2021版新高考數(shù)學(xué)一輪教師用書：第2章第3節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性

第三節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性[考點(diǎn)要求]　1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義， 會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性．(對應(yīng)學(xué)生用書第21頁)1．函數(shù)的奇偶性  偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)圖象特征關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．1．函數(shù)奇偶性的三個重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0．(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．周期性的幾個常用結(jié)論對f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x，周期為T，則(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a＞0)；(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a＞0)；(3)f(x＋a)＝－，則T＝2a(a＞0).一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．(　　)(2)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)．(　　)(3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(　　)(4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數(shù)．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√二、教材改編1．[多選]下列函數(shù)中不具有奇偶性函數(shù)的有(　　)A．y＝x2sin x　　　　 B．y＝x2cos xC．y＝|ln x|     D．y＝2－xCD　[A為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C，D為非奇非偶函數(shù)，故選CD.]2．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＝x(1＋x)，則f(－1)＝________．－2　[f(1)＝1×2＝2，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.]3．設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1，1)時，f(x)＝則f＝________．1　[f＝f＝－4×＋2＝1.]4.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5，5]，若當(dāng)x∈[0，5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為________．(－2，0)∪(2，5]　[由圖象可知，當(dāng)0＜x＜2時，f(x)＞0；當(dāng)2＜x≤5時，f(x)＜0，又f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)－2＜x＜0時，f(x)＜0，當(dāng)－5≤x＜－2時，f(x)＞0.綜上，f(x)＜0的解集為(－2，0)∪(2，5].](對應(yīng)學(xué)生用書第22頁)考點(diǎn)1　判斷函數(shù)的奇偶性　判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法：(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對稱．　(1)[多選]設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|g(x)是偶函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性：①f(x)＝＋；②f(x)＝；③f(x)＝(1)BC　[令F1(x)＝f(x)·g(x)，則F1(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F1(x)，∴f(x)g(x)為奇函數(shù)，故A錯誤．令F2(x)＝|f(x)|g(x)，則F2(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F2(x)，∴F2(x)為偶函數(shù)，故B正確．令F3(x)＝f(x)|g(x)|，則F3(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F3(x)，∴F3(x)為奇函數(shù)，故C正確．令F4(x)＝|f(x)g(x)|，則F4(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|＝F4(x)，∴F4(x)為偶函數(shù)，故D錯誤．](2)[解]　①由得x2＝3，解得x＝±，即函數(shù)f(x)的定義域為{－，}，從而f(x)＝＋＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．②由得定義域為(－1，0)∪(0，1)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．③顯然函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱．∵當(dāng)x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當(dāng)x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x).綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．　判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括2個必備條件(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立．　1.(2019·福州模擬)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是(　　)A．y＝tan 　 B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x     D．y＝ln |x|－sin xB　[對于選項A，易知y＝tan 為非奇非偶函數(shù)；對于選項B，設(shè)f(x)＝x2＋e|x|，則f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|為偶函數(shù)；對于選項C，設(shè)f(x)＝x cos x，則f(－x)＝－x cos (－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x為奇函數(shù)；對于選項D，設(shè)f(x)＝ln |x|－sin x，則f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin (－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以y＝ln |x|－sin x為非奇非偶函數(shù)，故選B.]2．[多選]設(shè)函數(shù)f(x)＝，則下列結(jié)論正確的有(　　)A．|f(x)|是偶函數(shù)B．－f(x)是奇函數(shù)C．f(x)|f(x)|是奇函數(shù)D．f(|x|)f(x)是偶函數(shù)ABC　[∵f(x)＝，則f(－x)＝＝－f(x).∴f(x)是奇函數(shù)，∴|f(x)|為偶函數(shù)，－f(x)為奇函數(shù)，f(x)|f(x)|為奇函數(shù)．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函數(shù)，∴f(|x|)f(x)是奇函數(shù)．]考點(diǎn)2　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用　利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式．由系數(shù)的對等性得方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值．(4)畫函數(shù)圖象：利用奇偶性可畫出函數(shù)在另一對稱區(qū)間上的圖象．(5)求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值．　利用奇偶性求參數(shù)的值　[一題多解]若函數(shù)f(x)＝x3為偶函數(shù)，則a的值為________．　[法一：(定義法)因為函數(shù)f(x)＝x3為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)3＝x3，所以2a＝－，所以2a＝1，解得a＝.法二：(特值法)因為函數(shù)f(x)＝x3為偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×＝13×，解得a＝，經(jīng)檢驗，當(dāng)a＝時，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．]　已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函數(shù))或f(－x)＝f(x)(偶函數(shù))在定義域內(nèi)恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函數(shù)一般利用f(0)＝0求解，偶函數(shù)一般利用f(－1)＝f(1)求解．用特殊值法求得參數(shù)后，一定要注意驗證．　利用函數(shù)的奇偶性求值　(1)設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝log2x，則f(－)＝(　　)A．－     B．C．2     D．－2(2)已知函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m等于(　　)A．0     B．2C．4     D．8(3)(2019·全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，則a＝________．(1)B　(2)C　(3)－3　[(1)因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(－)＝f()，又當(dāng)x＞0時，f(x)＝log2x，所以f()＝log2＝，即f(－)＝.(2)f(x)＝＝2＋，設(shè)g(x)＝，因為g(x)定義域為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因為M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4.(3)法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函數(shù)可知f(－x)＝－f(x)，∴x＞0時，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，則f(ln 2)＝e－a ln 2＝8，∴－a ln 2＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.法二：由f(x)是奇函數(shù)可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln 2)＝－f＝－(－ea ln )＝8，∴a ln ＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.]　利用奇偶性將所求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值．　求函數(shù)解析式　[一題兩空]函數(shù)y＝f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f(x)＝2x，則f(0)＝________，函數(shù)f(x)的解析式為________．0　f(x)＝　[y＝f(x)的定義域為R且為奇函數(shù)，∴f(0)＝0.又當(dāng)x＞0時，－x＜0，∵x＜0時，f(x)＝2x，∴當(dāng)x＞0時，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x＞0時，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝]　不要忽視x＝0時的解析式．　1.若函數(shù)f(x)＝在定義域上為奇函數(shù)，則實數(shù)k＝________．±1　[若函數(shù)f(x)＝在定義域上為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，即＝－，化簡得(k2－1)(22x＋1)＝0，即k2－1＝0，解得k＝±1.]2．已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于________．3　[f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2，①f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4，②由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.]3．(2019·湖南永州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)＝________．0　[設(shè)F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，顯然F(x)為奇函數(shù)．又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，從而f(－a)＝0.]考點(diǎn)3　函數(shù)的周期性及其應(yīng)用　函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用判定判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題應(yīng)用根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能．在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期　(1)(2019·貴陽模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－f(x＋2)，當(dāng)x∈(0，2]時，f(x)＝2x＋log2x，則f(2 019)＝(　　)A．5     B．C．2     D．－2(2)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝則f(f(15))的值為________．(1)D　(2)　[(1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函數(shù)f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝＝，所以f(f(15))＝f＝cos ＝.]　利用周期性將所求值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上的函數(shù)值．　設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[－2，1)時，f(x)＝則f＝________．　[由題意可得f＝f＝f＝4×－2＝，f＝.]