（3，0），B（1，0），交y軸于點C，點P是該拋物線上一動點，點P從C點沿拋物線向A點運動（點P不與A重合），過點P作PD∥y軸交直線AC于點D．


（1）求拋物線的解析式；


（2）求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；


（3）△APD能否構(gòu)成直角三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的點P坐標(biāo)；若不能，請說明理由．











21．（8分）某公司計劃投資A、B兩種產(chǎn)品，若只投資A產(chǎn)品，所獲得利潤WA（萬元）與投資金額x（萬元）之間的關(guān)系如圖所示，若只投資B產(chǎn)品，所獲得利潤WB（萬元）與投資金額x（萬元）的函數(shù)關(guān)系式為WB＝﹣x2+nx+300．


（1）求WA與x之間的函數(shù)關(guān)系式；


（2）若投資A產(chǎn)品所獲得利潤的最大值比投資B產(chǎn)品所獲得利潤的最大值少140萬元，求n的值；


（3）該公司籌集50萬元資金，同時投資A、B兩種產(chǎn)品，設(shè)投資B產(chǎn)品的資金為a萬元，所獲得的總利潤記作Q萬元，若a≥30時，Q隨a的增大而減少，求n的取值范圍．











22．（8分）已知a＞0，點A（0，1），拋物線y＝﹣x2+bx經(jīng)過點B（1，1），且與直線AB交于點P，與x軸交于點Q（異于原點O）．


（1）填空：用含a的代數(shù)式表示b＝ ；


（2）若△OBQ是直角三角形，求a的值；


（3）點M是拋物線的頂點，OM與BP交點N，當(dāng)點N是BP三等分點時，求a的值．

















23．（10分）如圖，△AOB的三個頂點A、O、B分別落在拋物線C1：y＝x2+x上，點A的坐標(biāo)為（﹣4，m），點B的坐標(biāo)為（n，﹣2）．（點A在點B的左側(cè)）


（1）則m＝ ，n＝ ．


（2）將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'OB'，拋物線C2：y＝ax2+bx+4經(jīng)過A'、B'兩點，延長OB'交拋物線C2于點C，連接A'C．設(shè)△OA'C的外接圓為⊙M．


①求圓心M的坐標(biāo)；


②試直接寫出△OA'C的外接圓⊙M與拋物線C2的交點坐標(biāo)（A'、C除外）．























參考答案


一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）


1．解：A、是一次函數(shù)，故此選項不合題意；


B、是二次函數(shù)，故此選項符合題意；


C、是正比例函數(shù)，故此選項不合題意；


D、不是二次函數(shù)，故此選項不合題意；


故選：B．


2．解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，


∴開口向上，頂點為（1，﹣1），且經(jīng)過原點．


故選：A．


3．解：∵二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2﹣2，


∴該函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是直線x＝﹣1，頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），有最高點，


故選項B中的說法正確，選項A、C、D中的說法錯誤；


故選：B．


4．解：根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則可知，將拋物線y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向右平移3個單位，再向下平移2個單位，那么所得到拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣2（x﹣4） 2﹣5．


故選：C．


5．解：∵二次函數(shù)y＝（k﹣2）x2+4x+1的圖象與x軸有交點，


∴一元二次方程（k﹣2）x2+4x+1＝0有解，


∴，


解得：k≤6且k≠2．


故選：B．


6．解：在二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+c，對稱軸x＝1，


在圖象上的三點（﹣2，y1），（0，y2），（），點（﹣2，y1）離對稱軸的距離最遠(yuǎn)，點（）離對稱軸的距離最近，


∴y1＞y2＞y3，


故選：B．


7．解：y＝﹣x2﹣2x+3


＝﹣（x2+2x+1）+3+1


＝﹣（x+1）2+4，


即y＝﹣（x+1）2+4．


故選：B．


8．解：設(shè)該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，


依題意得第三個月第三個月投放單車a（1+x）2輛，


則y＝a（1+x）2．


故選：B．


9．解：由表可以看出，當(dāng)x取6.18與6.19之間的某個數(shù)時，y＝0，即這個數(shù)是ax2+bx+c＝0的一個根．


ax2+bx+c＝0的一個解x的取值范圍為6.18＜x＜6.19．


故選：C．


10．解：①由圖象可得：a＜0，b＜0，c＝1＞0，


∴abc＞0，故正確；


②∵x＝1時，y＜0，


∴a+b+c＜0，故正確；


③∵x＝﹣1時，y＞1，


∴a﹣b+c＞1，故正確；


④∵對稱軸為直線x＝﹣1，當(dāng)x＝0時，y＝1，


∴x＝﹣2時，y＞0，


∴4a﹣2b+c＞0；故錯誤


⑤∵﹣＝﹣1，


∴b＝2a，


∵a﹣b+c＞1，


∴a﹣2a+c＞1，


∴a+1＜c，故正確．


故選：A．


二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）


11．解：∵拋物線y＝x2中，a＝1＞0，


∴拋物線y＝x2的開口方向向上，


故答案為：上．


12．解：由y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函數(shù)，得


，


解得m＝﹣1．


故答案為：﹣1．


13．解：∵拋物線y＝2x2+6x，


∴該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣＝﹣，


故答案為：x＝﹣．


14．解：根據(jù)題意，當(dāng)y＝﹣0.98時，﹣x2＝﹣0.98，


解得x＝±1.4，


則AB＝1.4﹣（﹣1.4）＝2.8（m），


故答案為：2.8．


15．解：∵對稱軸是直線x＝1，與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3，0），


則與x軸的另外一個交點坐標(biāo)為（﹣1，0），


從函數(shù)圖象看，當(dāng)y?0時，x的范圍是﹣1＜x＜3，


故答案為﹣1＜x＜3．


16．解：二次函數(shù)y＝﹣x2+kx﹣1的對稱軸：x＝﹣＝，


分三種情況討論：


①當(dāng)＜﹣2時，即k＜﹣4時，


此時﹣1≤x≤2在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，


∴當(dāng)x＝﹣2時，y有最大值，y大＝﹣（﹣2）2+k×（﹣2）﹣1＝1，


∴k＝﹣3（舍去）；


②當(dāng)﹣2≤≤1時，即﹣4≤k≤2，


∴當(dāng)x＝時，y有最大值，y小＝﹣（）2+k?（）﹣1＝1，


∴﹣k2+k2﹣1＝1，


∴k＝±2，


∵﹣4≤k≤2，


∴k＝﹣2，


③當(dāng)＞1時，即k＞2，


此時﹣2≤x≤1在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，


∴當(dāng)x＝1時，y有最大值，y大＝﹣12+k×1﹣1＝1，


∴k＝3，


綜上所述，k的值可能是3或﹣2，


故答案為：3或﹣2．


三．解答題（共7小題，滿分52分）


17．解：（1）將A（﹣1，0），B（1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3，得：


，解得：，


∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2﹣2x﹣3．


（2）當(dāng)y＝﹣3時，則x2﹣2x﹣3＝﹣3，


解得x＝0或x＝2．


18．解：（1）根據(jù)表格信息，可知拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1；


故答案為：上，直線x＝1；


（2）把（﹣1，0），（0，﹣3），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得：


解得：，


∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3，


故答案為y＝x2﹣2x﹣3；


（3）描點、連線畫出拋物線圖象如圖：


．


19．解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，


把（20，250），（25，200）代入得：


，


解得：，


∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣10x+450；





（2）設(shè)每天獲利W元，


W＝（x﹣15）（﹣10x+450）


＝﹣10x2+600x﹣6750


＝﹣10（x﹣30）2+2250，


∵a＝﹣10＜0，


∴開口向下，


∵對稱軸為x＝30，


∴在x≤28時，W隨x的增大而增大，


∴x＝28時，W最大值＝13×170＝2210（元），


答：售價為28元時，每天獲利最大為2210元．


20．解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c過點A（3，0），B（1，0），


∴，


解得，


∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3；


（2）令x＝0，則y＝3，


∴點C（0，3），


則直線AC的解析式為y＝﹣x+3，


設(shè)點P（x，x2﹣4x+3），


∵PD∥y軸，


∴點D（x，﹣x+3），


∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，


∵a＝﹣1＜0，


∴當(dāng)x＝時，線段PD的長度有最大值；


（3）①∠APD是直角時，點P與點B重合，


此時，點P（1，0），


②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，


∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，﹣1），


∵A（3，0），


∴點P為在拋物線頂點時，∠PAD＝45°+45°＝90°，


此時，點P（2，﹣1），


綜上所述，點P（1，0）或（2，﹣1）時，△APD能構(gòu)成直角三角形．


21．解：（1）由圖象可知（20，240）是拋物線的頂點，設(shè)WA＝a（x﹣20）2+240，


將點（10，230）代入上式并解得：a＝﹣，


故WA與x之間的函數(shù)關(guān)系式為WA＝﹣（x﹣20）2+240＝﹣x2+4x+200；





（2）由（1）知投資A產(chǎn)品所獲得利潤的最大值為240萬元，


WB＝﹣x2+nx+300＝﹣（x﹣）2+300+n2，


即投資B產(chǎn)品所獲得利潤的最大值為300+n2，


∴24+140＝300+n2，解得n＝±8（舍去﹣8），


故n＝8；





（3）設(shè)投資B產(chǎn)品的資金為a萬元，則投資A產(chǎn)品的資金為（50﹣a）萬元，


由題意得：Q＝WA+WB＝﹣（50﹣a）2+4×（50﹣a）+200+﹣a2+na+300＝﹣a2+（n+6）a+450，


∵a≥30時，Q隨a的增大而減少，


∴﹣＝﹣≤30，解得n≤12，


故n的取值范圍為n≤12．


22．解：（1）∵拋物線y＝經(jīng)過點B（1，1），


∴1＝﹣+b，


∴b＝1+，


故答案為：1+；


（2）∵b＝1+，


∴y＝﹣x2+（1+）x，


令y＝0時，0＝﹣x2+（1+）x，


解得：x1＝0，x2＝a+1，


∴點Q（a+1，0），


∵a＞1，


∴a+1＞0，


∴OQ＝a+1，


∵點B（1，1），點O（0，0），點Q（a+1，0），


∴OB2＝2，OQ2＝（a+1）2，BQ2＝a2+1，


∵△OBQ是直角三角形，


∴OQ2＝OB2+BQ2，


∴（a+1）2＝2+a2+1，


∴a＝1；


（3）如圖，





∵y＝﹣x2+（1+）x＝﹣（（x﹣）2+，


∴點M（，），


∴直線OM的解析式為y＝x，


當(dāng)y＝1時，x＝，


∴點N（，1），


∵y＝﹣x2+（1+）x與直線AB交于點P，


∴1＝﹣x2+（1+）x，


∴x1＝1，x2＝a，


∴點P（a，1），


∵點N是BP三等分點，


∴BN＝2PN，


∴1﹣＝2（﹣a），


解得：a＝1或．


23．解：（1）當(dāng)x＝﹣4時，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4，


∴點A坐標(biāo)為（﹣4，﹣4），


當(dāng)y＝﹣2時，x2+x＝﹣2，


解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，


∵點A在點B的左側(cè)，


∴點B坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），


∴m＝﹣4，n＝﹣1．


故答案為﹣4，﹣1．





（2）①如圖1，過點B作BE⊥x軸于點E，過點B'作B'G⊥x軸于點G．


∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，


∵將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'OB′，


∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，


∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°，


∴∠B'OG＝∠OBE，


在△B'OG與△OBE中，


，


∴△B'OG≌△OBE（AAS），


∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，


∵點B'在第四象限，


∴B'（2，﹣1），


同理可求得：A'（4，﹣4），


∴OA＝OA'＝＝4，


∵拋物線F2：y＝ax2+bx+4經(jīng)過點A'、B'，


∴，


解得：，


∴拋物線F2解析式為：y＝x2﹣3x+4，


∵直線OB′的解析式為y＝﹣x，


由，解得或，


∴點C（8，﹣4），


∵A′（4，﹣4），


∴A′C∥x軸，


∵線段OA′的垂直平分線的解析式為y＝x﹣4，


線段A′C的垂直平分線為x＝6，


∴直線y＝x﹣4與x＝6的交點為（6，2），


∴△OA′C的外接圓的圓心M的坐標(biāo)為（6，2）．





②設(shè)⊙M與拋物線C2的交點為P（m，m2﹣3m+4）．


則有（m﹣6）2+（m2﹣3m+2）2＝62+22，


解得m＝0或12或4或8，


∵A'、C除外，


∴P（0，4），或（12，4）．








x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…

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初中數(shù)學(xué)蘇科版九年級下冊電子課本 舊教材

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版本： 蘇科版

年級： 九年級下冊

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