2021版高考文科數(shù)學（北師大版）一輪復習教師用書：第六章　第4講　數(shù)列求和

第4講　數(shù)列求和一、知識梳理1．基本數(shù)列求和方法(1)等差數(shù)列求和公式：Sn＝＝na1＋d．(2)等比數(shù)列求和公式：Sn＝2．數(shù)列求和的幾種常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解．(2)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．(3)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解．(4)倒序相加法如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解．常用結(jié)論1．一些常見數(shù)列的前n項和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.2．常用的裂項公式(1)＝－.(2)＝.(3)＝－.二、教材衍化   1．在數(shù)列{an}中，an＝，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝        ．解析：an＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.答案：2．已知數(shù)列：1，2，3，…，，…，則其前n項和關(guān)于n的表達式為        ．解析：設(shè)所求的前n項和為Sn，則Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＋＋…＋＝＋1－.答案：＋1－一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當n≥2時，＝－.(　　)(2)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　)(3)若Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，當a≠0，且a≠1時，求Sn的值可用錯位相減法求得．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√二、易錯糾偏(1)并項求和時不能準確分組；(2)用錯位相減法求和時易出現(xiàn)符號錯誤，不能準確“錯項對齊”．1．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S17＝(　　)A．9  B．8C．17  D．16解析：選A.S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝        ．解析：Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.答案：(n－1)2n＋1＋2　　　　　　分組轉(zhuǎn)化法求和(師生共研) 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，n∈N＋.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和．【解】　(1)當n＝1時，a1＝S1＝1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.a1也滿足an＝n，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項和．(2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．1．(2020·資陽診斷)已知數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝則數(shù)列{an}的前20項和為(　　)A．1 121  B．1 122C．1 123  D．1 124解析：選C.由題意可知，數(shù)列{a2n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a2n－1}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的前20項和為＋10×1＋×2＝1 123.選C.2．(2020·吉林長春質(zhì)量監(jiān)測(二))各項均為整數(shù)的等差數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比數(shù)列．(1)求{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{(－1)n·an}的前2n項和T2n.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比數(shù)列，所以a＝a2·(S4＋1)，即(－1＋2d)2＝(－1＋d)(－3＋6d)，解得d＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－3.(2)由(1)可知an－an－1＝2(n≥2)，所以T2n＝(－a1＋a2)＋(－a3＋a4)＋…＋(－a2n－1＋a2n)＝2n.　　　　　　錯位相減法求和(師生共研) (2020·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＞0，前n項和為Sn，若an＝＋(n∈N＋，且n≥2)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)記cn＝an·2an，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.【解】　(1)在數(shù)列{an}中，an＝Sn－Sn－1(n≥2)　①，因為an＝＋　②，且an＞0，所以①÷②得－＝1(n≥2)，所以數(shù)列{}是以＝＝1為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以Sn＝n2.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，當n＝1時，a1＝1，也滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1.(2)由(1)知，an＝2n－1，所以cn＝(2n－1)×22n－1，則Tn＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n－1)×22n－1，4Tn＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n－3)×22n－1＋(2n－1)×22n＋1，兩式相減得，－3Tn＝2＋2(23＋25＋…＋22n－1)－(2n－1)22n＋1，＝2＋2×－(2n－1)22n＋1＝－＋22n＋1，所以Tn＝.用錯位相減法求和的策略和技巧(1)掌握解題“3步驟”(2)注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形．②在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．③在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．　已知{an}為正項等比數(shù)列，a1＋a2＝6，a3＝8.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)若bn＝，且{bn}的前n項和為Tn，求Tn.解：(1)依題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則有則3q2－4q－4＝0，而q＞0，所以q＝2.于是a1＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.(2)由(1)得bn＝＝，所以Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋…＋＋，兩式相減得，Tn＝＋＋＋…＋－，所以Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－.　　　　　　裂項相消法求和(典例遷移) (2020·武漢部分學校調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前三項的和為－9，前三項的積為－15.(1)求等差數(shù)列{an}的通項公式；(2)若{an}為遞減數(shù)列，求數(shù)列的前n項和Sn.【解】　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意知a2＝－3，a1＝－3－d，a3＝－3＋d，所以(－3－d)×(－3)×(－3＋d)＝－15，d2＝4，d＝±2，所以an＝－2n＋1或an＝2n－7.(2)由題意得an＝－2n＋1，所以＝＝，所以Sn＝＝＝.【遷移探究】　(變設(shè)問)在本例條件下，若{an}為遞增數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn.解：由本例(1)知an＝2n－7，所以|an|＝，①n≤3時，Sn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝n＝6n－n2；②n≥4時，Sn＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋an＝－2(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋…＋an)＝18－6n＋n2.綜上，數(shù)列{|an|}的前n項和Sn＝裂項相消法求和的實質(zhì)和解題關(guān)鍵裂項相消法求和的實質(zhì)是先將數(shù)列中的通項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的，其解題的關(guān)鍵就是準確裂項和消項．(1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．[注意]　利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注意求和時，正負項相消消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項．1．(2020·江西九江模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，則數(shù)列的前10項和為(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C.  D．解析：選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a9＝a12＋6及等差數(shù)列的通項公式得a1＋5d＝12，又a2＝4，所以a1＝2，d＝2，所以Sn＝n2＋n，所以＝＝－，所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.2．(2020·鄭州市第一次質(zhì)量測試)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2＋a5＝25，S5＝55.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)anbn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意解得所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n＋2.(2)由anbn＝，得bn＝＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝－＝.[基礎(chǔ)題組練]1．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于(　　)A.　　　　　　　 B．－C．(－1)n＋1  D．以上答案均不對解析：選C.當n為偶數(shù)時，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－(2n－1)＝－＝－；當n為奇數(shù)時，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－[2(n－1)－1]＋n2＝－＋n2＝，綜上可得，原式＝(－1)n＋1.2．在數(shù)列{an}中，an＝，若{an}的前n項和Sn＝，則n＝(　　)A．3  B．4C．5  D．6解析：選D.由an＝＝1－得，Sn＝n－＝n－，則Sn＝＝n－，將各選項中的值代入驗證得n＝6.3．已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)A．0  B．100C．－100  D．10 200解析：選B.由題意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.4．(2020·江西省五校協(xié)作體試題)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若an＋Sn＝2n，2bn＝2an＋2－an＋1，則＋＋…＋＝(　　)A.   B.C.  D．解析：選D.因為an＋Sn＝2n①，所以an＋1＋Sn＋1＝2n＋1②，②－①得2an＋1－an＝2n，所以2an＋2－an＋1＝2n＋1，又2bn＝2an＋2－an＋1＝2n＋1，所以bn＝n＋1，＝＝－，則＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故選D.5．在數(shù)列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則數(shù)列{an}的前12項和等于(　　)A．76  B．78C．80  D．82解析：選B.由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1·an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1，5，9及n＝2，6，10，結(jié)果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故選B.6．等比數(shù)列{an}中，若a1＝27，a9＝，q>0，Sn是其前n項和，則S6＝        ．解析：由a1＝27，a9＝知，＝27·q8，又由q>0，解得q＝，所以S6＝＝.答案：7．(2020·九江聯(lián)考)若{an}，{bn}滿足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，則{bn}的前18項和為        ．解析：因為anbn＝1，且an＝n2＋3n＋2，所以bn＝＝＝－，所以{bn}的前18項和為－＋－＋－＋…＋－＝－＝＝.答案：8．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝＋，且a1＝，則該數(shù)列的前2 018項的和等于        ．解析：因為a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，從而a3＝，a4＝1，即得an＝故數(shù)列的前2 018項的和等于S2 018＝1 009×＝.答案：9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，且an＋1＝.(1)求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；(2)若bn＝an·an＋1，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解：(1)證明：因為an＋1＝，所以＝，所以－＝，所以數(shù)列{}是首項為2，公差為的等差數(shù)列．(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝，所以an＝，所以bn＝＝4×(－)，Sn＝4×[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝4×(－)＝.10．(2020·廣州市綜合檢測(一))已知{an}是等差數(shù)列，且lg a1＝0，lg a4＝1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若a1，ak，a6是等比數(shù)列{bn}的前3項，求k的值及數(shù)列{an＋bn}的前n項和．解：(1)因為lg a1＝0，lg a4＝1，所以a1＝1，a4＝10.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＝＝3.所以an＝a1＋3(n－1)＝3n－2.(2)由(1)知a1＝1，a6＝16，因為a1，ak，a6是等比數(shù)列{bn}的前3項．所以a＝a1a6＝16.又an＝3n－2＞0，所以ak＝4.因為ak＝3k－2，所以3k－2＝4，得k＝2.所以等比數(shù)列{bn}的公式q＝＝＝4.所以bn＝4n－1.所以an＋bn＝3n－2＋4n－1.所以數(shù)列{an＋bn}的前n項和為Sn＝＋＝n2－n＋(4n－1)．[綜合題組練]1．(2020·黑龍江牡丹江一中模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，4a3＝a6，是等差數(shù)列，則數(shù)列{(－1)nan}的前10項的和S10是(　　)A．220  B．110C．99  D．55解析：選B.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則＝a1＋5d，＝＋3d，將已知值和等量關(guān)系代入，計算得d＝2，所以＝a1＋(n－1)d＝2n，an＝2n2，所以S10＝－a1＋a2－a3＋a4－…＋a10＝2(1＋2＋…＋10)＝110，故選B.2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1，2，3，…)，則S2n－1＝        ．解析：因為a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1，2，3，…)，所以S2n－1＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2n－2＋a2n－1)＝1＋＋＋…＋＝.答案：3．(2019·高考天津卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.(1)求{an}和{bn}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N＋)．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.依題意，得解得故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.所以{an}的通項公式為an＝3n，{bn}的通項公式為bn＝3n.(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)．記Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①則3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1＝－＋n×3n＋1＝.所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×＝(n∈N*)．4．(2020·安徽省考試試題)已知等差數(shù)列{an}中，a5－a3＝4，前n項和為Sn，且S2，S3－1，S4成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)令bn＝(－1)n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解：(1)設(shè){an}的公差為d，由a5－a3＝4，得2d＝4，d＝2.所以S2＝2a1＋2，S3－1＝3a1＋5，S4＝4a1＋12，又S2，S3－1，S4成等比數(shù)列，所以(3a1＋5)2＝(2a1＋2)·(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝(－1)n＝(－1)n，當n為偶數(shù)時，Tn＝－＋－＋…－＋，所以Tn＝－1＋＝－.當n為奇數(shù)時，Tn＝－＋－＋…＋－，所以Tn＝－1－＝－.所以Tn＝.