2021版高考數(shù)學(xué)蘇教版一輪教師用書：2.5冪函數(shù)與二次函數(shù)

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第五節(jié)　冪函數(shù)與二次函數(shù)
[最新考綱]　1.(1)了解冪函數(shù)的概念；(2)結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的圖象，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題．


1．冪函數(shù)
(1)冪函數(shù)的定義
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．
(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較
函數(shù)
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
圖象





性質(zhì)
定義域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
非奇非偶
函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在R上單
調(diào)遞增
在(－∞，
0]上單調(diào)遞減；
在(0，＋∞)
上單調(diào)遞增
在R上單調(diào)遞增
在[0，＋∞)上單調(diào)遞增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減
公共點
(1,1)
2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c
(a＞0)
f(x)＝ax2＋bx＋c
(a＜0)
圖象


定義域
R
R
值域


單調(diào)性
在x∈上單調(diào)遞減；
在x∈上單調(diào)遞增
在x∈上單調(diào)遞增；
在x∈上單調(diào)遞減
對稱性
函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱

1．冪函數(shù)y＝xα性質(zhì)研究的方法
(1)先確定冪函數(shù)的定義域(分數(shù)指數(shù)冪先轉(zhuǎn)化為根式)，若對稱，判定其奇偶性；
(2)研究冪函數(shù)在第一象限的圖象與性質(zhì)：
①當α＞0時，函數(shù)y＝xα恒經(jīng)過(0,0)，(1,1)；在[0，＋∞)上為增函數(shù)；
②當α＜0時，函數(shù)恒經(jīng)過(1,1)；在(0，＋∞)上為減函數(shù)；
(3)結(jié)合函數(shù)的奇偶性研究其它象限的圖象．
(4)當x∈(0,1)時，α越大，函數(shù)值越小；當x∈(1，＋∞)時，α越大，函數(shù)值越大．
2．二次函數(shù)解析式的三種形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．一元二次不等式恒成立的條件
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要條件是“a＞0且Δ＜0”；
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要條件是“a＜0且Δ＜0”．

一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)y＝2x是冪函數(shù)． (　　)
(2)如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點．
(　　)
(3)當α＜0時，冪函數(shù)y＝xα是定義域上的減函數(shù)． (　　)
(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.
(　　)
(5)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函數(shù)． (　　)
(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大?。? (　　)
[答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
二、教材改編
1．已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點，則k＋α＝(　　)
A.　　　　B．1　　　　C.　　　　D．2
C　[因為函數(shù)f(x)＝k·xα是冪函數(shù)，所以k＝1，又函數(shù)f(x)的圖象過點，所以＝，解得α＝，則k＋α＝.]
2.如圖是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的圖象，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)

A．c＜b＜a
B．a(chǎn)＜b＜c
C．b＜c＜a
D．a(chǎn)＜c＜b
D　[根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可知選D.]
3．已知函數(shù)f(x)＝x2＋4ax在區(qū)間(－∞，6)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是(　　)
A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≤3
C．a(chǎn)＜－3 D．a(chǎn)≤－3
D　[函數(shù)f(x)＝x2＋4ax的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是x＝－2a，由函數(shù)在區(qū)間(－∞，6)內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間(－∞，6)應(yīng)在直線x＝－2a的左側(cè)，所以－2a≥6，解得a≤－3，故選D.]
4．函數(shù)g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________．
[－1,3]　[∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，
∴當x＝1時，g(x)min＝g(1)＝－1，
又g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3，
∴g(x)max＝3，
即g(x)的值域為[－1,3]．]

考點1　冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)
　冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關(guān)系
(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式．
(2)判斷冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的奇偶性時，當α是分數(shù)時，一般將其先化為根式，再判斷．
(3)若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α＞0，若在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α＜0.
　1.冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(3，)，則f(x)是(　　)
A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)
B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)
C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)
D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)
D　[設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，則f(3)＝3α＝，解得α＝，則f(x)＝x＝，是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)．]
2．當x∈(0，＋∞)時，冪函數(shù)y＝(m2＋m－1)x－5m－3為減函數(shù)，則實數(shù)m的值為(　　)
A．－2　　　　　　　 B．1
C．1或－2 D．m≠
B　[因為函數(shù)y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是冪函數(shù)又是(0，＋∞)上的減函數(shù)，
所以
解得m＝1.]
3．若a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　)
A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
D　[因為y＝x在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以a＝＞b＝，因為y＝x是減函數(shù)，
所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c.]
4．若(a＋1)＜(3－2a)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
　[易知函數(shù)y＝x的定義域為[0，＋∞)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
所以解得－1≤a＜.]
　在比較冪值的大小時， 必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，如T3.
考點2　求二次函數(shù)的解析式
　求二次函數(shù)解析式的策略

　[一題多解]已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式．
[解]　法一：(利用二次函數(shù)的一般式)
設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由題意得解得
故所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用二次函數(shù)的頂點式)
設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線對稱軸為x＝＝.
∴m＝，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a＋8.
∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零點式)
由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，
故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函數(shù)有最大值ymax＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
故所求函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
　求二次函數(shù)的解析式常利用待定系數(shù)法，但由于條件不同，則所選用的解析式不同，其方法也不同．
　1.已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點坐標是(－2，－1)，且圖象經(jīng)過點(1,0)，則函數(shù)的解析式為f(x)＝________.
x2＋x－　[法一：(一般式)設(shè)所求解析式為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由已知得解得
所以所求解析式為f(x)＝x2＋x－.
法二：(頂點式)設(shè)所求解析式為f(x)＝a(x－h(huán))2＋k.
由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，
將點(1,0)代入，得a＝，所以f(x)＝(x＋2)2－1，
即f(x)＝x2＋x－.]
2．已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則函數(shù)的解析式f(x)＝________.
x2－4x＋3　[∵f(2－x)＝f(2＋x)對x∈R恒成立，
∴f(x)的對稱軸為x＝2.
又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，
∴f(x)＝0的兩根為1和3.
設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.]
考點3　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
　解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時應(yīng)注意2點
(1)拋物線的開口，對稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論．
(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)．
　二次函數(shù)的圖象
　已知abc＞0，則二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　D
D　[A項，因為a＜0，－＜0，所以b＜0.
又因為abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A錯．B項，因為a＜0，－＞0，所以b＞0.又因為abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B錯．C項，因為a＞0，－＜0，所以b＞0.又因為abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C錯．D項，因為a＞0，－＞0，所以b＜0，因為abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故選D.]
　識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會“三看”

　二次函數(shù)的單調(diào)性
　函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
D　[當a＝0時，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上遞減，滿足題意．
當a≠0時，f(x)的對稱軸為x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上遞減知
解得－3≤a＜0.
綜上，a的取值范圍為[－3,0]．]
[母題探究]　若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的單調(diào)減區(qū)間是[－1，＋∞)，則a＝________.
－3　[由題意知f(x)必為二次函數(shù)且a＜0，又＝－1，∴a＝－3.]
　二次函數(shù)單調(diào)性問題的求解策略
(1)對于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是開口方向與對稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解．
(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較．
　二次函數(shù)的最值問題
　設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值．
[解]　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函數(shù)圖象的對稱軸為x＝1.當t＋1＜1，即t＜0時，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為減函數(shù)，所以最小值為f(t＋1)＝t2＋1；
當t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在對稱軸x＝1處取得最小值，最小值為f(1)＝1；
當t＞1時，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為增函數(shù)，所以最小值f(t)＝t2－2t＋2.
綜上可知，f(x)min＝

圖(1)　　　　　圖(2)　　　　圖(3)
[逆向問題]　已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]時，有最大值2，則a的值為________．
－1或2　[函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，對稱軸方程為x＝a.
當a＜0時，f(x)max＝f(0)＝1－a，
所以1－a＝2，所以a＝－1.
當0≤a≤1時，f(x)max＝a2－a＋1，
所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，
所以a＝(舍去)．
當a＞1時，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.
綜上可知，a＝－1或a＝2.]
　二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動．不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論．
　二次函數(shù)中的恒成立問題
(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實數(shù)m的取值范圍是________；
(2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，則k的取值范圍為________．
(1)　(2)(－∞，1)　[(1)作出二次函數(shù)f(x)的草圖如圖所示，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，

則有
即
解得－＜m＜0.
(2)由題意得x2＋x＋1＞k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立．
設(shè)g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
則g(x)在[－3，－1]上遞減．
∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k＜1.故k的取值范圍為(－∞，1)．]
　由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵
(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．
(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
[教師備選例題]
已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍．
　[解](1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，
且－＝－1，解得a＝1，b＝2，
所以f(x)＝(x＋1)2.
所以F(x)＝
所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由題意知f(x)＝x2＋bx，原命題等價于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．
又當x∈(0,1]時，－x的最小值為0，－－x的最大值為－2.所以－2≤b≤0.
故b的取值范圍是[－2,0]．
　1.若一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象只可能是(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　　D
C　[因為一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以a＜0，b＜0，所以二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸方程x＝－＜0，只有選項C適合．]
2．若函數(shù)y＝x2－3x＋4的定義域為[0，m]，值域為，則m的取值范圍為(　　)

C　[y＝x2－3x＋4＝＋的定義域為[0，m]，顯然，在x＝0時，y＝4，又值域為，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性知≤m≤3，故選C.]
3．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且f(m)≤f(0)，則實數(shù)m的取值范圍是________．
[0,2]　[依題意a≠0，二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c圖象的對稱軸是直線x＝1，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，所以a＞0，即函數(shù)圖象的開口向上，所以f(0)＝f(2)，
則當f(m)≤f(0)時，
有0≤m≤2.]