2021版新高考數學一輪教師用書：第2章第6節(jié)　指數與指數函數

第六節(jié)　指數與指數函數[考點要求]　1.理解有理指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算．2.了解指數函數模型的實際背景，理解指數函數的概念及其單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點，會畫底數為2，3，10，，的指數函數的圖象．3.體會指數函數是一類重要的函數模型．(對應學生用書第29頁)1．根式(1)n次方根的概念①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．②a的n次方根的表示xn＝a?(2)根式的性質①()n＝a(n∈N*，n＞1).②＝2．有理數指數冪(1)冪的有關概念①正分數指數冪：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②負分數指數冪：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪無意義．(2)有理數指數冪的運算性質①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q).3．指數函數的圖象與性質y＝axa＞10＜a＜1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點(0，1)當x＞0時，y＞1；當x＜0時，0＜y＜1當x＞0時，0＜y＜1；當x＜0時，y＞1在R上是增函數在R上是減函數1．指數函數圖象的畫法畫指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，．2．指數函數的圖象與底數大小的比較如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內，指數函數y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象越高，底數越大．3．指數函數y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象和性質跟a的取值有關，要特別注意應分a＞1與0＜a＜1來研究．一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)＝()n＝a.(　　)(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)(3)函數y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞).(　　)(4)若am＜an(a＞0且a≠1)，則m＜n.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、教材改編1．函數f(x)＝21－x的大致圖象為(　　)A　　　B　　　　C　　　DA　[f(x)＝21－x＝，又f(0)＝2，f(1)＝1，故排除B，C，D，故選A.]2．若函數f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象經過點P，則f(－1)＝________．　[由題意知＝a2，所以a＝，所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.]3．化簡(x＜0，y＜0)＝________．[答案]　－2x2y4．已知a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是________．c＜b＜a　[∵y＝是減函數，∴＞＞，則a＞b＞1，又c＝＜＝1，∴c＜b＜a.](對應學生用書第30頁)考點1　指數冪的運算　指數冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數運算．(2)先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數．(3)底數是負數，先確定符號；底數是小數，先化成分數；底數是帶分數的，先化成假分數．(4)若是根式，應化為分數指數冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數冪的運算性質來解答．　1.化簡·(a＞0，b＞0)＝________．　[原式＝2×＝21＋3×10－1＝.]2．計算：＋0.002－10(－2)－1＋π0＝________．－　[原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.]　運算結果不能同時含有根號和分數指數冪，也不能既有分母又含有負指數，形式力求統(tǒng)一．考點2　指數函數的圖象及應用　(1)與指數函數有關的函數圖象的研究，往往利用相應指數函數的圖象，通過平移、對稱、翻折變換得到其圖象．(2)一些指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖象數形結合求解．　(1)函數f(x)＝ax－b的圖象如圖，其中a，b為常數，則下列結論正確的是(　　)A.a＞1，b＜0B.a＞1，b＞0C.0＜a＜1，b＞0D.0＜a＜1，b＜0(2)若曲線y＝|3x－1|與直線y＝m有兩個不同交點，則實數m的取值范圍是________．(1)D　(2)(0，1)　[(1)由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出，函數f(x)＝ax－b在定義域上單調遞減，所以0＜a＜1.函數f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎上向左平移得到的，所以b＜0.故選D.(2)曲線y＝|3x－1|的圖象是由函數y＝3x的圖象向下平移一個單位長度后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，而直線y＝m的圖象是平行于x軸的一條直線，它的圖象如圖所示，由圖象可得，如果曲線y＝|3x－1|與直線y＝m有兩個公共點，則m的取值范圍是(0，1).][母題探究]1．(變條件)若本例(2)條件變?yōu)椋悍匠?/span>3|x|－1＝m有兩個不同實根，則實數m的取值范圍是________．(0，＋∞)　[作出函數y＝3|x|－1與y＝m的圖象如圖所示，數形結合可得m的取值范圍是(0，＋∞).]2．(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮?/span>y＝|3x－1|＋m的圖象不經過第二象限，則實數m的取值范圍是________．(－∞，－1]　[作出函數y＝|3x－1|＋m的圖象如圖所示．由圖象知m≤－1，即m∈(－∞，－1].]　應用指數函數圖象的技巧(1)已知函數解析式判斷其圖象一般是取特殊點，判斷所給的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．(2)對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．　1.函數f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　　DA　[f(x)＝1－e|x|是偶函數，圖象關于y軸對稱，又e|x|≥1，∴f(x)≤0，符合條件的圖象只有A.]2．[一題兩空]函數y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的圖象經過第二、三、四象限，則b的取值范圍是________，ab的取值范圍是________．(1，＋∞)　(0，1)　[因為函數y＝ax－b的圖象經過第二、三、四象限，所以函數y＝ax－b單調遞減且其圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上．令x＝0，則y＝a0－b＝1－b，由題意得解得故ab∈(0，1).]3．已知實數a，b滿足等式2 019a＝2 020b，下列五個關系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的關系式有________(填序號).③④　[作出y＝2 019x及y＝2 020x的圖象如圖所示，由圖可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0時，有2 019a＝2 020b，故③④不可能成立．]考點3　指數函數的性質及應用　指數函數性質的應用主要是利用單調性解決相關問題，而指數函數的單調性是由底數a決定的，因此解題時通常對底數a按0＜a＜1和a＞1進行分類討論．　比較指數式的大小　(1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則(　　)A.a＞b＞c　 B．a＞c＞bC.c＞a＞b     D．b＞c＞a(2)設函數f(x)＝x2－a與g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在區(qū)間(0，＋∞)上具有不同的單調性，則M＝(a－1)0.2與N＝的大小關系是(　　)A.M＝N     B．M≤NC.M＜N     D．M＞N(1)A　(2)D　[(1)由0.2＜0.6，0.4＜1，并結合指數函數的圖象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因為a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.綜上，a＞b＞c.(2)因為f(x)＝x2－a與g(x)＝ax(a＞1且a≠2)在區(qū)間(0，＋∞)上具有不同的單調性，所以a＞2，所以M＝(a－1)0.2＞1，N＝＜1，所以M＞N.故選D.]　指數式的大小比較，依據的就是指數函數的單調性，原則上化為同底的指數式，并要注意底數范圍是(0，1)還是(1，＋∞)，若不能化為同底，則可化為同指數，或利用中間變量比較，如T(1).　解簡單的指數方程或不等式　(1)已知函數f(x)＝a＋的圖象過點，若－≤f(x)≤0，則實數x的取值范圍是________．(2)方程4x＋|1－2x|＝11的解為________．(1)　(2)x＝log23　[(1)∵f(x)＝a＋的圖象過點，∴a＋＝－，即a＝－.∴f(x)＝－＋.∵－≤f(x)≤0，∴－≤－≤0，∴≤≤，∴2≤4x＋1≤3，即1≤4x≤2，∴0≤x≤.(2)當x≥0時，原方程化為4x＋2x－12＝0，即(2x)2＋2x－12＝0.∴(2x－3)(2x＋4)＝0，∴2x＝3，即x＝log23.當x＜0時，原方程化為4x－2x－10＝0.令t＝2x，則t2－t－10＝0(0＜t＜1).由求根公式得t＝均不符合題意，故x＜0時，方程無解．]　(1)af(x)＝ag(x)?f(x)＝g(x).(2)af(x)＞ag(x)，當a＞1時，等價于f(x)＞g(x)；當0＜a＜1時，等價于f(x)＜g(x).(3)有些含參指數不等式，需要分離變量，轉化為求有關函數的最值問題．　與指數函數有關的復合函數的單調性　(1)函數f(x)＝的單調減區(qū)間為________．(2)函數f(x)＝4x－2x＋1的單調增區(qū)間是________．(1)(－∞，1]　(2)[0，＋∞)　[(1)設u＝－x2＋2x＋1，∵y＝在R上為減函數，所以函數f(x)＝的減區(qū)間即為函數u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間．又u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間為(－∞，1]，所以f(x)的減區(qū)間為(－∞，1].(2)設t＝2x(t＞0)，則y＝t2－2t的單調增區(qū)間為[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上單調遞增，所以函數f(x)＝4x－2x＋1的單調增區(qū)間是[0，＋∞).][逆向問題]　已知函數f(x)＝2|2x－m|(m為常數)，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調遞增，則m的取值范圍是________．(－∞，4]　[令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．而y＝2t在R上單調遞增，所以要使函數f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調遞增，則有≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4].]　求解與指數函數有關的復合函數問題，首先要熟知指數函數的定義域、值域、單調性等相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷．　指數函數性質的綜合應用　(1)函數f(x)＝a＋(a，b∈R)是奇函數，且圖象經過點，則函數f(x)的值域為(　　)A.(－1，1)    B．(－2，2)C.(－3，3)    D．(－4，4)(2)若不等式1＋2x＋4x·a＞0在x∈(－∞，1]時恒成立，則實數a的取值范圍是________．(1)A　(2)　[(1)函數f(x)為奇函數，定義域是R，則f(0)＝a＋＝0①，函數圖象過點，則f(ln 3)＝a＋＝②.結合①②可得a＝1，b＝－2，則f(x)＝1－.因為ex＞0，所以ex＋1＞1，所以0＜＜2，所以－1＜1－＜1，即函數f(x)的值域為(－1，1).(2)從已知不等式中分離出實數a，得a＞－.因為函數y＝和y＝在R上都是減函數，所以當x∈(－∞，1]時，≥，≥，所以＋≥＋＝，從而得－≤－.故實數a的取值范圍為a＞－.]　指數函數的綜合問題，主要涉及單調性、奇偶性、最值問題，應在有關性質的基礎上，結合指數函數的性質進行解決，而指數函數性質的重點是單調性，注意利用單調性實現問題的轉化．　1.函數y＝()x2＋2x－1的值域是(　　)A.(－∞，4)    B．(0，＋∞)C.(0，4]     D．[4，＋∞)C　[設t＝x2＋2x－1，則y＝()t.因為0＜＜1，所以y＝()t為關于t的減函數．因為t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0＜y＝()t≤()－2＝4，故所求函數的值域為(0，4].]2．已知實數a≠1，函數f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為________．　[當a＜1時，41－a＝21，所以a＝；當a＞1時，代入可知不成立，所以a的值為.]3．設函數f(x)＝若f(a)＜1，則實數a的取值范圍是________．(－3，1)　[當a＜0時，不等式f(a)＜1可化為()a－7＜1，即()a＜8，即()a＜()－3，∴a＞－3.又a＜0，∴－3＜a＜0.當a≥0時，不等式f(a)＜1可化為＜1.∴0≤a＜1，綜上，a的取值范圍為(－3，1).]