2019考綱考題考情
考綱要求
考題舉例
考向標(biāo)簽
1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)
2．了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)
3．會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題(生活中的優(yōu)化問(wèn)題)
2018·全國(guó)卷Ⅰ·T21(討論函數(shù)的單調(diào)性、不等式證明)
2018·全國(guó)卷Ⅱ·T21(證明不等式、函數(shù)的零點(diǎn))
2018·全國(guó)卷Ⅲ·T21(應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值)
2017·全國(guó)卷Ⅰ·T21(函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn))
2017·全國(guó)卷Ⅱ·T21(函數(shù)極值)
2017·全國(guó)卷Ⅲ·T21(利用導(dǎo)數(shù)證明不等式)
命題角度：
1．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
2．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
3．導(dǎo)數(shù)與不等式
4．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)
核心素養(yǎng)：邏輯推理


1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系
函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則
(1)若f′(x)＞0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。
(2)若f′(x)＜0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。
(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)。
2．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)的極小值
若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，且f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則x＝a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小值。
(2)函數(shù)的極大值
若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，且f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則x＝b叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)的極大值，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。
3．函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件：
一般地，如果在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。
(2)求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟為：
①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；
②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。

1．函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件。
2．對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件。如函數(shù)y＝x3在x＝0處導(dǎo)數(shù)為零，但x＝0不是函數(shù)y＝x3的極值點(diǎn)。

一、走進(jìn)教材

1．(選修2－2P26練習(xí)T1(2)改編)函數(shù)y＝x－ex的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析　y′＝1－ex0。故選B。
答案　B
2．(選修2－2P32A組T5(4)改編)函數(shù)f(x)＝2x－xlnx的極值是(　　)
A． B．
C．e D．e2
解析　因?yàn)閒′(x)＝2－(lnx＋1)＝1－lnx，當(dāng)f′(x)>0時(shí)，解得00，得x>1；
由f′(x)0恒成立，
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)lna，
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，lna)，單調(diào)遞增區(qū)間為(lna，＋∞)。
(2)令g(x)＝0，得f(x)＝0或x＝，
先考慮f(x)在區(qū)間[0,1]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
當(dāng)a≤1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增且f(0)＝0，
所以f(x)在[0,1]上有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a≥e時(shí)，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，且f(0)＝0，
所以f(x)在[0,1]上有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)1eln3＝ln3e，所以e3>3e。
考點(diǎn)三 函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)研究
【例3】　(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝－x＋alnx。
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：2，令f′(x)＝0得，x＝或x＝。
當(dāng)x∈∪時(shí)，f′(x)0。
所以f(x)在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。
(2)證明：由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a>2。
由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨設(shè)x11。
由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，
所以1)，
即證當(dāng)t>1時(shí)，有l(wèi)nt>。
令h(t)＝lnt－(t>1)，
則h′(t)＝－＝>0，
所以h(t)為(1，＋∞)上的增函數(shù)。
因此h(t)>ln1－＝0。
于是當(dāng)t>1時(shí)，有l(wèi)nt>。
所以有l(wèi)nx1＋lnx2>2成立，即x1x2>e2。


對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的雙變量問(wèn)題
除了例3及變式訓(xùn)練介紹的兩種消元法外，還常用到另一種消元法：對(duì)稱構(gòu)造法。
對(duì)稱變換，主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題。其解題要點(diǎn)如下：
(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為x0)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0。
(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若證x1x2>x，則令F(x)＝f(x)－f。
(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論F(x)的單調(diào)性。
(4)比較大小，即判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出f(x)與f(2x0－x)的大小關(guān)系。
(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將f(x0＋x)與f(x0－x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x0＋x與x0－x之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求。
說(shuō)明：若要證明f′的符號(hào)問(wèn)題，還需進(jìn)一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)。
【典例】　(2019·四川蓉城名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝xex(x∈R)。
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若g(x)＝f(x)－a(x2＋2x＋1)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)已知函數(shù)h(x)與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果x1≠x2，且h(x1)＝h(x2)，證明：x1＋x2>2。
【思路點(diǎn)撥】　(1)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)可直接求導(dǎo)后依據(jù)參數(shù)取值情況進(jìn)行分類討論；也可直接分離參數(shù)，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求解；(3)先將所證不等式轉(zhuǎn)化為x2>2－x1，根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝h(x)－h(huán)(2－x)，通過(guò)證明h(x)>h(2－x)證明結(jié)論。
【解】　(1)由已知得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，
令f′(x)＝0，解得x＝－1，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
單調(diào)遞減
－
單調(diào)遞增
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極小值，為f(－1)＝－，無(wú)極大值。
(2)由題意知g(x)＝xex－a(x2＋2x＋1)，則g′(x)＝(x＋1)(ex－a)，
當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝xex，易知函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意。
當(dāng)a0，
則F′(x)>0，所以F(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)>0，
即當(dāng)x>1時(shí)，h(x)>h(2－x)，則h(x1)>h(2－x1)，
又h(x1)＝h(x2)，所以h(x2)>h(2－x1)，
因?yàn)閤1>1，所以2－x12－x1，即x1＋x2>2。

該題中的第(3)問(wèn)證明的不等式中含有兩個(gè)變量，對(duì)于此類問(wèn)題一般的求解思路是將兩個(gè)變量分到不等式的兩側(cè)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)兩個(gè)變量之間的關(guān)系“減元”，建立新函數(shù)，最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解。考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。在求解此類問(wèn)題時(shí)，需要注意變量取值范圍的限定，如該題中利用x2,2－x1，其取值范圍都為(－∞，1)，若將所證不等式化為x1>2－x2，則x1,2－x2的取值范圍都為(1，＋∞)，此時(shí)就必須利用函數(shù)h(x)在(1，＋∞)上的單調(diào)性來(lái)求解。


近幾年高考?jí)狠S題常以x與ex，lnx組合的函數(shù)為基礎(chǔ)來(lái)命制，將基本初等函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)糅合在一起，發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、證明相關(guān)不等式(或比較大小)、求參數(shù)的取值范圍(或最值)。預(yù)計(jì)今后高考試題除了延續(xù)往年的命題形式，還會(huì)更著眼于知識(shí)點(diǎn)的巧妙組合，注重對(duì)函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類整合和數(shù)形結(jié)合等思想的靈活運(yùn)用，突出對(duì)數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查。

支招一 分離參數(shù)、設(shè)而不求
【例1】　(2019·湖南省名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝lnx，h(x)＝ax(a∈R)。
(1)若函數(shù)f(x)的圖象與h(x)的圖象無(wú)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的x∈，都有y＝f(x)＋的圖象在g(x)＝的圖象下方？若存在，請(qǐng)求出整數(shù)m的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
【思路點(diǎn)撥】　(1)函數(shù)f(x)的圖象與h(x)的圖象無(wú)公共點(diǎn)，等價(jià)于方程＝a在(0，＋∞)上無(wú)解；(2)將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到參數(shù)的值。
【解】　(1)函數(shù)f(x)的圖象與h(x)的圖象無(wú)公共點(diǎn)，等價(jià)于方程＝a在(0，＋∞)上無(wú)解，
令t(x)＝，則t′(x)＝，令t′(x)＝0，得x＝e。
隨著x的變化，t′(x)，t(x)的變化如下表所示。
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
t′(x)
＋
0
－
t(x)
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
因?yàn)閤＝e是函數(shù)t(x)唯一的極值點(diǎn)，所以t(x)max＝t(e)＝，故要使方程＝a在(0，＋∞)上無(wú)解，需滿足a>，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為。
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足題意，則不等式lnx＋0，
所以v′(x)>0，即v(x)在上單調(diào)遞增，
所以m≤e－ln＝e＋ln2≈1.995 29，
故存在整數(shù)m滿足題意，且m的最大值為1。

本題分離參數(shù)后導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求，且不能通過(guò)觀察得到，此時(shí)往往可以采用設(shè)而不求的方法。在第(2)小問(wèn)中，通過(guò)虛設(shè)零點(diǎn)x0得到x0＝－lnx0，將ex0－lnx0－1轉(zhuǎn)化為普通代數(shù)式＋x0－1，然后使用基本不等式求出最值，同時(shí)消掉x0，即借助φ′(x0)＝0作整體代換，采取設(shè)而不求的方法，達(dá)到化簡(jiǎn)并求解的目的。
【變式訓(xùn)練1】　(2018·鄭州市質(zhì)量預(yù)測(cè))若對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，y都有·ln≤成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
解析　因?yàn)閤>0，y>0，·ln≤，所以兩邊同時(shí)乘以，可得·ln≤，令＝t(t>0)，令f(t)＝(2e－t)·lnt(t>0)，則f′(t)＝－lnt＋(2e－t)·＝－lnt＋－1，令g(t)＝－lnt＋－1(t>0)，則g′(t)＝－－0)，則g′(x)＝－，
易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則g(x)max＝g(1)＝1，
所以2a≥1，即a≥。
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是。
(2)若a＝e，要證f(x)0)，
當(dāng)01時(shí)，f′(x)φ(1)＝1>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以x>1時(shí)，g(x)>g(1)＝2，故>。
h′(x)＝，因?yàn)閤>1，所以1－ex。
支招三 借助ex≥x＋1和lnx≤x－1進(jìn)行放縮
【例3】　(2019·長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝ex－a。
(1)若函數(shù)f(x)的圖象與直線l：y＝x－1相切，求a的值；
(2)若f(x)－lnx>0恒成立，求整數(shù)a的最大值。
【思路點(diǎn)撥】　(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到f′(x)＝1，代入求出a的值；(2)將f(x)－lnx>0恒成立的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)不等式的恒成立問(wèn)題，即ex≥x＋1與lnx≤x－1恒成立，然后構(gòu)建不等式ex－2>lnx，從而確定a的最大值。
【解】　(1)f′(x)＝ex，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象與直線y＝x－1相切，
所以令f′(x)＝1，即ex＝1，得x＝0，即f(0)＝－1，解得a＝2。
(2)現(xiàn)證明ex≥x＋1，設(shè)F(x)＝ex－x－1，
則F′(x)＝ex－1，令F′(x)＝0，則x＝0，
當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，F(xiàn)′(x)lnx，
當(dāng)a≤2時(shí)，lnx0恒成立。
當(dāng)a≥3時(shí)，存在x，使ex－alnx不恒成立。
綜上，整數(shù)a的最大值為2。

利用ex≥x＋1，lnx≤x－1可將超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，有效地降低了試題的難度。
【變式訓(xùn)練3】　已知函數(shù)f(x)＝ex，g(x)＝ln(x＋a)＋b。
(1)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在點(diǎn)(0,1)處有相同的切線，求a，b的值；
(2)當(dāng)b＝0時(shí)，f(x)－g(x)>0恒成立，求整數(shù)a的最大值。
解　(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)和g(x)的圖象在點(diǎn)(0,1)處有相同的切線，
所以f(0)＝g(0)且f′(0)＝g′(0)，
解得a＝1，b＝1。
(2)現(xiàn)證明ex≥x＋1，設(shè)F(x)＝ex－x－1，則F′(x)＝ex－1，
當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，F(xiàn)′(x)ln(x＋2)，
當(dāng)a≤2時(shí)，ln(x＋a)≤ln(x＋2)0恒成立。
當(dāng)a≥3時(shí)，e00不恒成立。
故整數(shù)a的最大值為2。



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