一、天體(衛(wèi)星)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的處理


分析處理天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，要抓住“一個(gè)模型”“兩個(gè)思路”，區(qū)分“三個(gè)不同”。


1.一個(gè)模型：無(wú)論是自然天體(如行星等)，還是人造天體(如人造衛(wèi)星、空間站等)，只要天體的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓形，就可將其簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。


2.兩個(gè)思路


(1)所有做圓周運(yùn)動(dòng)的天體，所需的向心力都來(lái)自萬(wàn)有引力。因此，向心力等于萬(wàn)有引力，據(jù)此所列方程是研究天體運(yùn)動(dòng)的基本關(guān)系式，即


Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝ma。


(2)不考慮地球或其他天體自轉(zhuǎn)影響時(shí)，物體在地球或其他天體表面受到的萬(wàn)有引力約等于物體的重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg，變形得GM＝gR2。


3.三個(gè)不同


(1)不同公式中r的含義不同。在萬(wàn)有引力定律公式(F＝Geq \f(m1m2,r2))中，r的含義是兩質(zhì)點(diǎn)間的距離；在向心力公式(F＝meq \f(v2,r)＝mω2r)中，r的含義是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。當(dāng)一個(gè)天體繞另一個(gè)天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩式中的r相等。


(2)運(yùn)行速度、發(fā)射速度和宇宙速度的含義不同。


(3)衛(wèi)星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度a′的含義不同。


[例1] 土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運(yùn)動(dòng)可視為圓周運(yùn)動(dòng)，其中有兩個(gè)巖石顆粒A和B與土星中心的距離分別為rA＝8.0×104 km和rB＝1.2×105 km。忽略所有巖石顆粒間的相互作用(結(jié)果可用根式表示)。


(1)求巖石顆粒A和B的線速度之比；


(2)求巖石顆粒A和B的周期之比；


(3)土星探測(cè)器上有一物體，在地球上重為10 N，推算出它距土星中心3.2×105 km處受到土星的引力為0.38 N。已知地球半徑為6.4×103 km，請(qǐng)估算土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？


解析 (1)設(shè)土星質(zhì)量為M0，巖石顆粒質(zhì)量為m，距土星中心距離為r，線速度為v，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律可得Geq \f(M0m,r2)＝eq \f(mv2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM0,r))。


對(duì)于A、B兩顆粒分別有vA＝eq \r(\f(GM0,rA))和vB＝eq \r(\f(GM0,rB))，


得eq \f(vA,vB)＝eq \f(\r(6),2)。


(2)設(shè)巖石顆粒繞土星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，由開(kāi)普勒第三定律eq \f(req \\al(3,A),Teq \\al(2,A))＝eq \f(req \\al(3,B),Teq \\al(2,B))


得eq \f(TA,TB)＝eq \f(2\r(6),9)。


(3)設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為r0，地球上物體的重力可視為等于萬(wàn)有引力，探測(cè)器上物體質(zhì)量為m0，在地球表面重力為G0，跟土星中心相距r0′＝3.2×105 km處的引力為G0′，根據(jù)萬(wàn)有引力定律得


G0＝eq \f(GMm0,req \\al(2,0))，G0′＝eq \f(GM0m0,r0′2)，解得eq \f(M0,M)＝95。


答案 (1)eq \f(\r(6),2) (2)eq \f(2\r(6),9) (3)95倍


[針對(duì)訓(xùn)練1] “靜止”在赤道上空的地球同步氣象衛(wèi)星將氣象數(shù)據(jù)發(fā)回地面，為天氣預(yù)報(bào)提供準(zhǔn)確、全面和及時(shí)的氣象資料。設(shè)地球同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，下列說(shuō)法中正確的是( )


A.同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是第一宇宙速度的eq \f(1,n)


B.同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)獲得的速度的eq \f(1,n)


C.同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是第一宇宙速度的eq \r(\f(1,n))


D.同步衛(wèi)星的向心加速度是地球表面重力加速度的eq \r(\f(1,n))


解析 同步衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力，則Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r，得同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度v＝eq \r(\f(GM,r))，又第一宇宙速度v1＝eq \r(\f(GM,R))，所以eq \f(v,v1)＝eq \r(\f(R,r))＝eq \r(\f(1,n))，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確；a＝eq \f(GM,r2)，g＝eq \f(GM,R2)，所以eq \f(a,g)＝eq \f(R2,r2)＝eq \f(1,n2)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；同步衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，則v＝ωr，v自＝ωR，所以eq \f(v,v自)＝eq \f(r,R)＝n，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。


答案 C


二、天體運(yùn)動(dòng)中的追及相遇問(wèn)題


在天體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題中，我們常遇到一些這樣的問(wèn)題，比如a、b兩物體都繞同一中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻a、b相距最近，問(wèn)a、b下一次相距最近或最遠(yuǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間，或“至少”需要多長(zhǎng)時(shí)間等問(wèn)題。而對(duì)于此類問(wèn)題的解決和我們?cè)谥本€運(yùn)動(dòng)中的追及相遇問(wèn)題在思維上有一些相似的地方，但它也有其自身的特點(diǎn)。兩天體由這次相距最近到下次相距最近，周期小的天體比周期大的天體多轉(zhuǎn)一周，解決天體運(yùn)動(dòng)中的追及相遇問(wèn)題時(shí)，要緊緊的抓住這一條件。


[例2] 設(shè)地球的自轉(zhuǎn)角速度為ω0，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，某人造衛(wèi)星在赤道上空做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r，且r＜5R，飛行方向與地球的自轉(zhuǎn)方向相同，在某時(shí)刻，該人造衛(wèi)星通過(guò)赤道上某建筑物的正上方，則到它下一次通過(guò)該建筑物正上方所需要的時(shí)間為( )


A.2πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(gR2,r3))－ω0)) B.eq \f(2π,\r(\f(gR2,r3))＋ω0)


C.2πeq \r(\f(r3,gR2)) D.eq \f(2π,\r(\f(gR2,r3))－ω0)


解析 因?yàn)橥叫l(wèi)星的軌道半徑大約為6.6R，根據(jù)衛(wèi)星的運(yùn)行特點(diǎn)知，軌道半徑越大，衛(wèi)星運(yùn)行角速度越小，而同步衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，故該人造衛(wèi)星運(yùn)行的角速度比地球上建筑物運(yùn)行的角速度大，因此再次出現(xiàn)在建筑物上方時(shí)，說(shuō)明衛(wèi)星已經(jīng)比建筑物多走了一圈。故θ衛(wèi)－θ地＝2π，θ衛(wèi)＝ω1t，θ地＝ω0t，由于衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝mrωeq \\al(2,1)，根據(jù)黃金代換GM＝gR2，聯(lián)立得D項(xiàng)正確。


答案 D


[針對(duì)訓(xùn)練2] 兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，地球半徑為R，a衛(wèi)星離地面的高度等于R，b衛(wèi)星離地面高度為3R，則：





(1)a、b兩衛(wèi)星周期之比Ta∶Tb是多少？


(2)若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過(guò)地面同一點(diǎn)的正上方，則a至少經(jīng)過(guò)多少個(gè)周期兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)？


解析 (1)設(shè)a衛(wèi)星運(yùn)行軌道的半徑為Ra，b衛(wèi)星運(yùn)行軌道的半徑為Rb，由題可知，Ra＝2R，Rb＝4R，


由開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律知eq \f(Req \\al(3,a),Teq \\al(2,a))＝eq \f(Req \\al(3,b),Teq \\al(2,b))


所以Ta∶Tb＝Raeq \f(3,2)∶Rbeq \f(3,2)＝1∶2eq \r(2)①


(2)設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間二者第一次相距最遠(yuǎn)，若兩衛(wèi)星同向運(yùn)轉(zhuǎn)，此時(shí)a比b多轉(zhuǎn)半圈，即eq \f(t,Ta)－eq \f(t,Tb)＝eq \f(1,2)，


解得t＝eq \f(TaTb,2（Tb－Ta）)②


這段時(shí)間a經(jīng)過(guò)的周期數(shù)為n＝eq \f(t,Ta)③


由①②③可得n＝eq \f(4＋\r(2),7)


若兩衛(wèi)星反向運(yùn)轉(zhuǎn)，二者共同轉(zhuǎn)過(guò)半圈時(shí)，相距最遠(yuǎn)，有


eq \f(t,Ta)＋eq \f(t,Tb)＝eq \f(1,2)④


這段時(shí)間a經(jīng)過(guò)的周期數(shù)為n′＝eq \f(t,Ta)⑤


由①④⑤得n′＝eq \f(4－\r(2),7)。


答案 (1)1∶2eq \r(2) (2)eq \f(4＋\r(2),7)或eq \f(4－\r(2),7)


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