一、知識(shí)梳理
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)
振幅
周期
頻率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五點(diǎn)法畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖
用五點(diǎn)法畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：
x
－
－

－

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.三角函數(shù)圖象變換的兩種方法(ω＞0)

常用結(jié)論
1．由y＝sin ωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的變換：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而非φ個(gè)單位長(zhǎng)度．
2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱軸由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)確定；對(duì)稱中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)確定其橫坐標(biāo)．
二、教材衍化
1．為了得到函數(shù)y＝2sin
的圖象，可以將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象(　　)
A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
答案：A
2．某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測(cè)部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購(gòu)價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn)．下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況：
月份x
1
2
3
4
收購(gòu)價(jià)格y(元/斤)
6
7
6
5
選用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述收購(gòu)價(jià)格(元/斤)與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系為 ．
解析：設(shè)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由題意得A＝1，B＝6，T＝4，因?yàn)門＝，所以ω＝，所以y＝sin＋6.因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)，y＝6，所以6＝sin＋6，結(jié)合表中數(shù)據(jù)得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin＋6＝6－cos x.
答案：y＝6－cos x

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)把y＝sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝sin x.(　　)
(2)將y＝sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin的圖象．(　　)
(3)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值為A，最小值為－A.(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為.(　　)
(5)若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
二、易錯(cuò)糾偏
(1)搞不清ω的值對(duì)圖象變換的影響；
(2)確定不了函數(shù)解析式中φ的值．
1．若將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝ ．
解析：函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝2sin ＝2sin.
答案：2sin
2．(2020·陜西太原市模擬考試)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)＝ ．

解析：設(shè)f(x)的最小正周期為T，根據(jù)題圖可知，＝，所以T＝π，故ω＝2，根據(jù)2sin＝0(增區(qū)間上的零點(diǎn))可知，＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜，故φ＝－.所以f(x)＝2sin.
答案：2sin


　　　　　　五點(diǎn)法作圖及圖象變換(典例遷移)
已知函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值為2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)畫(huà)出f(x)在[0，π]上的圖象．
【解】　(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a的最大值為2，
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：
x
0




π
2x＋


π

2π

f(x)＝2sin
1
2
0
－2
0
1
畫(huà)圖如下：

【遷移探究1】　(變結(jié)論)在本例條件下，函數(shù)y＝2cos 2x的圖象向右平移 個(gè)單位得到y(tǒng)＝f(x)的圖象．
解析：將函數(shù)y＝2cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y＝2sin 2x的圖象，再將y＝2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y＝2sin(2x＋)的圖象，綜上可得，函數(shù)y＝2sin的圖象可以由函數(shù)y＝2cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
答案：
【遷移探究2】　(變問(wèn)法)在本例條件下，若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，且y＝g(x)是偶函數(shù)，求m的最小值．
解：由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x－m)＋]＝2sin是偶函數(shù)，所以2m－＝(2k＋1)，k∈Z，m＝＋，k∈Z，
又因?yàn)閙>0，所以m的最小值為.

函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
的圖象的兩種作法
五點(diǎn)法
設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象
圖象變
換法
由函數(shù)y＝sin x的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，有兩種主要途徑“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”
[注意]　平移變換和伸縮變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是ωx加減多少值．

1．(2020·廣州市調(diào)研測(cè)試)由y＝2sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為(　　)
A．y＝2sin　　　 B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：選A.由y＝2sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y＝2sin＝2sin
＝2sin的圖象，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到y(tǒng)＝2sin的圖象，故所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝2sin，選A.
2．(2020·河南模擬改編)已知函數(shù)f(x)＝sin 2x－cos 2x，將y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則所得函數(shù)的最小正周期為 ，g的值為 ．
解析：由題知函數(shù)f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
將y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
可得y＝2sin＝2sin 2x的圖象，
再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝g(x)＝2sin 2x＋1的圖象，
則T＝＝π，g＝2sin＋1＝3.
答案：π　3

　　　　由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(師生共研)
(2020·蓉城名校第一次聯(lián)考)若將函數(shù)g(x)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)f(x)的圖象，已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則(　　)

A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin 2x D．g(x)＝sin
【解析】　根據(jù)題圖有A＝1，T＝－＝?T＝π＝?ω＝2(T為f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由f＝sin＝1?sin＝1?＋φ＝＋2kπ，k∈Z?φ＝＋2kπ，k∈Z.因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin，將f(x)＝sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)＝f＝sin
＝sin 2x.故選C.
【答案】　C

確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法
(1)求A，b，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，
則A＝，b＝.
(2)求ω，確定函數(shù)的最小正周期T，則可得ω＝.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝b的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)；
②特殊點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“最值點(diǎn)”為突破口．具體如下：
“最大值點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時(shí)ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時(shí)ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．

1．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的最小正周期是π，且當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最大值2，則f(x)＝ ．
解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因?yàn)閤＝時(shí)，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，
同時(shí)2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，因?yàn)椋?，0

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