第3講　合情推理與演繹推理
基礎(chǔ)知識整合

1．合情推理

歸納推理
類比推理
定義
由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理
由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理
特點
由部分到整體、由個別到一般的推理
由特殊到特殊的推理
一般
步驟
(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確的一般性命題(猜想)
(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；
(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)
2．演繹推理
(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．
(2)特點：演繹推理是由一般到特殊的推理．
(3)模式：“三段論”是演繹推理的一般模式．
“三段論”
的結(jié)構(gòu)
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情況；
③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷
“三段論”
的表示
①大前提——M是P；
②小前提——S是M；
③結(jié)論——S是P

1．合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時，得到的結(jié)論一定正確．
2．合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理；演繹推理是證明結(jié)論的推理．

1．“對數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，f(x)＝log2|x|是對數(shù)函數(shù)，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函數(shù)”，以上推理(　　)
A．結(jié)論正確 B．大前提錯誤
C．小前提錯誤 D．推理形式錯誤
答案　C
解析　本命題的小前提是f(x)＝log2|x|是對數(shù)函數(shù)，但是這個小前提是錯誤的，因為f(x)＝log2|x|不是對數(shù)函數(shù)，它是一個復(fù)合函數(shù)，只有形如y＝logax的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù)．故選C.
2．某單位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．
甲說：我在1日和3日都有值班；
乙說：我在8日和9日都有值班；
丙說：我們?nèi)烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟龋?br /> 據(jù)此可判斷丙必定值班的日期是(　　)
A．10日和12日 B．2日和7日
C．4日和5日 D．6日和11日
答案　D
解析　這12天的日期之和，S12＝＝78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，對于甲，剩余2天的值班日期之和是22，因此這兩天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；對于乙，剩余2天的值班日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日．故選D.
3．(2019·全國卷Ⅱ)在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測．
甲：我的成績比乙高．
乙：丙的成績比我和甲的都高．
丙：我的成績比乙高．
成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序為(　　)
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
答案　A
解析　由于三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確．若甲預(yù)測正確，則乙、丙預(yù)測錯誤，于是三人按成績由高到低的次序為甲、乙、丙；若甲預(yù)測錯誤，則甲、乙按成績由高到低的次序為乙、甲，又假設(shè)丙預(yù)測正確，則乙、丙按成績由高到低的次序為丙、乙，于是甲、乙、丙按成績由高到低排序為丙、乙、甲，從而乙的預(yù)測也正確，不符合題意；若甲、丙預(yù)測錯誤，則可推出乙的預(yù)測也錯誤．綜上所述，三人按成績由高到低的次序為甲、乙、丙．故選A.
4．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．
答案　1∶8
解析　因為兩個正三角形是相似的三角形，所以它們的面積之比是相似比的平方．同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方．所以它們的體積比為1∶8.
5．(2019·銀川模擬)下面圖形由小正方形組成，請觀察圖1至圖4的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個圖形中小正方形的個數(shù)是________．

答案　
解析　由圖知第1個圖形的小正方形的個數(shù)為1，第2個圖形的小正方形的個數(shù)為1＋2，第3個圖形的小正方形的個數(shù)為1＋2＋3，第4個圖形的小正方形的個數(shù)為1＋2＋3＋4，…，則第n個圖形的小正方形的個數(shù)為1＋2＋3＋…＋n＝.
6．已知＝2，＝3，＝4，…，若 ＝6(a，t均為正實數(shù))，類比以上等式，可推測a，t的值，則a＋t＝________.
答案　41
解析　根據(jù)題中所列的前幾項的規(guī)律可知其通項應(yīng)為＝n，所以當n＝6時，a＝6，t＝35，a＋t＝41.
核心考向突破
精準設(shè)計考向，多角度探究突破
考向一　歸納推理
角度　　數(shù)字的歸納
例1　(2019·河南八市聯(lián)盟模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n，將該數(shù)列按下列格式(第n行有2n－1個數(shù))排成一個數(shù)陣，則該數(shù)陣第8行從左向右的第8個數(shù)為(　　)

A．142 B．270
C．526 D．1038
答案　B
解析　由題意，得Sn＝n2＋n，當n＝1時，a1＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，所以an＝2n，又由數(shù)陣，知每一行的項數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列1,2,4,8，…，構(gòu)成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前n項和公式，得該數(shù)陣第8行從左到右的第8個數(shù)為數(shù)列{an}的第＋8＝135項，所以該數(shù)為a135＝2×135＝270，故選B.
角度　　式子的歸納
例2　(2019·大連二模)觀察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
…
據(jù)此規(guī)律，第n個等式為________．
答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
解析　觀察題中等式，可得規(guī)律為等式左邊共有2n項且等式左邊的分母分別為1,2，…，2n，分子均為1，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，即為1－＋－＋…＋－；等式右邊共有n項且分母分別為n＋1，n＋2，…，2n，分子為1，即為＋＋…＋.所以第n個等式為1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
角度　　圖形的歸納
例3　(2019·重慶模擬)如圖所示，將正整數(shù)從小到大沿三角形的邊成螺旋狀排列起來，2在第一個拐彎處，4在第二個拐彎處，7在第三個拐彎處，…，則在第二十個拐彎處的正整數(shù)是________．

答案　211
解析　觀察圖可知，
第一個拐彎處2＝1＋1，
第二個拐彎處4＝1＋1＋2，
第三個拐彎處7＝1＋1＋2＋3，
第四個拐彎處11＝1＋1＋2＋3＋4，
第五個拐彎處16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，
發(fā)現(xiàn)規(guī)律：拐彎處的數(shù)是從1開始的一串連續(xù)正整數(shù)相加之和再加1，在第幾個拐彎處，就加到第幾個正整數(shù)，所以第二十個拐彎處的正整數(shù)就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211.

歸納推理問題的常見類型及解題策略
(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理．觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號即可．
(2)與式子有關(guān)的歸納推理
①與不等式有關(guān)的推理．觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后即可．
②與數(shù)列有關(guān)的推理．通常是先求出幾個特殊現(xiàn)象，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系，列出即可．
(3)與圖形變化有關(guān)的推理．合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡裕?br />
[即時訓(xùn)練]　1.(2019·咸陽模擬)“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如圖是楊輝三角數(shù)陣，記an為圖中第n行各個數(shù)之和，則a5＋a11的值為(　　)

A．528 B．1020
C．1038 D．1040
答案　D
解析　第一行數(shù)字之和為a1＝1＝21－1，
第二行數(shù)字之和為a2＝2＝22－1，
第三行數(shù)字之和為a3＝4＝23－1，
第四行數(shù)字之和為a4＝8＝24－1，
…
第n行數(shù)字之和為an＝2n－1，
∴a5＋a11＝24＋210＝1040.故選D.
2．(2019·日照模擬)有下列各式：
1＋＋>1，
1＋＋＋…＋>，
1＋＋＋…＋>2，
…
則按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為________．
答案　1＋＋＋…＋>(n∈N*)
解析　觀察各式，左邊為的和的形式，項數(shù)分別為3,7,15，…，
故可猜想第n個式子左邊應(yīng)有2n＋1－1項，
不等式右邊分別寫成，，，故猜想第n個式子右邊應(yīng)為，
故按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為1＋＋＋…＋>(n∈N*)．
3．如圖，在平面直角坐標系的格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)處：點(1,0)處標b1，點(1，－1)處標b2，點(0，－1)處標b3，點(－1，－1)處標b4，點(－1,0)處標b5，點(－1，1)處標b6，點(0,1)處標b7，…，以此類推，則b963處的格點的坐標為________．

答案　(16,13)
解析　觀察已知點(1,0)處標b1，即b1×1，點(2,1)處標b9，即b3×3，點(3,2)處標b25，即b5×5，…，由此推斷點(n，n－1)處標b(2n－1)×(2n－1)，因為961＝31×31，n＝16，故b961處的格點的坐標為(16,15)，從而b963處的格點的坐標為(16,13)．
考向二　類比推理
例4　(1)(2020·河北正定摸底)已知a，b，c是△ABC的內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的三邊，若滿足a2＋b2＝c2，即2＋2＝1，則△ABC為直角三角形，類比此結(jié)論可知，若滿足an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)，則△ABC的形狀為(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．以上都有可能
答案　A
解析　由題意，知角C最大，an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)即n＋n＝1(n∈N，n≥3)，又c>a，c>b，所以2＋2>n＋n＝1，即a2＋b2>c2，所以cosC＝>0，所以04，即x＝5，該小組人數(shù)的最小值為5＋4＋3＝12.

1．將圓周20等分，按照逆時針方向依次編號為1,2，…，20，若從某一點開始，沿圓周逆時針方向行走，點的編號是數(shù)字幾，就走幾段弧長，稱這種走法為一次“移位”，如：小明在編號為1的點，他應(yīng)走1段弧長，即從1→2為第一次“移位”，這時他到達編號為2的點，然后從2→3→4為第二次“移位”，若某人從編號為3的點開始，沿逆時針方向，按上述“移位”方法行走，“移位”a次剛好到達編號為16的點，又滿足|a－2020|的值最小，則a的值為(　　)
A．2019 B．2020
C．2021 D．2022
答案　C
解析　若某人從編號為3的點開始，第一次“移位”到達6；
第二次“移位”到達12；
第三次“移位”到達4；
第四次“移位”到達8；
第五次“移位”到達16；
第六次“移位”到達12；
第七次“移位”到達4；
第八次“移位”到達8；
第九次“移位”到達16；
第十次“移位”到達12；
…
從第二次開始，每4次“移位”為一組“移位”循環(huán)，
“移位”a次剛好到達編號為16的點，
則a－1應(yīng)該能被4整除，又滿足|a－2020|的值最小，則a＝2021.故選C.
2．(2019·漳州模擬)一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1,2，…，n)稱為第k位碼元．二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)．
已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗方程組：

其中運算⊕定義為：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.
現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定k等于________．
答案　5
解析　因為x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元碼1101101的前3位碼元都是對的；因為x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元碼1101101的第6、7位碼元也是對的；因為x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元碼1101101的第5位碼元是錯誤的，所以k＝5.
答題啟示
與推理有關(guān)的新定義問題是高考命制創(chuàng)新型試題的一個熱點，解決此類問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義及符號語言，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目的要求進行恰當?shù)剞D(zhuǎn)化，注意推理過程的嚴密性．
對點訓(xùn)練
1．(2019·重慶模擬)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問本持金幾何．”其意思為：今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的，第2關(guān)收稅金為剩余金的，第3關(guān)收稅金為剩余金的，第4關(guān)收稅金為剩余金的，第5關(guān)收稅金為剩余金的，5關(guān)所收稅金之和，恰好重1斤，問此人總共持金多少．則在此問題中，第5關(guān)收稅金(　　)
A．斤 B．斤
C．斤 D．斤
答案　B
解析　假設(shè)原來持金為x，則第1關(guān)收稅金x；第2關(guān)收稅金×x＝x；第3關(guān)收稅金×x＝x；第4關(guān)收稅金×x＝x；第5關(guān)收稅金×x＝x.依題意，得x＋x＋x＋x＋x＝1，即x＝1，x＝1，解得x＝，所以x＝×＝.故選B.
2．在平面直角坐標系中，若點P(x，y)的坐標x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點．若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形．格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L.例如：圖中的△ABC是格點三角形，對應(yīng)的S＝1，N＝0，L＝4.

(1)圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S，N，L分別是________；
(2)已知格點多邊形的面積可表示為S＝aN ＋bL＋c，其中a，b，c為常數(shù)，若某格點多邊形對應(yīng)的N＝71，L＝18，則S＝________(用數(shù)值作答)．
答案　(1)3,1,6　(2)79
解析　(1)由定義知，四邊形DEFG由一個等腰直角三角形和一個平行四邊形構(gòu)成，其內(nèi)部格點有1個，邊界上格點有6個，四邊形DEFG的面積為3，所以S＝3，N＝1，L＝6.
(2)由待定系數(shù)法可得
?
當N＝71，L＝18時，S＝1×71＋×18－1＝79.
＝1－cos2α－＋cos2α＝.

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部