第六節(jié)　正弦定理和余弦定理
[考綱傳真]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．


1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R.(R為△ABC外接圓半徑)
a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；
b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；
c2＝a2＋b2－2ab·cos_C
公式
變形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：

A為銳角
A為鈍角或直角
圖形




關(guān)系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的個數(shù)
一解
兩解
一解
一解
3.三角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)．

1．三角形內(nèi)角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
變形：＝－.
2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(2)sin＝cos ；(4)cos＝sin .
3．在△ABC中，sin A＞sin B?A＞B?a＞b，
cosA＞cos B?A＜B?a＜b.
4．三角形射影定理
a＝bcos c＋ccos B
b＝acos C＋ccos A
c＝acos B＋bcos A
5．三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
[基礎(chǔ)自測]
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)在△ABC中，若A＞B，則必有sin A＞sin B． ( )
(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，則△ABC為銳角三角形． ( )
(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，則B＝45°或135°.( )
(4)在△ABC中，＝. ( )
[解析]　(1)正確．A＞B?a＞b?sin A＞sin B.
(2)錯誤．由cos A＝＞0知，A為銳角，但△ABC不一定是銳角三角形．
(3)錯誤．由b＜a知，B＜A.
(4)正確．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知結(jié)論正確．
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．(教材改編)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不能確定
C　[由正弦定理，得＝sin A，＝sin B，＝sin C，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cos C＝＜0，所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形．]
3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，則b＝( )
A. B. C．2 　D．3
D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，
解得b＝3或b＝－(舍去)，故選D.]
4．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，則a等于( )
A．3 　B．6 C．2 　D．3
B　[由正弦定理得＝，所以a＝＝＝6.]
5．(教材改編)在非鈍角△ABC中，2bsin A＝a，則角B為( )
A. 　B. C. 　D.
C　[由2bsin A＝a得2sin Bsin A＝sin A.
∴sin B＝，又B是銳角或直角．
∴B＝.]



利用正、余弦定理解三角形
【例1】　(1)(2018·全國卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝( )
A．4 B. 　C. 　D．2
(2)(2019·青島模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，則A等于( )
A. B. C. D.
(1)A　(2)C　[(1)因?yàn)閏os ＝，所以cos C＝2cos2 －1＝2×2－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×－＝32，所以AB＝4.故選A.
(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A.
又a2＝2b2(1－sin A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，
又A是三角形內(nèi)角，則A＝，故選C.]
[規(guī)律方法]　應(yīng)用正弦、余弦定理的解題技巧
(1)求邊：利用公式或其他相應(yīng)變形公式求解.,(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝或其他相應(yīng)變形公式求解.
(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解.
(4)靈活利用式子的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如出現(xiàn)a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式兩邊是關(guān)于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理.
(1)(2019·鄭州模擬)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，則角B的大小為( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
(2)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，則sin B＝________，c＝________.
(1)A　(2)　3　[(1)由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝ac.又∵cos B＝，∴cos B＝，∴B＝30°.
(2)因?yàn)閍＝，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sin B＝＝＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得c2－2c－3＝0，所以c＝3.]

與三角形面積有關(guān)的問題
【例2】　(1)(2018·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________．
　[由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C得sinBsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因?yàn)閟in Bsin C≠0，所以sin A＝.因?yàn)閎2＋c2－a2＝8，cos A＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsin A＝××＝.]
(2)(2017·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
①求cos B；
②若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b.
[解]　①由題設(shè)及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，
故sin B＝4(1－cos B)．
上式兩邊平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝1(舍去)，或cos B＝.
故cos B＝.
②)由cos B＝得sin B＝，
故S△ABC＝acsin B＝ac.
又S△ABC＝2，則ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4.
所以b＝2.
[規(guī)律方法]　三角形面積公式的應(yīng)用方法：
(1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．
(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．
(1)(2018·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，則C＝( )
A. B. C. D.
C　[因?yàn)镾△ABC＝absin C，所以＝absin C．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，得2abcos C＝2absin C，即cos C＝sin C，所以在△ABC中，C＝.故選C.]
(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b＋c＝2acos B.
①證明：A＝2B；
②若△ABC的面積S＝，求角A的大?。?br /> [解]?、僮C明：由b＋c＝2acos B得
sin B＋sin C＝2sin Acos B.
即2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)
＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B；
所以sin(A－B)＝sin B.
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＋(A－B)＝π或A－B＝B，
所以A＝π(舍去)或A＝2B，
所以A＝2B.
②由S＝得absin C＝，
則sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B.
由sin B≠0得sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
當(dāng)B＋C＝時，A＝，
當(dāng)C－B＝時，A＝，
綜上知A＝或A＝.

正余弦定理的簡單應(yīng)用
?考法1　判斷三角形的形狀
【例3】　(1)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，滿足acos A＝bcos B，則△ABC的形狀為( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
(2)(2019·廣州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B·sin C＝sin2A，則△ABC的形狀是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
(1)D　(2)C　[(1)因?yàn)閍cos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D.
(2)由b2＋c2＝a2＋bc得cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
由sin B·sin C＝sin2A得bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc得(b－c)2＝0，即b＝c，從而△ABC是等邊三角形，故選C.]
?考法2　求解幾何計算問題
【例4】　(2019·哈爾濱模擬)如圖，在△ABC中，B＝，AB＝8，點(diǎn)D在邊BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的長．

[解]　(1)在△ADC中，∵cos∠ADC＝ ，
∴sin∠ADC＝＝＝，則sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADC·cosB－cos∠ADC·sinB＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB·BCcos B＝82＋52－2×8×5×＝49，即AC＝7.
?考法3　正、余弦定理與三角函數(shù)的交匯問題
【例5】　(2018·天津高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bsin A＝acos
(1)求角B的大??；
(2)設(shè)a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
[解]　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，即sin B＝cos，可得tan B＝.又因?yàn)锽∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因?yàn)閍＜c，故cos A＝.
因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.
[規(guī)律方法]　平面幾何中解三角形問題的求解思路
(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；
(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.
易錯警示：做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問題.
如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．

(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長．
[解]　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因?yàn)镾△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以AB＝2AC.
由正弦定理可得＝＝.
(2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，
所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
又由(1)知AB＝2AC，所以解得AC＝1.


1．(2017·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C＝( )
A. B. 　C. 　D.
B　[因?yàn)閍＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sin A＝sin C.
又B＝π－(A＋C)，
故sin B＋sin A(sin C－cos C)
＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C
＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C
＝(sin A＋cos A)sin C
＝0.
又C為△ABC的內(nèi)角，
故sin C≠0，
則sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
從而sin C＝sin A＝×＝.
由A＝知C為銳角，故C＝，故選B.]
2．(2017·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，則B＝________.
　[由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，
得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.
∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.
∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B.
又sin B≠0，∴cos B＝.∴B＝.]
3．(2016·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________.
　[在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，
∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又∵＝，∴b＝＝＝.]
4．(2017·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，則A＝________.
75°　[如圖，由正弦定理，得＝，∴sin B＝.
又c>b，∴B＝45°，
∴A＝180°－60°－45°＝75°.]

5．(2016·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．
[解]　(1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C.
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知得absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周長為5＋.
自我感悟：______________________________________________________
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