2020版高考理科數學（人教版）一輪復習講義：第十章第三節(jié)二項式定理-學案下載-教習網

第三節(jié)二項式定理

1.二項式定理
(1)二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)?；
(2)通項公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項；
(3)二項式系數：二項展開式中各項的系數為C，C，…，C?.
2.二項式系數的性質

(1)項數為n＋1.
(2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.
二項式系數與項的系數的區(qū)別
二項式系數是指C，C，…，C，它只與各項的項數有關，而與a，b的值無關；而項的系數是指該項中除變量外的常數部分，它不僅與各項的項數有關，而且也與a，b的值有關.如(a＋bx)n的二項展開式中，第k＋1項的二項式系數是C，而該項的系數是Can－kbk.當然，在某些二項展開式中，各項的系數與二項式系數是相等的.
[小題查驗基礎]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)Can－rbr是(a＋b)n的展開式中的第r項.(　　)
(2)(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數與a，b無關.(　　)
(3)二項展開式中，系數最大的項為中間一項或中間兩項.(　　)
(4)(a＋b)n某項的系數是該項中非字母因數部分，包括符號等，與該項的二項式系數不同.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、選填題
1.二項式(x－2)5展開式中x的系數為(　　)
A.5　　　　　　　　　　 B.16
C.80 D.－80
解析：選C　由二項式定理知，其展開式中含x的項為T5＝Cx(－2)4，故其系數為C(－2)4＝80.
2.6的展開式中的常數項為(　　)
A.－150 B.150
C.－240 D.240
解析：選D　6的二項展開式的通項公式為Tk＋1＝Cx6－k·k＝Cx6－k·(－2)k·x－＝(－2)kCx6－k.令6－k＝0，解得k＝4，故所求的常數項為T5＝(－2)4·C＝240.
3.二項式10的展開式中，的系數是(　　)
A. B.－
C.15 D.－15
解析：選B　10的二項展開式的通項公式為Tr＋1＝C10－r·r＝(－1)r22r－10Cx5－，令5－＝，得r＝3，所以的系數是(－1)3·2－4·C＝－.
4.若n的展開式的所有二項式系數之和為128，則n＝________.
解析：由題意，可知2n＝128，解得n＝7.
答案：7
5.若(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數相等，則n＝________.
解析：(1＋3x)n的展開式中含x5的項為C(3x)5＝C35x5，展開式中含x6的項為C36x6.
由兩項的系數相等得C·35＝C·36，解得n＝7.
答案：7

[考法全析]
考法(一)　求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關的量
[例1]　(1)(2018·全國卷Ⅲ)5的展開式中x4的系數為(　　)
A.10　　　　　　　　　　 B.20
C.40 D.80
(2)(2019·合肥調研)若(2x－a)5的二項展開式中x3的系數為720，則a＝________.
(3)(2019·甘肅檢測)已知5的展開式中x5的系數為A，x2的系數為B，若A＋B＝11，則a＝________.
[解析]　(1)5的展開式的通項公式為Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展開式中x4的系數為C·22＝40.
(2)(2x－a)5的展開式的通項公式為Tr＋1＝(－1)r·C·(2x)5－r·ar＝(－1)r·C·25－r·ar·x5－r，令5－r＝3，解得r＝2，由(－1)2·C·25－2·a2＝720，解得a＝±3.
(3)5的展開式的通項公式為Tr＋1＝Cx5－r·r＝C(－a)rx5－r.由5－r＝5，得r＝0，由5－r＝2，得r＝2，所以A＝C×(－a)0＝1，B＝C×(－a)2＝10a2，則由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
[答案]　(1)C　(2)±3　(3)±1

求形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關的量(常數項、參數值、特定項等)的步驟
第一步，利用二項式定理寫出二項展開式的通項公式Tr＋1＝Can－rbr，常把字母和系數分離開來(注意符號不要出錯)；
第二步，根據題目中的相關條件(如常數項要求指數為零，有理項要求指數為整數)先列出相應方程(組)或不等式(組)，解出r；
第三步，把r代入通項公式中，即可求出Tr＋1，有時還需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量.
考法(二)　求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式中與特定項相關的量
[例2]　(1)(1－)6(1＋)4的展開式中x的系數是(　　)
A.－4 B.－3
C.3 D.4
(2)(2019·南昌模擬)已知(x－1)(ax＋1)6的展開式中含x2項的系數為0，則正實數a＝________.
[解析]　(1)法一：(1－)6的展開式的通項為C·(－)m＝C(－1)mx，(1＋)4的展開式的通項為C·()n＝Cx，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.
令＋＝1，得m＋n＝2，
于是(1－)6(1＋)4的展開式中x的系數等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3.
法二：(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x).于是(1－)6(1＋)4的展開式中x的系數為C·1＋C·(－1)1·1＝－3.
(2)(ax＋1)6的展開式中含x2項的系數為Ca2，含x項的系數為Ca，由(x－1)(ax＋1)6的展開式中含x2項的系數為0，可得－Ca2＋Ca＝0，因為a為正實數，所以15a＝6，所以a＝.
[答案]　(1)B　(2)

求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式中與特定項相關的量的步驟
第一步，根據二項式定理把(a＋b)m與(c＋d)n分別展開，并寫出其通項公式；
第二步，根據特定項的次數，分析特定項可由(a＋b)m與(c＋d)n的展開式中的哪些項相乘得到；
第三步，把相乘后的項合并即可得到所求特定項或相關量.
考法(三)　求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關的量
[例3]　(1)(x2＋x＋y)5的展開式中x5y2的系數為(　　)
A.10 B.20
C.30 D.60
(2)將3展開后，常數項是________.
[解析]　(1)(x2＋x＋y)5的展開式的通項為Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，則T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展開式的通項為Tk＋1＝C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，則k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數為CC＝30.
(2)3＝6展開式的通項是C()6－k·k＝(－2)k·Cx3－k.
令3－k＝0，得k＝3.
所以常數項是C(－2)3＝－160.
[解析]　(1)C　(2)－160

求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開式中與特定項相關的量的步驟
第一步，把三項的和a＋b＋c看成是(a＋b)與c兩項的和；
第二步，根據二項式定理寫出[(a＋b)＋c]n的展開式的通項；
第三步，對特定項的次數進行分析，弄清特定項是由(a＋b)n－r的展開式中的哪些項和cr相乘得到的；
第四步，把相乘后的項合并即可得到所求特定項或相關量.
[過關訓練]
1.(2018·洛陽第一次統(tǒng)考)若a＝ sin xdx，則二項式6的展開式中的常數項為(　　)
A.－15　　　　　　　　　 B.15
C.－240 D.240
解析：選D　由a＝ sin xdx＝(－cos x)＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得6的展開式的通項公式為Tr＋1＝C(2)6－rr＝(－1)rC·26－r·x3－r，令3－r＝0，得r＝2，故常數項為C·24＝240.
2.(2019·福州四校聯(lián)考)在(1－x3)(2＋x)6的展開式中，x5的系數是________.(用數字作答)
解析：二項展開式中，含x5的項是C2x5－x3C24x2＝－228x5，所以x5的系數是－228.
答案：－228
3.5(x＞0)的展開式中的常數項為________.
解析：5(x＞0)可化為10，因而Tr＋1＝C10－r()10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展開式中的常數項為C·5＝.
答案：

[典例精析]
(1)若n的展開式中各項系數之和大于8，但小于32，則展開式中系數最大的項是(　　)
A.6　　　　　　　　 B.
C.4x D.或4x
(2)若n的展開式中含x的項為第6項，設(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則a1＋a2＋…＋an的值為________.
(3)若(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為32，則a＝________.
[解析]　(1)令x＝1，可得n的展開式中各項系數之和為2n，即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3項的系數最大，所以展開式中系數最大的項是C()22＝6.
(2)n的展開式的通項公式為Tr＋1＝C(x2)n－r·r＝C(－1)rx2n－3r，
因為含x的項為第6項，所以r＝5,2n－3r＝1，解得n＝8，
在(1－3x)n中，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28，
又a0＝1，所以a1＋…＋a8＝28－1＝255.
(3)設(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展開式中x的奇數次冪項的系數之和為a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
[答案]　(1)A　(2)255　(3)3
[解題技法]
1.賦值法的應用
二項式定理給出的是一個恒等式，對于x，y的一切值都成立.因此，可將x，y設定為一些特殊的值.在使用賦值法時，令x，y等于多少，應視具體情況而定，一般取“1，－1或0”，有時也取其他值.如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展開式的各項系數之和，只需令x＝1即可.
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展開式各項系數之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.
2.二項展開式各項系數和、奇數項系數和與偶數項系數和的求法
若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)的展開式中
(1)各項系數之和為f(1).
(2)奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝.
(3)偶數項系數之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
[過關訓練]
1.(2019·包頭模擬)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝(　　)
A.1 B.243
C.121 D.122
解析：選B　令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①
令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②
①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，
即a4＋a2＋a0＝－121.
①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，
即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
2.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數m的值為________.
解析：令x＝0，則(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，則m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3或m＝1.
答案：－3或1
3.已知(1＋3x)n的展開式中，后三項的二項式系數的和等于121，則展開式中二項式系數最大的項為________.
解析：由已知得C＋C＋C＝121，則n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去負值)，所以展開式中二項式系數最大的項為T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8.
答案：C(3x)7和C(3x)8

[典例精析]
設a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，則a＝(　　)
A.0　　　　　　　　　　 B.1
C.11 D.12
[解析]　由于51＝52－1，
512 018＝(52－1)2 018＝C522 018－C522 017＋…－C521＋1，
又13整除52，
所以只需13整除1＋a，
又0≤a＜13，a∈Z，
所以a＝12.
[答案]　D
[解題技法]
利用二項式定理解決整除問題的思路
(1)要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可.因此，一般要將被除式化為含相關除式的二項式，然后再展開.
(2)用二項式定理處理整除問題，通常把底數寫成除數(或與除數密切關聯(lián)的數)與某數的和或差的形式，再用二項式定理展開.但要注意兩點：
①余數的范圍，a＝cr＋b，其中余數b∈[0，r)，r是除數，若利用二項式定理展開變形后，切記余數不能為負；
②二項式定理的逆用.
[過關訓練]
1.使得多項式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然數x為(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：選C　∵81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1＝(3x＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然數為3.
2.1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余數為________.
解析：∵1－90C＋902C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910，
∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，
∵前10項均能被88整除，∴余數為1.
答案：1