2020版江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：第7課《函數(shù)的性質(zhì)（1）》(含解析)

___第7課__函數(shù)的性質(zhì)(1)____1. 理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義，能判斷或證明一些簡單函數(shù)的單調(diào)性．2. 掌握判斷一些簡單函數(shù)單調(diào)性的常用方法．3. 會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性.1. 閱讀：必修1第37～39頁．2. 解悟：①圈出第37頁藍(lán)色框中關(guān)于單調(diào)函數(shù)及單調(diào)區(qū)間概念中的關(guān)鍵詞；②如何求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？有哪些方法？③用定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟和注意點(diǎn)；④對于基本初等函數(shù)，我們一般用什么方法求函數(shù)的最值？3. 踐習(xí)：在教材空白處，完成第40頁練習(xí)第1、2、5、7、8題.　基礎(chǔ)診斷　1.  函數(shù)y＝的單調(diào)減區(qū)間是__(－∞，1)，(1，＋∞)__．解析：因?yàn)?/span>y＝＝1＋，所以該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，1)，(1，＋∞)．2. 已知函數(shù)y＝f(x)在R上是增函數(shù)，且f(m2)>f(－m)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為__(－∞，－1)∪(0，＋∞)__．解析：因?yàn)?/span>y＝f(x)在R上是增函數(shù)，且f(m2)>f(－m)，所以m2>－m，即m2＋m>0，解得m>0或m<－1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．3. 函數(shù)y＝x2－lnx的單調(diào)減區(qū)間為__(0，1]__．解析：由題意可知x>0，y′＝x－，令y′≤0，則x－≤0，即≤0，解得－1≤x≤1且x≠0.又因?yàn)?/span>x>0，所以0<x≤1，故該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0，1]．4. 已知函數(shù)y＝f(x)在R上是減函數(shù)，點(diǎn)A(0，－2)，B(－3，2)在其圖象上，則不等式－2<f(x)<2的解集為__(－3，0)__．解析：由題意得－2＝f(0)，2＝f(－3)，所以－2<f(x)<2，即f(0)<f(x)<f(－3)．又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是減函數(shù)，所以－3<x<0，故該不等式的解集為(－3，0)．5. 已知f(x)＝是R上的單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__[4，8)__．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)＝ax在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)＝x＋2在(－∞，1]上單調(diào)遞增，所以解得4≤a<8，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[4，8)．　范例導(dǎo)航　考向?  求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1) y＝2－x2＋4x－3；(2) y＝log(－x2＋4x－3)．解析：(1) 由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x在R上是增函數(shù)，所以函數(shù)y＝－x2＋4x＋3的增(減)區(qū)間即為原函數(shù)的增(減)區(qū)間．因?yàn)楹瘮?shù)y＝－x2＋4x＋3的增區(qū)間為(－∞，2)，減區(qū)間為(2，＋∞)，所以原函數(shù)的增區(qū)間為(－∞，2)，減區(qū)間為(2，＋∞)．　(2) 因?yàn)?/span>y＝log(－x2＋4x－3)，所以－x2＋4x－3>0，解得1<x<3.令t＝－x2＋4x－3，則y＝logt.因?yàn)?/span>t在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，區(qū)間(2，3)上單調(diào)遞減，而y＝logt在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)y＝log(－x2＋4x＋3)在區(qū)間(2，3)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞減．求函數(shù)y＝x2－x－2lnx的單調(diào)區(qū)間．解析：由題意知，原函數(shù)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)．因?yàn)?/span>y＝x2－x－2lnx，所以y′＝x－－1.令y′>0，則x－－1>0，解得x>2；令y′<0，則x－－1<0，解得0<x<2.所以該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(2，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，2).考向?  證明單調(diào)性，以及根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例2　已知函數(shù)f(x)＝(x≠a)．(1) 若a＝－2，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－2)上單調(diào)遞增；(2) 若a>0且函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1) 設(shè)x1<x2<－2，則f(x1)－f(x2)＝－＝.因?yàn)?/span>(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，所以f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增．(2) 設(shè)1<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝－＝.因?yàn)?/span>a>0，x2－x1>0，所以要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1.綜上所述，a的取值范圍是(0，1]． 已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x2＋x－1.(1) 當(dāng)a＝－時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若函數(shù)f(x)在[1，3]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．解析：(1) 當(dāng)a＝－時(shí)，f(x)＝－x3＋x2＋x－1，則f′(x)＝－x2＋2x＋1.令f′(x)≥0，解得1－≤x≤1＋；令f′(x)<0，解得x<1－或x>1＋.故當(dāng)a＝－時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[1－，1＋]，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，1－)，(1＋，＋∞)．(2) f′(x)＝2ax2＋2x＋1≥0對?∈[1，3]恒成立，所以a≥－－＝－＋.因?yàn)?/span>∈，所以當(dāng)x＝3時(shí)，－(＋1)2＋取最大值－，所以a的取值范圍為.考向?  利用單調(diào)性求最值例3　已知函數(shù)f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1) 當(dāng)a＝時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2) 若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1) 當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝x＋＋2.設(shè)1≤x1<x2，則f(x2)－f(x1)＝(x2－x1).因?yàn)?/span>1≤x1<x2，所以x2－x1>0，2x1x2>2，所以0<<，1－>0，所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上的最小值為f(1)＝.(2) 在區(qū)間[1，＋∞)上f(x)>0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立．設(shè)y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，則函數(shù)y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，ymin＝3＋a，于是當(dāng)且僅當(dāng)ymin＝3＋a>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－3，＋∞)．　自測反饋　1. 已知定義在區(qū)間(－1，1)上的函數(shù)f(x)是減函數(shù)，且滿足f(1－a)<f(2a－1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____．解析：由題意得解得所以0<a<，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2. 函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞__增__．(填“增”或“減”)解析：設(shè)1≤x1<x2≤2，則f(x1)－f(x2)＝－＝.因?yàn)?/span>(x1＋1)(x2＋1)>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增． 3. “a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增”的__充要__條件．解析：當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝|－x|＝|x|，函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)＝|(ax－1)x|，函數(shù)f(x)與x軸的交點(diǎn)為(0，0)，，函數(shù)的大致圖象如圖1，故函數(shù)f(x) 在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝|(ax－1)x|，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為(0，0)，，函數(shù)的大致圖象如圖2，故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在(0，＋∞)上不是增函數(shù)．綜上，當(dāng)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增時(shí)，a≤0，故“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增”的充要條件．圖1   　　圖24.  若函數(shù)f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__(1，2]__．解析：當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)＝－x＋6≥－2＋6＝4；當(dāng)x>2時(shí)，若a>1，則f(x)＝3＋logax>3＋loga2，由f(x)的值域可知，3＋loga2≥4，解得1<a≤2；若0<a<1，則f(x)＝3＋logax<3＋loga2，與f(x)的值域矛盾，故a的取值范圍是(1，2]． 1.  函數(shù)的單調(diào)性主要關(guān)注的是函數(shù)的局部性質(zhì)．2.  單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示．多個(gè)單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連結(jié)，要用“逗號”或者“和”連結(jié). 3. 你還有哪些體悟，寫下來：