【人教版】



【考點(diǎn)1 一元一次方程的定義】
【方法點(diǎn)撥】一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，并且含未知數(shù)項(xiàng)的系數(shù)不是
零的整式方程是一元一次方程.
【例1】（2019秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）在方程①3x+y＝4，②2x﹣＝5，③3y+2＝2﹣y，④2x2﹣5x+6＝2（x2+3x）中，是一元一次方程的個(gè)數(shù)為（　?。?br /> A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常數(shù)且a≠0）．
【答案】解：①3x+y＝4中含有2個(gè)未知數(shù)，屬于二元一次方程，不符合題意，
②2x﹣＝5是分式方程，不符合題意；
③3y+2＝2﹣y符合一元一次方程的定義，符合題意；
④由2x2﹣5x+6＝2（x2+3x）得到：﹣11x+6＝0符合一元一次方程的定義，符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．
【變式1-1】（秋?贛州期末）已知關(guān)于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|＝0是一元一次方程，則m的值是（　　）
A．2 B．0 C．1 D．0或2
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義，得到關(guān)于m﹣1的絕對(duì)值的方程，利用絕對(duì)值的定義，解之，把m的值代入m﹣2，根據(jù)是否為0，即可得到答案．
【答案】解：根據(jù)題意得：
|m﹣1|＝1，
整理得：m﹣1＝1或m﹣1＝﹣1，
解得：m＝2或0，
把m＝2代入m﹣2得：2﹣2＝0（不合題意，舍去），
把m＝0代入m﹣2得：0﹣2＝﹣2（符合題意），
即m的值是0，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的定義，絕對(duì)值，正確掌握一元一次方程的定義，絕對(duì)值的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2019春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中）下列方程：①2x+6＝7；②x﹣4＝；③x+0.3x＝4；④3x2﹣4x＝9；⑤x＝0；⑥3x﹣2y＝8；⑦x＝1；⑧＝2中是一元一次方程的個(gè)數(shù)是（　　）
A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)
【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常數(shù)且a≠0）．
【答案】解：①2x+6＝7、③x+0.3x＝4、⑤x＝0、⑦x＝1符合一元一次方程的定義；
②x﹣4＝、⑧＝2是分式方程；
④3x2﹣4x＝9是一元二次方程；
⑥3x﹣2y＝8是二元二次方程，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．
【變式1-3】（2019春?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）如果關(guān)于x的方程（m+1）x2+（m﹣1）x+m＝0是一元一次方程，則m的值為（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．1或﹣1
【分析】由一元一次方程的定義可知：m+1＝0，從而可求得m的值．
【答案】解：∵關(guān)于x的方程（m+1）x2+（m﹣1）x+m＝0是一元一次方程，
∴m+1＝0．
解得：m＝﹣1．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是一元一次方程的定義，掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)2 等式的基本性質(zhì)】
【方法點(diǎn)撥】等式的性質(zhì)：
等式性質(zhì)1：等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；
等式性質(zhì)2：等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍相等.
【例2】（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）設(shè)x，y，c是實(shí)數(shù)，則下列判斷正確的是（　?。?br /> A．若x＝y(tǒng)，則x+c＝y(tǒng)﹣c B．
C．若x＝y(tǒng)，則 D．若，則2x＝3y
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案．
【答案】解：A、兩邊加不同的數(shù)，故A不符合題意；
B、分子分母都除以c，故B符合題意；
C、c＝0時(shí)，兩邊都除以c無意義，故C不符合題意；
D、兩邊乘6c，得到，3x＝2y，故D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟記等式的性質(zhì)并根據(jù)等式的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．
【變式2-1】（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，三個(gè)天平的托盤中形狀相同的物體質(zhì)量相等．圖（1）、（2）所示的兩個(gè)天天平處于平衡狀態(tài)，要使第3個(gè)天平也保持平衡，則需在它的右盤中放置（　?。?br />
A．3個(gè)球 B．4個(gè)球 C．5個(gè)球 D．7個(gè)球
【分析】題目中的圖形實(shí)際是說明了兩個(gè)相等關(guān)系：設(shè)球的質(zhì)量是x，小正方形的質(zhì)量是y，小正三角形的質(zhì)量是z．根據(jù)第一個(gè)天平得到：5x+2y＝x+3z；根據(jù)第二個(gè)天平得到：3x+3y＝2y+2z，把這兩個(gè)式子組成方程組，解這個(gè)關(guān)于y，z的方程組即可．
【答案】解：設(shè)球的質(zhì)量是x，小正方形的質(zhì)量是y，小正三角形的質(zhì)量是z．
根據(jù)題意得到：，
解得：，
第三圖中左邊是：3x+2y+z＝7x，因而需在它的右盤中放置7個(gè)球．
故選：D．
【點(diǎn)睛】考查了等式的性質(zhì)，本題的難點(diǎn)是解關(guān)于y，z的方程，解題的基本思想是消元．
【變式2-2】（2019春?新羅區(qū)期中）如圖，其中圖（a）（b）中天平保持左右平衡，現(xiàn)要使圖（c）中的天平也平衡，需要在天平右盤中放入砝碼的克數(shù)為（　?。?br />
A．25克 B．30克 C．40克 D．50克
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)即可求出答案．
【答案】解：設(shè)三角形重為x，圓形重為y，
∴3x+2y＝80，3y+2x＝70，
∴x+y＝30，
∴3y+2x﹣（x+y）＝70﹣30
∴x+2y＝40，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
【變式2-3】（秋?鄂城區(qū)期末）已知等式3a＝b+2c，那么下列等式中不一定成立的是（　　）
A．3a﹣b＝2c B．4a＝a+b+2c C．a(chǎn)＝b+c D．3＝+
【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可得．
【答案】解：A、原等式兩邊都減去b即可得3a﹣b＝2c，此選項(xiàng)正確；
B、原等式兩邊都加上a即可得4a＝a+b+2c，此選項(xiàng)正確；
C、原等式兩邊都除以3即可得a＝b+c，此選項(xiàng)正確；
D、在a≠0的前提下，兩邊都除以a可得3＝+，故此選項(xiàng)不一定成立；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式、等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．
【考點(diǎn)3 一元一次方程的解】
【方法點(diǎn)撥】方程的解：使等式左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”。
【例3】（秋?榆次區(qū)期末）已知x＝1是方程的解，則k的值是（　?。?br /> A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1
【分析】把x＝1代入方程，即可得出一個(gè)關(guān)于k的一元一次方程，求出方程的解即可．
【答案】解：把x＝1代入方程得：＝﹣×1，
解得：k＝2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一個(gè)關(guān)于k的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
【變式3-1】已知關(guān)于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解為x＝﹣2，那么關(guān)于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解為（　?。?br /> A．y＝3 B．y＝1 C．y＝﹣1 D．y＝﹣3
【分析】根據(jù)換元法得出y+1＝﹣2，進(jìn)而解答即可．
【答案】解：∵關(guān)于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解為x＝﹣2，
∴關(guān)于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解，y+1＝﹣2，
解得：y＝﹣3，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的解，關(guān)鍵是根據(jù)換元法解答．
【變式3-2】（秋?景德鎮(zhèn)期末）若不論k取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程（m，n是常數(shù)）的解總是x＝1，則m+n的值為（　?。?br /> A． B． C． D．﹣
【分析】把x＝1代入方程，整理后根據(jù)無論k為何值時(shí)．它的解總是x＝1，求出m與n的值即可．
【答案】解：把x＝1代入方程＝2+，得：
＝2+，
去分母，得：4k+2m＝12+1﹣nk，
即（n+4）k+2m﹣13＝0，
由無論k為何值時(shí)，方程＝2+的解總是x＝1，
得到n+4＝0，即n＝﹣4，2m﹣13＝0，即m＝，
則m+n＝+（﹣4）＝．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
【變式3-3】（2019春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）已知a為正整數(shù)，且關(guān)于x的一元一次方程ax﹣14＝x+7的解為整數(shù)，則滿足條件的所有a的值之和為（　?。?br /> A．36 B．10 C．8 D．4
【分析】依次移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，解原方程，根據(jù)“方程解為整數(shù)”，得到列出幾個(gè)關(guān)于a的一元一次方程，解之，求出a的值中找出正整數(shù)，相加求和即可得到答案．
【答案】解：ax﹣14＝x+7，
移項(xiàng)得：ax﹣x＝7+14，
合并同類項(xiàng)得：（a﹣1）x＝21，
若a＝1，則原方程可整理得：﹣14＝7，（無意義，舍去），
若a≠1，則x＝，
∵解為整數(shù)，
∴x＝1或﹣1或3或﹣3或7或﹣7或21或﹣21，
則a﹣1＝21或﹣21或7或﹣7或3或﹣3或1或﹣1，
解得：a＝22或﹣20或8或﹣6或4或﹣2或2或0，
又∵a為正整數(shù)，
∴a＝22或8或4或2，
22+8+4+2＝36，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，正確掌握解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)4 解一元一次方程】
【方法點(diǎn)撥】一元一次方程解法的一般步驟：
化簡方程----------分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)
去 分 母----------同乘（不漏乘）最簡公分母
去 括 號(hào)----------注意符號(hào)變化
移 項(xiàng)----------變號(hào)（留下靠前）
合并同類項(xiàng)--------合并后符號(hào)
系數(shù)化為1---------除前面
【例4】（2019秋?安慶期中）解方程
（1）3x﹣5（x﹣2）＝2；
（2）＝1．
【分析】（1）方程去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．
【答案】解：（1）去括號(hào)得：3x﹣5x+10＝2，
移項(xiàng)合并得：﹣2x＝﹣8，
解得：x＝4；
（2）去分母得：8x+4﹣3x+6＝12，
移項(xiàng)合并得：5x＝2，
解得：x＝．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（秋?渭濱區(qū)期末）解方程
（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x）
（2）1﹣＝
【分析】（1）方程去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．
【答案】解：（1）去括號(hào)得：x﹣2x+8＝3﹣3x，
移項(xiàng)合并得：2x＝﹣5，
解得：x＝﹣2.5；
（2）去分母得：4﹣3x+1＝6+2x，
移項(xiàng)合并得：﹣5x＝1，
解得：x＝﹣0.2．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（秋?榆次區(qū)期末）解方程：
（1）x﹣＝3
（2）
【分析】（1）方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（2）方程整理后，去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．
【答案】解：（1）去分母得：2x﹣x+1＝6，
解得：x＝5；
（2）方程整理得：5x﹣1＝，
去分母得：10x﹣2＝3﹣15x，
移項(xiàng)合并得：25x＝5，
解得：x＝0.2．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2019春?新泰市期中）解方程：
（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x
（2）y﹣＝3+
【分析】（1）依次去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可得到答案，
（2）先把原方程進(jìn)行整理，然后依次去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可得到答案．
【答案】解：（1）去括號(hào)得：x﹣3x﹣3﹣1＝2x，
移項(xiàng)得：x﹣3x﹣2x＝3+1，
合并同類項(xiàng)得：﹣4x＝4，
系數(shù)化為1得：x＝﹣1，
（2）原方程可整理得：y﹣（4y+20）＝3+，
方程兩邊同時(shí)乘以2得：2y﹣2（4y+20）＝6+（y+3），
去括號(hào)得：2y﹣8y﹣40＝6+y+3，
移項(xiàng)得：2y﹣8y﹣y＝6+3+40，
合并同類項(xiàng)得：﹣7y＝49，
系數(shù)化為1得：y＝﹣7．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，正確掌握解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)5 同解方程】
【例5】（2019秋?道里區(qū)校級(jí)月考）已知關(guān)于x的方程（2x+3）﹣3x＝和3x+2m＝6x+1的解相同，求：代數(shù)式（﹣2m）2020﹣（m﹣）2019的值．
【分析】分別求出兩個(gè)方程的解，然后根據(jù)解相同，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，再將m的值代入（﹣2m）2009﹣（m﹣）2010，計(jì)算即可求解．
【答案】解：解方程（2x+3）﹣3x＝，得：
2x+3﹣6x＝3，
∴x＝0，
∵方程（2x+3）﹣3x＝和3x+2m＝6x+1的解相同，
∴2m＝1
解得：m＝，
所以（﹣2m）2020﹣（m﹣）2019
＝（﹣2×）2020﹣（﹣）2019
＝1﹣（﹣1）
＝2．
【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是能夠求解關(guān)于x的方程，要正確理解方程解的含義．
【變式5-1】（2019秋?蕭山區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程﹣2x+a＝5的解和方程﹣2＝的解相同，求字母a的值，并寫出方程的解．
【分析】根據(jù)同解方程的定義求得a和x的值即可．
【答案】解：整理方程﹣2＝得，2x﹣3a＝17，
再與方程﹣2x+a＝5組成方程組得，
①+②得，﹣2a＝22，
解得a＝﹣11，
把a(bǔ)＝﹣11代入①得，﹣2x﹣11＝5，
解得x＝﹣8，
∴方程組的解為，
∴字母a的值為﹣11，方程的解為x＝﹣8．
【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程，掌握同解方程的定義以及二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（秋?天心區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的兩個(gè)方程2x﹣4＝6a和＝+a．
（1）用含a的式子表示方程2x﹣4＝6a的解．
（2）若方程2x﹣4＝6a與＝+a的解相同，求a的值．
【分析】（1）移項(xiàng)，系數(shù)化成1即可；
（2）先求出每個(gè)方程的解，根據(jù)已知得出關(guān)于a的方程，求出a即可．
【答案】解：（1）2x﹣4＝6a，
2x＝6a+4，
x＝3a+2；

（2）＝+a，
2x﹣2a＝x+6a，
解得：x＝8a，
∵方程2x﹣4＝6a與＝+a的解相同，方程2x﹣4＝6a的解是x＝3a+2，
∴3a+2＝8a，
解得：a＝0.4．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能求出每個(gè)方程的解是解此題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（秋?開福區(qū)校級(jí)期中）在一元一次方程中，如果兩個(gè)方程的解相同，則稱這兩個(gè)方程為同解方程；
（1）若關(guān)于x的兩個(gè)方程2x＝4與mx＝m+1是同解方程，求m的值；
（2）若關(guān)于x的兩個(gè)方程2x＝a+1與3x﹣a＝﹣2是同解方程，求a的值；
（3）若關(guān)于x的兩個(gè)方程5x+（m+1）＝mn與2x﹣mn＝﹣（m+1）是同解方程，求此時(shí)符合要求的正整數(shù)m，n的值．
【分析】（1）分別將兩個(gè)關(guān)于x的方程解出來，根據(jù)同解方程的定義，列出等式，建立一個(gè)關(guān)于m的方程，然后解答；
（2）分別將兩個(gè)關(guān)于x的方程解出來，得到兩個(gè)用含a的代數(shù)式表示的解，根據(jù)同解方程的定義，列出等式，建立一個(gè)關(guān)于a的方程，然后解答；
（3）分別求出兩個(gè)關(guān)于x的方程的解，根據(jù)同解方程的定義，列出等式，建立一個(gè)關(guān)于m，n的方程，然后解答．
【答案】解：（1）解方程2x＝4得x＝2，
把x＝2代入mx＝m+1得2m＝m+1，
解得m＝1；
（2）關(guān)于x的兩個(gè)方程2x＝a+1與3x﹣a＝﹣2得x＝，x＝，
∵關(guān)于x的兩個(gè)方程2x＝a+1與3x﹣a＝﹣2是同解方程，
∴＝，
解得a＝﹣7；
（3）解關(guān)于x的兩個(gè)方程5x+（m+1）＝mn與2x﹣mn＝﹣（m+1）得x＝，x＝，
∵關(guān)于x的兩個(gè)方程5x+（m+1）＝mn與2x﹣mn＝﹣（m+1）是同解方程，
∴＝，
∴mn﹣3m﹣3＝0，
mn＝3（m+1），
∵m，n是正整數(shù)，
∴m＝3，n＝4或m＝1，n＝6．
【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程，正確理解同解方程的定義是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)6 一元一次方程之利潤問題】
【例6】（春?山西期中）某種商品A的零售價(jià)為每件1000元，為了適應(yīng)市場競爭，商店先按零售價(jià)的九折優(yōu)惠，再讓利20元銷售，每件商品A仍可獲利10%．
（1）商品A的進(jìn)價(jià)為多少元？
（2）現(xiàn)有另一種商品B，其進(jìn)價(jià)為每件500元，每件商品B也可獲利8%，商品A和商品B共進(jìn)貨100件，若要使這100件商品共獲利6320元，則商品A，B需分別進(jìn)貨多少件？
【分析】（1）首先設(shè)進(jìn)價(jià)為每件a元，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：（1+利潤率）×進(jìn)價(jià)＝原售價(jià)×打折﹣?zhàn)尷?，代入相?yīng)數(shù)值列出方程，解方程即可；
（2）設(shè)需對(duì)商品A進(jìn)貨x件，需對(duì)商品B進(jìn)貨（100﹣x）件，根據(jù)“這100件商品共獲純利6320元”列方程求解可得．
【答案】解：（1）設(shè)這種商品A的進(jìn)價(jià)為每件a元，由題意得：
（1+10%）a＝1000×90%﹣20，
解得：a＝800，
答：這種商品A的進(jìn)價(jià)為800元；

②設(shè)需對(duì)商品A進(jìn)貨x件，需對(duì)商品B進(jìn)貨（100﹣x）件，
根據(jù)題意，得：800×10%x+500（100﹣x）×8%＝6320，
解得：x＝58，
答：需對(duì)商品A進(jìn)貨58件，需對(duì)商品B進(jìn)貨42件．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，理解題意抓準(zhǔn)相等關(guān)系并列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（秋?平度市期末）元旦期間，某商場用1400元購進(jìn)了甲、乙兩種商品，共100件，進(jìn)價(jià)分別是18元、10元．
（1）求甲、乙兩種商品各購進(jìn)了多少件？
（2）商場搞促銷活動(dòng)，若同時(shí)購買甲、乙兩種商品各1件，可享受標(biāo)價(jià)的8折優(yōu)惠，此時(shí)這兩種商品的利潤率是10%，求這兩種商品的標(biāo)價(jià)總共多少元？
【分析】（1）設(shè)甲購進(jìn)了x件，則乙購進(jìn)了（100﹣x）件，根據(jù)購進(jìn)的總錢數(shù)列出關(guān)于x的方程，解之可得；
（2）設(shè)兩種商品的標(biāo)價(jià)總共y元．由8折銷售時(shí)這兩種商品的利潤率是10%列出方程，解之可得．
【答案】解：（1）設(shè)甲購進(jìn)了x件，則乙購進(jìn)了（100﹣x）件，
由題意，得：18x+10（100﹣x）＝1400，
解得：x＝50，
100﹣x＝50，
答：甲、乙兩種商品各購進(jìn)了50件；

（2）設(shè)兩種商品的標(biāo)價(jià)總共y元．
由題意，得：（18+10）×（1+10%）＝0.8y，
解得：y＝38.5，
答：兩種商品的標(biāo)價(jià)總共38.5元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系，并據(jù)此列出方程．
【變式6-2】（秋?邗江區(qū)期末）一商店在某一時(shí)間經(jīng)銷甲、乙兩種商品，甲種商品以每件60元的價(jià)格售出，每件盈利為50%，乙種商品每件進(jìn)價(jià)50元，每件以虧損20%的價(jià)格售出
（Ⅰ）甲種商品每件進(jìn)價(jià)　 　元；乙種商品每件售價(jià)　 　元
（Ⅱ）若該商店當(dāng)時(shí)購進(jìn)甲、乙兩種商品共50件，恰好總進(jìn)價(jià)為2100元，求購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？
【分析】（1）設(shè)甲種商品每件進(jìn)價(jià)為x元，乙種商品每件售價(jià)為y元，根據(jù)售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)＝利潤，即可分別得出關(guān)于x、y的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購進(jìn)甲種商品z件，則購進(jìn)乙種商品（50﹣z）件，根據(jù)單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)，即可得出關(guān)于z的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【答案】解：（1）設(shè)甲種商品每件進(jìn)價(jià)為x元，乙種商品每件售價(jià)為y元，
根據(jù)題意得：60﹣x＝50%x，y﹣50＝﹣20%×50，
解得：x＝40，y＝40．
故答案為：40；40．
（2）設(shè)購進(jìn)甲種商品z件，則購進(jìn)乙種商品（50﹣z）件，
根據(jù)題意得：40z+50（50﹣z）＝2100，
解得：z＝40，
∴50﹣z＝50﹣40＝10．
答：購進(jìn)甲種商品40件，購進(jìn)乙種商品10件．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（秋?廈門期末）2019年某商場于元旦之際開展優(yōu)惠促銷活動(dòng)回饋新老客戶，由顧客抽獎(jiǎng)決定折扣．某顧客購買甲、乙兩種商品，分別抽到六折（按原價(jià)的60%支付）和八折（按原價(jià)的80%支付），共支付408元，其中甲種商品原價(jià)400元．
（1）請(qǐng)問乙種商品原價(jià)是多少元？
（2）在本次買賣中，甲種商品最終虧損m%，乙種商品最終盈利2m%，但商場不盈不虧，請(qǐng)問甲種商品的成本是多少元？虧損多少元？
【分析】（1）設(shè)乙商品原價(jià)為x元，根據(jù)購買甲、乙兩種商品，分別抽到六折（按原價(jià)的60%支付）和八折（按原價(jià)的80%支付），共支付408元，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)甲商品的成本是y元，則乙商品的成本是（408﹣y）元，根據(jù)甲、乙商品的盈虧情況，即可得到m%y＝2m%（408﹣y），通過解方程求得答案．
【答案】解：（1）設(shè)乙商品原價(jià)為x元，
由題意，得 400×0.6+0.8x＝408
解得：x＝210
答：原價(jià)為210元；

（2）設(shè)甲商品的成本是y元，則乙商品的成本是（408﹣y）元．
由題意，得 m%y＝2m%（408﹣y）
解得：y＝272
272﹣240＝32（元）
答：甲商品的成本是272元，虧損32元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)7 一元一次方程之工程問題】
【例7】（2019秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）為慶祝建國七十周年，南崗區(qū)準(zhǔn)備對(duì)某道路工程進(jìn)行改造，若請(qǐng)甲工程隊(duì)單獨(dú)做此工程需4個(gè)月完成，若請(qǐng)乙工程隊(duì)單獨(dú)做此工程需6個(gè)月完成，若甲、乙兩隊(duì)合作2個(gè)月后，甲工程隊(duì)到期撤離，則乙工程隊(duì)再單獨(dú)需幾個(gè)月能完成？
【分析】由題意甲工程隊(duì)單獨(dú)做此工程需4個(gè)月完成，則知道甲每個(gè)月完成，乙工程隊(duì)單獨(dú)做此工程需6個(gè)月完成，當(dāng)兩隊(duì)合作2個(gè)月時(shí)，共完成（2×+），設(shè)乙工程隊(duì)再單獨(dú)做此工程需x個(gè)月能完成，則根據(jù)等量關(guān)系甲完成的+乙完成的＝整個(gè)工程，列出方程式即可．
【答案】解：設(shè)乙工程隊(duì)再單獨(dú)需x個(gè)月能完成，
由題意，得2×++x＝1．
解得x＝1．
答：乙工程隊(duì)再單獨(dú)需1個(gè)月能完成．
【點(diǎn)睛】考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，得到等量關(guān)系并列出方程．
【變式7-1】（2019秋?道里區(qū)校級(jí)月考）由于地鐵施工，需要拆除我校圖書館，七年級(jí)同學(xué)主動(dòng)承擔(dān)圖書館整理圖書的任務(wù)，如果由一個(gè)人單獨(dú)做要用30小時(shí)完成，現(xiàn)先安排一部分人用1小時(shí)整理，隨后又增加6人和他們一起又做了2小時(shí)，恰好完成整理工作，假設(shè)每個(gè)人的工作效率相同，那么先按排整理的人員有多少？
【分析】設(shè)先安排整理的人員有x人，根據(jù)工作效率×工作時(shí)間×工作人數(shù)＝工作總量結(jié)合題意，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【答案】解：設(shè)先安排整理的人員有x人，
根據(jù)題意得：x+×2（x+6）＝1，
解得：x＝6．
答：先安排整理的人員有6人．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（秋?開福區(qū)校級(jí)期末）某廠接到長沙市一所中學(xué)的冬季校服訂做任務(wù)，計(jì)劃用A、B兩臺(tái)大型設(shè)備進(jìn)行加工．如果單獨(dú)用A型設(shè)備需要90天做完，如果單獨(dú)用B型設(shè)各需要60天做完，為了同學(xué)們能及時(shí)領(lǐng)到冬季校服，工廠決定由兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)趕制．
（1）兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)加工，共需多少天才能完成？
（2）若兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)加工30天后，B型設(shè)備出了故障，暫時(shí)不能工作，此時(shí)離發(fā)冬季校服時(shí)間還有13天．如果由A型設(shè)備單獨(dú)完成剩下的任務(wù)，會(huì)不會(huì)影響學(xué)校發(fā)校服的時(shí)間？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．
【分析】（1）設(shè)共需x天才能完成，依題意得（+）x＝1，解方程即可；
（2）設(shè)由A型設(shè)備單獨(dú)完成剩下的任務(wù)需要y天才能完成，依題意得（+）×30+＝1，求解并與13天進(jìn)行比較即可．
【答案】解：（1）設(shè)共需x天才能完成，
根據(jù)題意得：（+）x＝1，
解得x＝36，
答：兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)加工，共需36天才能完成；

（2）由A型設(shè)備單獨(dú)完成剩下的任務(wù)需要y天才能完成，
依題意得：（+）×30+＝1，
解得 y＝15＞13
答：會(huì)影響學(xué)校發(fā)校服的時(shí)間．
【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是要掌握工作量的有關(guān)公式：工作總量＝工作時(shí)間×工作效率．
【變式7-3】（秋?道里區(qū)期末）一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)完成需要80天，乙隊(duì)單獨(dú)完成需要120天．
（1）求甲，乙兩隊(duì)每天的工作量之比；
（2）若甲隊(duì)每天比乙隊(duì)多筑路50米，求這項(xiàng)工程共需筑路多少米？
（3）在（2）的條件下，甲，乙兩隊(duì)合作12天；12天后，乙隊(duì)引進(jìn)先進(jìn)設(shè)備提高了筑路速度，甲隊(duì)因部分工人另有任務(wù)，筑路速度為原來的，當(dāng)兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工程的時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少筑路，求提速后的乙隊(duì)每天比甲隊(duì)原來每天多筑路百分之幾？
【分析】（1）根據(jù)兩隊(duì)所用時(shí)間之比求工作量之比；
（2）設(shè)乙隊(duì)每天修x米路，則甲每天修（x+50）米路，根據(jù)路程不變列出方程并解答；
（3）由（2）知，甲隊(duì)每天筑路150米，乙隊(duì)每天筑路100米． 根據(jù)總的工作量，工作時(shí)間以及工作效率間的關(guān)系解答．
【答案】解：（1）甲，乙兩隊(duì)的筑路時(shí)間之比為80：120＝2：3．
所以甲，乙兩隊(duì)每天筑路工作量之比3：2；

（2）設(shè)乙隊(duì)每天修x米路，則甲每天修（x+50）米路，
依題意得：80（x+50）＝120x
解得：x＝100．
故120x＝12 000（米）．
這項(xiàng)工程共需筑路12 000米；

（3）由（2）知，甲隊(duì)每天筑路150米，乙隊(duì)每天筑路100米．
兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工作的時(shí)，乙隊(duì)完成（12000×）÷（1+1﹣）＝3600（米）
兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工作的時(shí)，甲隊(duì)完成12000×﹣3600＝2400（米）
甲隊(duì)部分工人完成另外任務(wù)到兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工作的一半甲隊(duì)筑路
（2400﹣12×150）÷（150×）＝10（天）
乙隊(duì)提速后每天筑路（3600﹣12×100）÷10＝240（米）
提速后的乙隊(duì)每天比甲隊(duì)原來每天多筑路（240﹣150）÷150＝60%．
提速后的乙隊(duì)每天比甲隊(duì)原來每天多筑路60%．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，利用總工作量為1得出等式方程是解決問題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)8 一元一次方程之行程問題】
【例8】（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）甲、乙兩人騎自行車分別從相距36km的兩地勻速同向而行，如果甲比乙先出發(fā)半小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)后經(jīng)3小時(shí)甲追上乙；如果乙比甲先出發(fā)1小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)后經(jīng)5小時(shí)甲才能追上乙．請(qǐng)問：甲、乙兩人騎自行車每小時(shí)各行多少千米？
【分析】設(shè)甲騎自行車每小時(shí)行x千米，則乙騎自行車每小時(shí)行（x﹣12）千米，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，即可得出關(guān)于x的一元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
【答案】解：設(shè)甲騎自行車每小時(shí)行x千米，乙騎自行車每小時(shí)行（x﹣12）千米，依題意得：
5x﹣（5+1）（x﹣12）＝36，
解得：x＝18，
x﹣12＝21﹣12＝9．
答：甲騎自行車每小時(shí)行18千米，乙騎自行車每小時(shí)行9千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2019秋?朝陽區(qū)校級(jí)月考）A、B兩地相距1000千米，甲列車從A地開往B地；2小時(shí)后，乙列車從B地開往A地，經(jīng)過4小時(shí)與甲列車相遇．已知甲列車比乙列車每小時(shí)多行50千米．甲列車每小時(shí)行多少千米？
【分析】本題可列方程解答，設(shè)甲車每小時(shí)行x千米，則乙車每小時(shí)行（x﹣50）千米．根據(jù)總行程是1000千米列出方程4（x﹣50+x）+2x＝1000．解此方程即可．
【答案】解：設(shè)甲列車每小時(shí)行x千米，可得：
4（x﹣50+x）+2x＝1000．
4x﹣200+4x+2x＝1000，
10x＝1200，
x＝120．
答：甲車每小時(shí)行120千米
【點(diǎn)睛】考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，列出方程并解答．
【變式8-2】（2019春?南關(guān)區(qū)校級(jí)月考）A、B兩地相距480km，C地在A、B兩地之間．一輛轎車以100km/h的速度從A地出發(fā)勻速行駛，前往B地．同時(shí)，一輛貨車以80km/h的速度從B地岀發(fā)，勻速行駛，前往A地．
（1）當(dāng)兩車相遇時(shí)，求轎車行駛的時(shí)間；
（2）當(dāng)兩車相距120km時(shí)，求轎車行駛的時(shí)間；
（3）若轎車到達(dá)B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次經(jīng)過C地，兩次經(jīng)過C地的時(shí)間間隔為2.2h，求C地距離A地路程．
【分析】（1）可設(shè)兩車相遇時(shí)，轎車行駛的時(shí)間為t小時(shí)，當(dāng)兩車相遇時(shí)，兩車行駛路程之和為480km，列一元一次方程即可；
（2）可設(shè)兩車相距120km時(shí)，轎車行駛的時(shí)間x小時(shí)，分類討論：相遇前和相遇后兩車相距120km，列一元一次方程即可；
（3）可設(shè)C地距離B地路程為ykm，根據(jù)兩次經(jīng)過C地的時(shí)間間隔為2.2h列一元一次方程即可，再用總路程減去CB即可．
【答案】解：（1）設(shè)兩車相遇時(shí)，轎車行駛的時(shí)間為t小時(shí)，由題意可得
100t+80t＝480
解得t＝
答：兩車相遇時(shí)，轎車行駛的時(shí)間為小時(shí)．

（2）設(shè)兩車相距120km時(shí)，轎車行駛的時(shí)間x小時(shí)，由題意可以分相遇前和相遇后兩種情況．
①相遇前兩車相距120km時(shí)，有100t+80t＝480﹣120
解得t＝2
②相遇后兩車相距120km時(shí)，有100t+80t＝480+120
解得t＝
答：當(dāng)轎車行駛2小時(shí)或小時(shí)，兩車相距120km．

（3）設(shè)C地距離B地路程為ykm，由題意可得
+＝2.2
解得y＝120，即C地距離B地路程為120km
而A、B兩地相距480km，
所以AC＝480﹣120＝360（km）
答：A、C兩地的路程為360km．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用中的行程問題，根據(jù)等量關(guān)系正確列出一元一次方程是解決問題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）甲、乙兩汽車從A市出發(fā)，丙汽車從B市出發(fā)，甲車每小時(shí)行駛40千米，乙車每小時(shí)行駛45千米，丙車每小時(shí)行駛50千米．如果三輛汽車同時(shí)相向而行，丙車遇到乙車后10分鐘才能遇到甲車，問何時(shí)甲丙兩車相距15千米？
【分析】設(shè)t小時(shí)后乙、丙兩汽車相遇，則甲、丙所行駛的路程＝乙、丙所行駛的路程．通過方程求得A、B兩市的距離，然后分兩種情況解答：相遇前、后相距15千米．
【答案】解：設(shè)t小時(shí)后乙、丙兩汽車相遇，則
（50+45）t＝（40+50）（t+），
解得 t＝3．
故（50+45）t＝95×3＝285（千米）．
即：A、B兩市的距離是285千米．
設(shè)x小時(shí)甲、丙兩車相距15千米．
①當(dāng)甲、丙兩車相遇前相距15千米，
由題意，得（40+50）x＝285﹣15
解得x＝3．
②當(dāng)甲、丙兩車相遇后相距15千米，
由題意，得（40+50）x＝285+15
解得x＝．
綜上所述，3或小時(shí)后，甲丙兩車相距15千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．
【考點(diǎn)9 一元一次方程之方案設(shè)計(jì)問題】
【例9】（秋?南昌縣期末）東方風(fēng)景區(qū)的團(tuán)體參觀門票價(jià)格規(guī)定如下表：
購票人數(shù)
1～50
51～100
101～150
150以上
價(jià)格（元/人）
5
4.5
4
3.5
某校七年級(jí)（1）班和（2）班共104人去東方風(fēng)景區(qū)，當(dāng)兩班都以班為單位分別購票時(shí)，則一共需付492元．
（1）你認(rèn)為有更省錢的購票方式嗎？如果有，能節(jié)省多少元？
（2）若（1）班人數(shù)多于（2）班人數(shù)，求（1）（2）班的人數(shù)各是多少？
（3）若七年級(jí)（3）班45人也一同前去參觀時(shí)，如何購票顯得更為合理？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種更省錢的方案，并求出七年級(jí)3個(gè)班共需多少元？
【分析】（1）最節(jié)約的辦法就是團(tuán)體購票，節(jié)省的錢＝492﹣團(tuán)體票價(jià)；
（2）主要考慮有兩種情況，分別計(jì)算，不符合的情況舍去就可以了；
（3）還是采用團(tuán)體購票，總?cè)藬?shù)是149，在102﹣150之間，總票價(jià)＝總?cè)藬?shù)×單位票價(jià)．
【答案】解：（1）當(dāng)兩班合起來購票時(shí)，需104×4＝416元，
可節(jié)省492﹣416＝76元．
（2）由104×5＝520＞492，104×4.5＝468＜492，
知（1）班人數(shù)大于52，（2）班人數(shù)小于52，
設(shè)（1）班有x人，（2）班有（104﹣x）人，
當(dāng)104﹣x＝51時(shí)，x＝53，這104×4.5≠492，顯然x≠53，
當(dāng)104﹣x＜51時(shí)，
則由題意，得4.5x+5（104﹣x）＝492，
解得x＝56，∴104﹣x＝48，
∴（1）班有56人，（2）班有48人．
（3）3個(gè)班共有149人，按149人購票，需付購票費(fèi)149×4＝596元，
但按151人購票，需付151×3.5＝528.5元，
∵528.5＜596，
∴3個(gè)班按151人購票更省錢，共需528.5元．
【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的應(yīng)用，主要是找準(zhǔn)確等量關(guān)系，要注意考慮全面，購票最省錢的辦法就是團(tuán)體購票．
【變式9-1】（2019春?松江區(qū)期中）某家電商場計(jì)劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)50臺(tái)電視機(jī)．已知該廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為A種每臺(tái)1500元，B種每臺(tái)2100元，C種每臺(tái)2500元．
（1）若家電商場同時(shí)購進(jìn)A、B兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬元，求商場購進(jìn)這兩種型號(hào)的電視機(jī)各多少臺(tái)？
（2）若商場銷售一臺(tái)A種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺(tái)B種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺(tái)C種電視機(jī)可獲利250元．該家電商場用9萬元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，為了使銷售時(shí)獲利最多，該家電商場應(yīng)該購買哪兩種型號(hào)的電視機(jī)？分別購進(jìn)多少臺(tái)？
【分析】（1）本題的等量關(guān)系是：兩種電視的臺(tái)數(shù)和＝50臺(tái)，買兩種電視花去的費(fèi)用＝9萬元．然后分進(jìn)的兩種電視是A、B，A、C，B、C三種情況進(jìn)行討論．求出正確的方案；
（2）根據(jù)（1）得出的方案，分別計(jì)算出各方案的利潤，然后判斷出獲利最多的方案．
【答案】解：
（1）設(shè)購A種電視機(jī)x臺(tái)，則購B種電視機(jī)購（50﹣x）臺(tái)．
1500x+2100（50﹣x）＝90000
即5x+7（50﹣x）＝300
2x＝50
x＝25
50﹣x＝25．
答：購A、B兩種電視機(jī)各25臺(tái)．

（2）按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機(jī)這三種方案分別計(jì)算：
設(shè)購A種電視機(jī)x臺(tái)，則B種電視機(jī)y臺(tái)
①當(dāng)選購A，B兩種電視機(jī)時(shí)，設(shè)購A種電視機(jī)x臺(tái)，購B種電視機(jī)（50﹣x）臺(tái)，
可得方程1500x+2100（50﹣x）＝90000 即5x+7（50﹣x）＝300 2x＝50 x＝25 50﹣x＝25
②當(dāng)選購A，C兩種電視機(jī)時(shí)，設(shè)購A種電視機(jī)x臺(tái)，購C種電視機(jī)（50﹣x）臺(tái)，
可得方程1500x+2500（50﹣x）＝90000
3x+5（50﹣x）＝180
x＝35
50﹣x＝15
③當(dāng)購B，C兩種電視機(jī)時(shí)，設(shè)購B種電視機(jī)y臺(tái)，購C種電視機(jī)為（50﹣y）臺(tái)，可得方程
2100y+2500（50﹣y）＝90000
21y+25（50﹣y）＝900，4y＝350，不合題意．
由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機(jī)各25臺(tái)；
二是購A種電視機(jī)35臺(tái)，C種電視機(jī)15臺(tái)．
若選擇（1）中的方案①，可獲利 150×25+200×25＝8750（元）
若選擇（1）中的方案②，可獲利 150×35+250×15＝9000（元）
9000＞8750 故為了獲利最多，選擇購A種電視機(jī)35臺(tái)，C種電視機(jī)15臺(tái)．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系：兩種電視的臺(tái)數(shù)和＝50臺(tái)，買兩種電視花去的費(fèi)用＝9萬元．列出方程，再求解．
【變式9-2】（秋?競秀區(qū)期末）某?；@球社團(tuán)決定購買運(yùn)動(dòng)裝備，經(jīng)了解，甲、乙兩家運(yùn)動(dòng)產(chǎn)品經(jīng)銷店以同樣的價(jià)格出售某種品牌的隊(duì)服和籃球，已知每套隊(duì)服比每個(gè)籃球多50元，兩套隊(duì)服與三個(gè)籃球的費(fèi)用相等．經(jīng)洽談，甲店的優(yōu)惠方案是：每購買十套隊(duì)服，送一個(gè)籃球，乙店的優(yōu)惠方案是：若購買隊(duì)服超過80套，則購買籃球打八折．
（1）求每套隊(duì)服和每個(gè)籃球的價(jià)格是多少？
（2）若籃球社團(tuán)購買100套隊(duì)服和m個(gè)籃球（m是大于10的整數(shù)），請(qǐng)用含m的式子分別表示出到甲經(jīng)銷店和乙經(jīng)銷店購買裝備所花的費(fèi)用；
（3）在（2）的條件下，若m＝60，通過計(jì)算判斷到甲、乙哪家經(jīng)銷店購買更劃算．
【分析】（1）設(shè)每個(gè)籃球的定價(jià)是x元，則每套隊(duì)服是（x+50）元，根據(jù)兩套隊(duì)服與三個(gè)籃球的費(fèi)用相等列出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)甲、乙兩經(jīng)銷店的優(yōu)惠方案即可求解；
（3）把m＝60代入（2）中所列的代數(shù)式，分別求得在兩個(gè)經(jīng)銷店購買所需要的費(fèi)用，然后通過比較得到結(jié)論：在甲經(jīng)銷店購買比較合算．
【答案】解：（1）設(shè)每個(gè)籃球的價(jià)格為x元，則每套隊(duì)服的價(jià)格為（x+50）元，
根據(jù)題意得：2（x+50）＝3x，
解得：x＝100，
∴x+50＝150．
答：每套隊(duì)服的價(jià)格為150元，每個(gè)籃球的價(jià)格為100元．

（2）到甲經(jīng)銷店購買所花的費(fèi)用為：150×100+100（m﹣）＝100m+14000（元），
到乙經(jīng)銷店購買所花的費(fèi)用為：150×100+0.8×100?m＝80m+15000（元）．


（3）在甲經(jīng)銷店購買比較合算，理由如下：
將m＝60代入，得
100m+14000＝100×60+14000＝20000（元）．
80m+15000＝80×100+15000＝23000（元），
因?yàn)?3000＞20000，
所以在甲經(jīng)銷店購買比較合算．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．
【變式9-3】（秋?寶應(yīng)縣期末）我縣盛產(chǎn)綠色蔬菜，生產(chǎn)銷售一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為80元，經(jīng)粗加工銷售，每噸利潤可達(dá)200元，經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至2500元．我縣一家農(nóng)工商公司采購這種蔬菜若干噸生產(chǎn)銷售，若單獨(dú)進(jìn)行精加工，需要30天才能完成，若單獨(dú)進(jìn)行粗加工，需要20天才能完成．已知每天單獨(dú)粗加工比單獨(dú)精加工多生產(chǎn)10噸．
（1）試問這家農(nóng)工商公司采購這種蔬菜共多少噸？
（2）由于兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行受季節(jié)條件限制，公司必須在24天內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此該公司研制了三種可行方案：
方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工；
方案二：盡可能多的對(duì)蔬菜進(jìn)行精加工，沒有來得及進(jìn)行加工的蔬菜，在市場上直接銷售；
方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬菜進(jìn)行粗加工，并恰好24天完成，你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．
【分析】（1）設(shè)這家農(nóng)工商公司采購這種蔬菜共x噸，根據(jù)每天單獨(dú)粗加工比單獨(dú)精加工多生產(chǎn)10噸列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；
（2）分別求出三種方案的利潤，比較即可得到結(jié)果．
【答案】解：（1）設(shè)這家農(nóng)工商公司采購這種蔬菜共x噸，
根據(jù)題意得：＝﹣10，
解得：x＝600，
x÷30＝600÷30＝20，x÷20＝600÷20＝30，
則這家農(nóng)工商公司采購這種蔬菜600噸；
（2）方案一：24×30＝720＞600，
∴600×80＝48000（元）；
方案二：精加工：24×20＝480（噸），粗加工：600﹣48＝120（噸），
∴480×2500+120×80＝1200000+9600＝1209600（元）；
方案三：設(shè)精加工x噸，則粗加工（600﹣x）噸，
根據(jù)題意得：+＝24，
解得：x＝240，
600﹣x＝600﹣240＝360，
∴240×2500+360×200＝672000（元），
∴1209600＞672000＞48000，
∴選方案三．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)10 一元一次方程之?dāng)?shù)軸動(dòng)點(diǎn)問題】
【例10】（2019秋?江漢區(qū)期中）如圖在以點(diǎn)O為原點(diǎn)的數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是3，點(diǎn)B在原點(diǎn)的左側(cè)，且AB＝6AO（我們把數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離用表示兩點(diǎn)的大寫字母一起標(biāo)記，比如，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離記作AB）．
（1）B點(diǎn)表示的數(shù)是　 ?。?br /> （2）若動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度勻速向左運(yùn)動(dòng)，問經(jīng)過幾秒鐘后PA＝3PB？并求出此時(shí)P點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)；
（3）若動(dòng)點(diǎn)M、P、N分別同時(shí)從A、O、B出發(fā)，勻速向右運(yùn)動(dòng)，其速度分別為1個(gè)單位長度/秒、2個(gè)單位長度/秒、4個(gè)單位長度/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)直接寫出PM、PN、MN中任意兩個(gè)相等時(shí)的時(shí)間．

【分析】（1）由OA＝3，得出AB＝6AO＝18，OB＝AB﹣OA＝15，即可得出結(jié)果；
（2）設(shè)經(jīng)過x秒鐘后PA＝3PB，則PA＝2x+3，PB＝AB﹣PA＝15﹣2x，由題意得2x+3＝3（15﹣2x），解得x＝，則PO＝2×＝；
（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PM＝PN，則15﹣t+2t＝4t+3﹣2t，解得t＝12．
【答案】解：（1）∵點(diǎn)A表示的數(shù)是3，
∴OA＝3，
∴AB＝6AO＝18，
∴OB＝AB﹣OA＝15，
∵點(diǎn)B在原點(diǎn)的左側(cè)，
∴B點(diǎn)表示的數(shù)是﹣15；
故答案為：﹣15；
（2）設(shè)經(jīng)過x秒鐘后PA＝3PB，
則PA＝2x+3，PB＝AB﹣PA＝18﹣（2x+3）＝15﹣2x，
由題意得：2x+3＝3（15﹣2x），
解得：x＝，
∴PO＝2×＝，
即經(jīng)過秒鐘后PA＝3PB，此時(shí)P點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣；
（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PM＝PN，
則15﹣t+2t＝4t+3﹣2t，
解得：t＝12，
∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12秒時(shí)，PM＝PN．
【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題和數(shù)軸等知識(shí)；正確理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2019秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)軸上的A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)數(shù)字a、b，且a、b滿足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0

（1）直接寫出a、b的值；
（2）P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PA＝3PB時(shí)，求P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和P表示的數(shù)；
（3）數(shù)軸上還有一點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為36，若點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)．以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C立即返回再沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)當(dāng)PQ＝10時(shí)，求P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)未知數(shù)列方程即可求解；
（3）利用P點(diǎn)和Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況借助數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離列方程即可求解．
【答案】解：（1）∵|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0
∴4a﹣b＝0，a﹣4＝0，
解得a＝4，b＝16．
答：a、b的值為4、16．
（2）設(shè)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1秒，P表示的數(shù)為x．
根據(jù)題意，得
①當(dāng)P點(diǎn)在A、B之間時(shí)，
x﹣4＝3（16﹣x）
解得x＝13．
3t1＝x﹣4＝13﹣4＝9
∴t1＝3．
②當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，
x﹣4＝3（x﹣6），解得x＝22，
∴3t1＝x﹣4＝18，∴t1＝6
答：P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3或6秒，P表示的數(shù)為13或22．
（3）設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2秒，則P對(duì)應(yīng)的數(shù)為（t2+10）．
根據(jù)題意，得
t2+10+3t2﹣32＝36﹣16
解得t2，
t2+10．
答：P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)兩點(diǎn)間距離找等量關(guān)系．
【變式10-2】（2019秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，且a，b滿足|a+8|+（b﹣6）2＝0．
（1）A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a＝　 　b＝　 　
（2）若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合．則原點(diǎn)O與數(shù)　 　表示的點(diǎn)重合：
（3）若點(diǎn)A，B分別以4個(gè)單位/秒和2個(gè)單位/秒的速度相向面行，則幾秒后A，B兩點(diǎn)相距2個(gè)單位長度？
（4）若點(diǎn)A，B以（3）中的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從原點(diǎn)O以7個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)問：在運(yùn)動(dòng)過程中，AP+2OB﹣OP的值是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)用t表示這個(gè)值：若不變．請(qǐng)求出這個(gè)定值．

【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性和為0求出a、b；
（2）計(jì)算點(diǎn)A點(diǎn)B間的距離找到折疊點(diǎn)表示的數(shù)，確定與點(diǎn)O重合的點(diǎn)表示的數(shù)；
（3）法一：分類討論，根據(jù)相遇問題列方程解題；
法二；根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式解題；
（4）設(shè)t秒后AP+2OB﹣OP為定值，計(jì)算AP+2OB﹣OP，確定t的值及定值．
【答案】解：（1）∵|a+8|+（b﹣6）2＝0，
∴|a+8|＝0，（b﹣6）2＝0，
即a＝﹣8，b＝6．
故答案為：﹣8，6；

（2）∵|AB|＝6﹣（﹣8）＝14，＝7，
∴點(diǎn)A、點(diǎn)B距離折疊點(diǎn)都是7個(gè)單位
∴原點(diǎn)O與數(shù)﹣2表示的點(diǎn)重合．
故答案為：﹣2．

（3）法一：分兩種情況討論：設(shè)x秒后A，B兩點(diǎn)相距2個(gè)單位長度．
①A，B兩點(diǎn)相遇前相距2個(gè)單位長度，則4x+2x＝6﹣（﹣8）﹣2
解得：x＝2
②A，B兩點(diǎn)相遇后相距2個(gè)單位長度，則4x+2x＝6﹣（﹣8）+2
解得：x＝
答：經(jīng)過2秒或秒后，A，B兩點(diǎn)相距2個(gè)單位長度．
法二：設(shè)x秒后A，B兩點(diǎn)相距2個(gè)單位長度．
此時(shí)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣8+4x，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為6﹣2x，則：|（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）|＝2即：（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）＝2或（﹣8+4x）﹣（6﹣2x）＝﹣2；
解得：x＝或x＝2
答：經(jīng)過2秒或秒后，A，B兩點(diǎn)相距2個(gè)單位長度．

（4）在運(yùn)動(dòng)過程中，AP+2OB﹣OP的值不會(huì)發(fā)生變化．
由題意可知：t秒后，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣8+4t，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為6+2t，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)7t，則：AP＝7t﹣（﹣8+4t）＝3t+8，OB＝6+2t，OP＝7t，
所以AP+2OB﹣OP＝（3t+8）+2（6+2t）﹣7t＝3t+8+12+4t﹣7t＝20．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離．題目綜合性較強(qiáng)，難度較大．解決（1）需利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解決（3）注意分類思想的運(yùn)用，解決（4）利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式．
【變式10-3】（秋?永新縣期末）【新定義】：A、B、C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到A的距離是點(diǎn)C到B的距離的3倍，我們就稱點(diǎn)C是【A，B】的幸運(yùn)點(diǎn)．
【特例感知】
（1）如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)為3．表示2的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是3，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是【A，B】的幸運(yùn)點(diǎn)．
①【B，A】的幸運(yùn)點(diǎn)表示的數(shù)是　 ?。?br /> A．﹣1； B.0； C.1； D.2
②試說明A是【C，E】的幸運(yùn)點(diǎn)．
（2）如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)N所表示的數(shù)為4，則【M，N】的幸運(yùn)點(diǎn)表示的數(shù)為　 ?。?br />
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，A、B為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)A所表示的數(shù)為﹣20，點(diǎn)B所表示的數(shù)為40．現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)B出發(fā)，以3個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A停止．當(dāng)t為何值時(shí)，P、A和B三個(gè)點(diǎn)中恰好有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的幸運(yùn)點(diǎn)？

【分析】（1）①由題意可知，點(diǎn)0到B是到A點(diǎn)距離的3倍；②由數(shù)軸可知，AC＝3，AE＝1，可得AC＝3AE；
（2）設(shè)【M，N】的幸運(yùn)點(diǎn)為P，T表示的數(shù)為p，由題意可得|p+2|＝3|p﹣4|，求解即可；
（3）由題意可得，BP＝3t，AP＝60﹣3t，分四種情況討論：①當(dāng)P是【A，B】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，PA＝3PB②當(dāng)P是【B，A】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，PB＝3PA③當(dāng)A是【B，P】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，AB＝3PA，④當(dāng)B是【A，P】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，AB＝3PB．
【答案】解：（1）①由題意可知，點(diǎn)0到B是到A點(diǎn)距離的3倍，
即EA＝1，EB＝3，
故選B．
②由數(shù)軸可知，AC＝3，AE＝1，
∴AC＝3AE，
∴A是【C，E】的幸運(yùn)點(diǎn)．
（2）設(shè)【M，N】的幸運(yùn)點(diǎn)為P，T表示的數(shù)為p，
∴PM＝3PN，
∴|p+2|＝3|p﹣4|，
∴p+2＝3（p﹣4）或p+2＝﹣3（p﹣4），
∴p＝7或p＝2.5；
故答案為7或2.5；
（3）由題意可得，BP＝3t，AP＝60﹣3t，
①當(dāng)P是【A，B】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，PA＝3PB，
∴60﹣3t＝3×3t，
∴t＝5；
②當(dāng)P是【B，A】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，PB＝3PA，
∴3t＝3×（60﹣3t），
∴t＝15；
③當(dāng)A是【B，P】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，AB＝3PA，
∴60＝3（60﹣3t）
∴t＝；
④當(dāng)B是【A，P】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，AB＝3PB，
∴60＝3×3t，
∴t＝；
∴t為5秒，15秒，秒，秒時(shí)，P、A、B中恰好有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的幸運(yùn)點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次反方程的應(yīng)用；能夠理解題意，將所求問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸與絕對(duì)值、數(shù)軸與一次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

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