2021版高考文科數(shù)學(xué)（人教A版）一輪復(fù)習(xí)教師用書(shū)：第十二章　第4講　直接證明與間接證明

第4講　直接證明與間接證明一、知識(shí)梳理1．直接證明直接證明中最基本的兩種證明方法是綜合法和分析法．(1)綜合法：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．綜合法又稱為：由因?qū)Ч?/span>(順推證法)．(2)分析法：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)，這種證明方法叫做分析法．分析法又稱為：執(zhí)果索因法(逆推證法)．2．間接證明反證法：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．常用結(jié)論1．分析法是執(zhí)果索因，實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件；綜合法是由因?qū)Ч?/span>，就是尋找已知的必要條件．2．用反證法證題時(shí)，首先否定結(jié)論，否定結(jié)論就是找出結(jié)論反面的情況，然后推出矛盾，矛盾可以與已知、公理、定理、事實(shí)或者假設(shè)等相矛盾．二、習(xí)題改編1．(選修1-2P42練習(xí)T1改編)對(duì)于任意角θ，化簡(jiǎn)cos4 θ－sin4 θ＝(　　)A．2sin θ  B．2cos θ  C．sin 2θ  D．cos 2θ解析：選D.因?yàn)?/span>cos4 θ－sin4 θ＝(cos2 θ－sin2 θ)(cos2 θ＋sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos 2θ，故選D.2．(選修1-2P42練習(xí)T2改編)設(shè)m＝1＋，n＝2，則m與n的大小關(guān)系是(　　)A．m＞n  B．m≥n  C．m＜n  D．m≤n解析：選C.法一：m2－n2＝(1＋)2－(2)2＝4＋2－8＝2－4＝－＜0，又m＞0，n＞0.所以m＜n，故選C.法二：假設(shè)m≥n，即1＋≥2.則有(1＋)2≥(2)2，即4＋2≥8，即2≥4，即≥2，即3≥4，顯然錯(cuò)誤，所以m＜n，故選C.一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)綜合法的思維過(guò)程是由因?qū)Ч?/span>，逐步尋找已知的必要條件．(　　)(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件．(　　)(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾．(　　)(4)用反證法證明時(shí)，推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾．(　　)(5)常常用分析法尋找解題的思路與方法，用綜合法展現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√二、易錯(cuò)糾偏(1)“至少”否定出錯(cuò)；(2)應(yīng)用分析法尋找的條件不充分．1．用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)                                                                        ．答案：三角形三個(gè)內(nèi)角都大于60°2．若用分析法證明“設(shè)a>b>c且a＋b＋c＝0，求證<a”，則索的因是      (填序號(hào))．①a－b>0；②a－c>0；③(a－b)(a－c)>0；④(a－b)(a－c)<0.解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，可得b＝－a－c，a>0，c<0，要證<a，只需證(－a－c)2－ac<3a2，即證a2－ac＋a2－c2>0，即證，a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即證(a－c)(a－b)>0.答案：③　　　　　　綜合法(師生共研) (2019·高考江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB＝BC.求證：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.【證明】　(1)因?yàn)?/span>D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因?yàn)?/span>ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因?yàn)?/span>AB＝BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC.因?yàn)槿庵?/span>ABC-A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC.又因?yàn)?/span>BE?平面ABC，所以C1C⊥BE.因?yàn)?/span>C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.因?yàn)?/span>C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.綜合法證題的思路與方法　(一題多解)在△ABC中，設(shè)a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且直線bx＋ycos A＋cos B＝0與ax＋ycos B＋cos A＝0平行，求證：△ABC是直角三角形．證明：法一：由兩直線平行可知bcos B－acos A＝0，由正弦定理可知sin Bcos B－sin Acos A＝0，即sin 2B－sin 2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，則a＝b，cos A＝cos B，兩直線重合，不符合題意，故A＋B＝，即△ABC是直角三角形．法二：由兩直線平行可知bcos B－acos A＝0，由余弦定理，得a·＝b·，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.若a＝b，則兩直線重合，不符合題意，故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．　　　　　　分析法(師生共研) △ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.求證：＋＝.【證明】　要證＋＝，即證＋＝3，也就是證＋＝1，只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需證c2＋a2＝ac＋b2.又△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．分析法的證題思路先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證．[提醒]　要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性．　已知m>0，a，b∈R，求證：≤.證明：因?yàn)?/span>m>0，所以1＋m>0.所以要證原不等式成立，只需證(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，故原不等式得證．　　　　　　反證法(師生共研) 設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立．【證明】　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.(2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時(shí)成立，則由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab＝1矛盾．故a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立．反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟應(yīng)用反證法時(shí)，當(dāng)原命題結(jié)論反面有多種情況時(shí)，要對(duì)結(jié)論的反面的每一種情況都進(jìn)行討論，從而達(dá)到否定結(jié)論的目的．　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd>1.求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．證明：假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)，因?yàn)?/span>a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，即ac＋bd＋ad＋bc＝1，又ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，故a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．[基礎(chǔ)題組練]1．(2020·衡陽(yáng)示范高中聯(lián)考(二))用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)是偶數(shù)”的正確假設(shè)為(　　)A．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)B．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)C．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)D．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)解析：選B.“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)是偶數(shù)”說(shuō)明有且只有一個(gè)是偶數(shù)，其否定是“自然數(shù)a，b，c均為奇數(shù)或自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)”．2．分析法又稱執(zhí)果索因法，已知x>0，用分析法證明<1＋時(shí)，索的因是(　　)A．x2>2  B．x2>4  C．x2>0  D．x2>1解析：選C.因?yàn)?/span>x>0，所以要證<1＋，只需證()2<，即證0<，即證x2>0，顯然x2>0成立，故原不等式成立．3．在△ABC中，sin Asin C＜cos Acos C，則△ABC一定是(　　)A．銳角三角形  B．直角三角形C．鈍角三角形  D．不確定解析：選C.由sin Asin C＜cos Acos C得cos Acos C－sin Asin C＞0，即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是銳角，從而B＞，故△ABC必是鈍角三角形．4．已知函數(shù)f(x)＝，a，b是正實(shí)數(shù)，A＝f，B＝f()，C＝f，則A，B，C的大小關(guān)系為(　　)A．A≤B≤C  B．A≤C≤BC．B≤C≤A  D．C≤B≤A解析：選A.因?yàn)?/span>≥≥，又f(x)＝在R上是減函數(shù)，所以f≤f()≤f，即A≤B≤C.5．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　)A．恒為負(fù)值  B．恒等于零C．恒為正值  D．無(wú)法確定正負(fù)解析：選A.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)<0.6．用反證法證明命題“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為        ．解析：“x≠a且x≠b”的否定是“x＝a或x＝b”，因此應(yīng)假設(shè)為x＝a或x＝b.答案：x＝a或x＝b7．設(shè)a＝＋2，b＝2＋，則a，b的大小關(guān)系為        ．解析：a＝＋2，b＝2＋，兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，顯然<，所以a<b.答案：a<b8．(2020·福州模擬)如果a＋b＞a＋b，則a，b應(yīng)滿足的條件是          ．解析：a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需滿足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b9．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若C＝，求證：5a＝3b.證明：(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2 B，因?yàn)?/span>sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列．(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，即5a＝3b.10．已知四棱錐S-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.(1)求證：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD？若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)證明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以SA⊥平面ABCD.(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD.因?yàn)?/span>BC∥AD，BC?平面SAD.所以BC∥平面SAD，而BC∩BF＝B，所以平面FBC∥平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾，所以假設(shè)不成立．所以不存在這樣的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD.[綜合題組練]1．已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，則下列結(jié)論成立的是(　　)A．a，b，c同號(hào)B．b，c同號(hào)，a與它們異號(hào)C．a，c同號(hào)，b與它們異號(hào)D．b，c同號(hào)，a與b，c的符號(hào)關(guān)系不確定解析：選A.由·>1知與同號(hào)，若>0且>0，不等式＋≥－2顯然成立，若<0且<0，則－>0，－>0，＋≥2 >2，即＋<－2，這與＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同號(hào)．2．(應(yīng)用型)(一題多解)若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1，1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)＞0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是        ．解析：法一(補(bǔ)集法)：f(x)在區(qū)間[－1，1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c.使f(c)>0，該結(jié)論的否定是對(duì)于區(qū)間[－1，1]內(nèi)的任意一點(diǎn)c，都有f(c)≤0，令解得p≤－3或p≥，故滿足條件的p的取值范圍為.法二(直接法)：依題意有f(－1)＞0或f(1)＞0，即2p2－p－1＜0或2p2＋3p－9＜0，得－＜p＜1或－3＜p＜，故滿足條件的p的取值范圍是.答案：3．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)＝0，且0<x<c時(shí)，f(x)>0.(1)證明：是f(x)＝0的一個(gè)根；(2)試比較與c的大小．解：(1)證明：因?yàn)?/span>f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，因?yàn)?/span>f(c)＝0，所以x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝，所以x2＝，所以是f(x)＝0的一個(gè)根．(2)假設(shè)<c，又>0，由0<x<c時(shí)，f(x)>0，知f>0與f＝0矛盾，所以≥c，又因?yàn)?/span>≠c，所以>c.4．(綜合型)若f(x)的定義域?yàn)?/span>[a，b]，值域?yàn)?/span>[a，b](a＜b)，則稱函數(shù)f(x)是[a，b]上的“四維光軍”函數(shù)．(1)設(shè)g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四維光軍”函數(shù)，求常數(shù)b的值；(2)是否存在常數(shù)a，b(a＞－2)，使函數(shù)h(x)＝是區(qū)間[a，b]上的“四維光軍”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其圖象的對(duì)稱軸為x＝1，所以函數(shù)在區(qū)間[1，b]上單調(diào)遞增，由“四維光軍”函數(shù)的定義可知 ，g(1)＝1，g(b)＝b，即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.因?yàn)?/span>b＞1，所以b＝3.(2)假設(shè)函數(shù)h(x)＝在區(qū)間[a，b](a＞－2)上是“四維光軍”函數(shù)，因?yàn)?/span>h(x)＝在區(qū)間(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以有即解得a＝b，這與已知矛盾．故不存在．