知識(shí)排查
勻速圓周運(yùn)動(dòng)
1.定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，若在相等的時(shí)間內(nèi)通過(guò)的圓弧長(zhǎng)相等，就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
2.特點(diǎn)：加速度大小不變，方向始終指向圓心，是變加速運(yùn)動(dòng)。
3.條件：合外力大小不變、方向始終與速度方向垂直且指向圓心。
角速度、線速度、向心加速度

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力
1.作用效果：向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大小。
2.大小：F＝ma＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r。
3.方向：始終沿半徑指向圓心方向，時(shí)刻在改變，即向心力是一個(gè)變力。
4.來(lái)源：向心力可以由一個(gè)力提供，也可以由幾個(gè)力的合力提供，還可以由一個(gè)力的分力提供。
離心現(xiàn)象
1.定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的情況下，就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)。

生活中的圓周運(yùn)動(dòng)
1.豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)
(1)汽車過(guò)弧形橋
特點(diǎn)：重力和橋面支持力的合力提供向心力。
(2)水流星、繩球模型、內(nèi)軌道
(3)輕桿模型、管軌道
2.火車轉(zhuǎn)彎
特點(diǎn)：重力與支持力的合力提供向心力。(火車按設(shè)計(jì)速度轉(zhuǎn)彎，否則將擠壓內(nèi)軌或外軌)
小題速練
1.思考判斷
(1)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受合外力是保持不變的(　　)
(2)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體向心加速度與半徑成反比(　　)
(3)隨圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的物體受重力、支持力和向心力的作用(　　)
(4)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受合外力突然消失，物體將沿圓周切線方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)(　　)
(5)摩托車轉(zhuǎn)彎時(shí)，如果超速會(huì)發(fā)生滑動(dòng)，這是因?yàn)槟ν熊囀艿诫x心力作用(　　)
(6)火車轉(zhuǎn)彎速率小于規(guī)定的安全速率，內(nèi)軌會(huì)受到壓力(　　)
(7)在絕對(duì)光滑的水平面上汽車可以轉(zhuǎn)彎(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√　(7)×
2.[人教版必修2·P22·T3拓展]如圖1所示，有一皮帶傳動(dòng)裝置，A、B、C三點(diǎn)到各自轉(zhuǎn)軸的距離分別為RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在傳動(dòng)過(guò)程中，皮帶不打滑。則(　　)

圖1
A.A點(diǎn)與C點(diǎn)的角速度大小相等
B.B點(diǎn)與C點(diǎn)的線速度大小相等
C.B點(diǎn)與C點(diǎn)的角速度大小之比為2∶1
D.B點(diǎn)與C點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶4
解析　處理傳動(dòng)裝置類問(wèn)題時(shí)，對(duì)于同一根皮帶連接的傳動(dòng)輪邊緣的點(diǎn)，線速度大小相等；同軸轉(zhuǎn)動(dòng)的點(diǎn)，角速度相等。對(duì)于本題，顯然vA＝vC，ωA＝ωB，根據(jù)v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；vA＝2vB，所以vC＝2vB，B錯(cuò)誤；根據(jù)ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B點(diǎn)與C點(diǎn)的角速度大小之比為1∶2，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)ωB＝及關(guān)系式a＝ω2R，可得aB＝，即B點(diǎn)與C點(diǎn)的向心加速度大小之比為1∶4，選項(xiàng)D正確。
答案　D
3.[人教版必修2·P25·T2拓展]如圖2所示，兩個(gè)圓錐內(nèi)壁光滑，豎直放置在同一水平面上，圓錐母線與豎直方向夾角分別為30°和60°，有A、B兩個(gè)質(zhì)量相同的小球在兩圓錐內(nèi)壁等高處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是(　　)

圖2
A.A、B球受到的支持力之比為∶3
B.A、B球的向心力之比為∶1
C.A、B球運(yùn)動(dòng)的角速度之比為3∶1
D.A、B球運(yùn)動(dòng)的線速度之比為3∶1
解析　設(shè)小球受到的支持力為FN，向心力為F，則有FNsin θ＝mg，F(xiàn)NA∶FNB＝∶1，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；F＝，F(xiàn)A∶FB＝3∶1，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；小球運(yùn)動(dòng)軌道高度相同，則半徑R＝htan θ，RA∶RB＝1∶3，由F＝mω2R得ωA∶ωB＝3∶1，選項(xiàng)C正確；由v＝ωR得vA∶vB＝1∶1，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
答案　C

　勻速圓周運(yùn)動(dòng)及描述的物理量
1.對(duì)公式v＝ωr的理解
當(dāng)r一定時(shí)，v與ω成正比；
當(dāng)ω一定時(shí)，v與r成正比；
當(dāng)v一定時(shí)，ω與r成反比。
2.對(duì)a＝＝ω2r＝ωv的理解
在v一定時(shí)，a與r成反比；在ω一定時(shí)，a與r成正比。
3.兩種運(yùn)動(dòng)裝置的特點(diǎn)
(1)同軸傳動(dòng)：如圖3甲、乙所示，繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v與r成正比。

圖3
(2)同帶傳動(dòng)：如圖4甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB。

圖4
【典例1】　(2018·4月浙江選考)A、B兩艘快艇在湖面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖5)，在相同時(shí)間內(nèi)，它們通過(guò)的路程之比是4∶3，運(yùn)動(dòng)方向改變的角度之比是3∶2，則它們(　　)

圖5
A.線速度大小之比為4∶3
B.角速度大小之比為3∶4
C.圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為2∶1
D.向心加速度大小之比為1∶2
解析　時(shí)間相同，路程之比即線速度大小之比，故A項(xiàng)正確；運(yùn)動(dòng)方向改變的角度之比即對(duì)應(yīng)掃過(guò)的圓心角之比，由于時(shí)間相同，角速度大小之比也為3∶2，B項(xiàng)錯(cuò)誤；路程比除以角度比得半徑比為8∶9，C項(xiàng)錯(cuò)誤；由向心加速度a＝知線速度平方比除以半徑比即向心加速度大小之比為2∶1，D項(xiàng)錯(cuò)誤。
答案　A

1.自行車修理過(guò)程中，經(jīng)常要將自行車倒置，搖動(dòng)腳踏板檢查是否修好，如圖6所示，大齒輪邊緣上的點(diǎn)a、小齒輪邊緣上的點(diǎn)b和后輪邊緣上的點(diǎn)c都可視為在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。則線速度最大的點(diǎn)是(　　)

圖6
A.大齒輪邊緣上的點(diǎn)a
B.小齒輪邊緣上的點(diǎn)b
C.后輪邊緣上的點(diǎn)c
D.a、b、c三點(diǎn)線速度大小相同
解析　a點(diǎn)與b點(diǎn)線速度大小相等，即va＝vb，b與c點(diǎn)角速度相等，即ωb＝ωc，又v＝rω，rb＜rc，所以vc＞vb＝va，即后輪邊緣上的C點(diǎn)線速度最大，故選項(xiàng)C正確。
答案　C
2.如圖7所示為A、B兩物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)向心加速度a隨半徑r變化的曲線，由圖線可知(　　)

圖7
A.A物體的線速度大小不變
B.A物體的角速度不變
C.B物體的線速度大小不變
D.B物體的角速度與半徑成正比
解析　對(duì)于物體A，由圖線知aA∝，與a＝相比較，則推知vA大小不變；對(duì)于物體B，由圖線知，aB∝r，與公式a＝ω2r 相比較可知ωB不變，故選項(xiàng)A正確。
答案　A
3.如圖8所示，B和C是一組塔輪，即B和C半徑不同，但固定在同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，其半徑之比為RB∶RC＝3∶2，A輪的半徑大小與C輪相同，它與B輪緊靠在一起，當(dāng)A輪繞過(guò)其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于摩擦作用，B輪也隨之無(wú)相對(duì)滑動(dòng)地轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)。a、b、c分別為三輪邊緣的三個(gè)點(diǎn)，則a、b、c三點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的(　　)

圖8
A.線速度大小之比為3∶2∶2
B.角速度之比為3∶3∶2
C.轉(zhuǎn)速之比為2∶3∶2
D.向心加速度大小之比為9∶6∶4
解析　A、B輪摩擦傳動(dòng)無(wú)滑動(dòng)，故va＝vb，ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝3∶2；B、C同軸，故ωb＝ωc，＝，vb∶vc＝3∶2，因此va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；轉(zhuǎn)速之比等于角速度之比，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由a＝ωv得aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，選項(xiàng)D正確。
答案　D

　圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題
1.向心力的來(lái)源
(1)向心力的方向沿半徑指向圓心。
(2)向心力來(lái)源：一個(gè)力或幾個(gè)力的合力或某個(gè)力的分力。
2.向心力的確定
(1)確定圓周運(yùn)動(dòng)的軌道所在的平面，確定圓心的位置。
(2)分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力。
3.區(qū)分勻速圓周運(yùn)動(dòng)和非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合外力不同
(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，物體所受合外力指向圓心，合外力提供向心力。
(2)非勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，物體所受合外力不指向圓心。
【典例1】　表演“飛車走壁”的演員騎著摩托車飛駛在光滑的圓臺(tái)形筒壁上，筒的軸線垂直于水平面，圓臺(tái)筒固定不動(dòng)。現(xiàn)將圓臺(tái)筒簡(jiǎn)化為如圖9所示，若演員騎著摩托車，先后在A、B兩處緊貼著內(nèi)壁分別在圖中虛線所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是(　　)

圖9
A.A處的線速度大于B處的線速度
B.A處的角速度大于B處的角速度
C.A處對(duì)筒的壓力大于B處對(duì)筒的壓力
D.A處的向心力大于B處的向心力
解析　物體受到的重力和筒壁的支持力充當(dāng)向心力，向心力沿水平方向，則重力和支持力的合力相等，即向心力相等，根據(jù)牛頓第三定律可得A處對(duì)筒的壓力等于B處對(duì)筒的壓力，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤；根據(jù)公式F＝可得半徑越大，線速度越大，故A處的線速度大于B處的線速度，選項(xiàng)A正確；根據(jù)公式F＝mω2r可得半徑越大，角速度越小，故A處的角速度小于B處的角速度，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。
答案　A


“一、二、三、四”求解圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

【典例2】　如圖10甲為游樂(lè)園中“空中飛椅”的游戲設(shè)施，它的基本裝置是將繩子上端固定在轉(zhuǎn)盤的邊緣上，繩子的下端連接座椅，人坐在座椅上隨轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)而在空中飛旋。若將人和座椅看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則可簡(jiǎn)化為如圖乙所示的物理模型，其中P為處于水平面內(nèi)的轉(zhuǎn)盤，可繞豎直轉(zhuǎn)軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)繩長(zhǎng)l＝10 m，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m＝60 kg，轉(zhuǎn)盤靜止時(shí)質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸之間的距離d＝4.0 m，轉(zhuǎn)盤逐漸加速轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)繩與豎直方向的夾角θ＝37°，不計(jì)空氣阻力及繩重，且繩不可伸長(zhǎng)，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)：

圖10
(1)繩子拉力的大小；
(2)轉(zhuǎn)盤角速度的大小。
解析　(1)如圖所示，對(duì)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行受力分析：
Fcos 37°－mg＝0
F＝＝750 N。
(2)根據(jù)牛頓第二定律有：
mgtan 37°＝mω2R
R＝d＋lsin 37°
聯(lián)立解得ω＝＝ rad/s。
答案　(1)750 N　(2) rad/s

1.(2016·4月浙江選考)如圖11為某中國(guó)運(yùn)動(dòng)員在短道速滑比賽中勇奪金牌的精彩瞬間。假定此時(shí)他正沿圓弧形彎道勻速率滑行，則他(　　)

圖11
A.所受的合力為零，做勻速運(yùn)動(dòng)
B.所受的合力恒定，做勻加速運(yùn)動(dòng)
C.所受的合力恒定，做變加速運(yùn)動(dòng)
D.所受的合力變化，做變加速運(yùn)動(dòng)
解析　勻速圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線速度大小不變，方向改變；向心加速度大小不變，方向始終指向圓心；向心力大小不變，方向始終指向圓心。故A、B、C錯(cuò)誤，D正確。
答案　D
2.如圖12所示，質(zhì)量相等的a、b兩物體放在圓盤上，到圓心的距離之比是2∶3，圓盤繞圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩物體相對(duì)圓盤靜止，a、b兩物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力之比是(　　)

圖12
A.1∶1 B.3∶2
C.2∶3 D.9∶4
解析　a、b隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相同，由F＝mω2r可知，兩物體的向心力與運(yùn)動(dòng)半徑成正比，C正確。
答案　C
3.(2015·10月浙江選考)質(zhì)量為30 kg的小孩坐在秋千板上，秋千板離系繩子的橫梁的距離是2.5 m。小孩的父親將秋千板從最低點(diǎn)拉起1.25 m高度后由靜止釋放，小孩沿圓弧運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，她對(duì)秋千板的壓力約為(　　)
A.0 B.200 N C.600 N D.1 000 N
解析　小孩從1.25 m高度向下擺動(dòng)過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律知
mgh＝mv2－0，
在最低點(diǎn)有FN－mg＝，
解得FN＝600 N，
由牛頓第三定律得小孩對(duì)秋千板的壓力
FN′＝FN＝600 N，選項(xiàng)C正確。
答案　C
4.如圖13所示，用一根細(xì)繩一端系一個(gè)小球，另一端固定，給小球不同的初速度，使小球在水平面內(nèi)做角速度不同的圓周運(yùn)動(dòng)，則下列細(xì)繩拉力F、懸點(diǎn)到軌跡圓心高度h、向心加速度a、線速度v與角速度平方ω2的關(guān)系圖象正確的是(　　)

圖13

解析　設(shè)細(xì)繩長(zhǎng)度為l，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ，則有細(xì)繩拉力為F，有Fsin θ＝mω2lsin θ，得F＝mω2l，選項(xiàng)A正確；mgtan θ＝mω2lsin θ，得h＝lcos θ＝，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；小球的向心加速度a＝ω2lsin θ，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；小球的線速度v＝ωlsin θ，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
答案　A
　生活中的圓周運(yùn)動(dòng)
角度一　水平面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)例
1.運(yùn)動(dòng)實(shí)例：圓錐擺、火車轉(zhuǎn)彎、飛機(jī)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)等。
2.問(wèn)題特點(diǎn)：
(1)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓且在水平面內(nèi)。
(2)向心力的方向水平，豎直方向合力為零。
3.解決方法：
(1)對(duì)研究對(duì)象受力分析，確定向心力的來(lái)源。
(2)確定圓周運(yùn)動(dòng)的圓心和半徑。
(3)應(yīng)用相關(guān)規(guī)律列方程求解。
【典例】　(2018·11月浙江選考)一質(zhì)量為2.0×103 kg的汽車在水平公路上行駛，路面對(duì)輪胎的徑向最大靜摩擦力為1.4×104 N，當(dāng)汽車經(jīng)過(guò)半徑為80 m的彎道時(shí)，下列判斷正確的是(　　)

圖14
A.汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力
B.汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m/s時(shí)所需的向心力為1.4×104 N
C.汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m/s時(shí)汽車會(huì)發(fā)生側(cè)滑
D.汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度不超過(guò)7.0 m/s2
解析　汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)所受的力有重力、彈力、摩擦力，但向心力是根據(jù)力的效果命名的，不是物體實(shí)際受到的力，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)汽車轉(zhuǎn)彎速度為20 m/s時(shí)，根據(jù)Fn＝m，得所需的向心力Fn＝1×104 N，沒有超過(guò)最大靜摩擦力，所以車也不會(huì)側(cè)滑，所以選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤；汽車轉(zhuǎn)彎達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，向心加速度最大為an＝＝ m/s2＝7.0 m/s2，選項(xiàng)D正確。
答案　D



1.質(zhì)量為m的飛機(jī)以恒定速率v在空中水平盤旋，如圖15所示，其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，重力加速度為g，則此時(shí)空氣對(duì)飛機(jī)的作用力大小為(　　)

圖15
A. 　　　 B.mg
C.m 　　　 D.m
解析　飛機(jī)在空中水平盤旋時(shí)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到重力和空氣的作用力兩個(gè)力的作用，其合力提供向心力Fn＝m。飛機(jī)受力情況示意圖如圖所示，根據(jù)勾股定理得
F＝＝m。
答案　C
2.鐵路在彎道處的內(nèi)、外軌道高度是不同的，已知內(nèi)、外軌道平面與水平面的夾角為θ，如圖16所示，彎道處的圓弧半徑為R，若質(zhì)量為m的火車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度等于，則(　　)

圖16
A.內(nèi)軌對(duì)內(nèi)側(cè)車輪輪緣有擠壓
B.外軌對(duì)外側(cè)車輪輪緣有擠壓
C.這時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力等于
D.這時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力大于

解析　由牛頓第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan θ，此時(shí)火車只受重力和鐵路軌道的支持力作用，如圖所示，F(xiàn)Ncos θ＝mg，則FN＝，內(nèi)、外軌道對(duì)火車均無(wú)側(cè)壓力，故選項(xiàng)C正確，A、B、D錯(cuò)誤。
答案　C
3.如圖17所示，“旋轉(zhuǎn)秋千”中的兩個(gè)座椅A、B質(zhì)量相等，通過(guò)相同長(zhǎng)度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上。不考慮空氣阻力的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，下列說(shuō)法正確的是(　　)

圖17
A.A的速度比B的大
B.A與B的向心加速度大小相等
C.懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等
D.懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小
解析　A、B繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，即ωA＝ωB，但rA

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