2.數(shù)列的前n項和Sn與通項公式an的關(guān)系
3．?dāng)?shù)列的性質(zhì)由于數(shù)列可以看作一個關(guān)于n(n∈N*)的函數(shù)，因此它具備函數(shù)的某些性質(zhì)：(1)單調(diào)性——若an＋1＞an，則{an}為遞增數(shù)列；若an＋1＜an，則{an}為遞減數(shù)列．否則為擺動數(shù)列或常數(shù)列(an＋1＝an)．(2)周期性——若an＋k＝an(k為非零常數(shù))，則{an}為周期數(shù)列，k為{an}的一個周期．
2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝9＋12n，則在下列各數(shù)中，不是{an}的項的是(　 )A．21 B．33C．152 D．153
3．若an＝n2－5n＋3，則當(dāng)n＝________時，an取得最小值．
4．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，則a3＝________.解析：由題意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.答案：215．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n＋1，則an＝________.
[一“點(diǎn)”就過]由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項的策略根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項時，需仔細(xì)觀察、對比、分析，從整體到局部多角度歸納、聯(lián)想．抓住以下幾個方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相鄰項的聯(lián)系特征；(3)拆項后的各部分特征；(4)符號特征．
2．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，a1＝－2，an＋1＝Sn，那么a5＝(　 )A．－16 B．12C．16 D．20解析：由a1＝－2，an＋1＝Sn，得a2＝S1＝a1＝－2，當(dāng)n≥2時，由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1，所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，所以an＋1＝2an，所以a3＝2a2＝－4，a4＝2a3＝－8，a5＝2a4＝－16.答案：A　
2．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2nan，則通項公式an＝________.
3．在數(shù)列{an}中，a1＝3，且點(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項公式為________．
[方法技巧](1)解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．(2)解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．(3)求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法①函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值．
3．已知對于任意的正整數(shù)n，an＝n2＋λn.若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________．解析：因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0對于任意的正整數(shù)n恒成立，即λ>－2n－1對于任意的正整數(shù)n恒成立，又－2n－1在n∈N*時單調(diào)遞減，在n＝1時取到最大值－3，所以λ>－3.答案：(－3，＋∞)
2．(結(jié)合新定義問題)若P(n)表示正整數(shù)n的個位數(shù)字，an＝P(n2)－P(2n)，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2 021＝(　 )A．－1 B．0 C．1 009 D．1 011解析：由題意得a1＝－1，a2＝0，a3＝3，a4＝－2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝－2，a9＝－7，a10＝0，a11＝－1，a12＝0…，所以數(shù)列{an}為周期數(shù)列，且周期為10.因?yàn)镾10＝5，所以S2 021＝5×202＋(－1)＝1 009.答案：C　
4．(忽視n＝1的驗(yàn)證)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝4n－3，則數(shù)列{an}的通項公式為________．
5．(忽視數(shù)列的函數(shù)特征)數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2＋tn(n≤2 020)，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則t的取值范圍是________．解析：由數(shù)列{an}為遞減數(shù)列知，an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t＜0對于n＝1，2，…，2 019恒成立，即t＜－(2n＋1)對于n＝1，2，…，2 019恒成立，所以t＜－4 039.故t的取值范圍是(－∞，－4 039)．答案：(－∞，－4 039)
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