學科素養(yǎng)培優(yōu)（二十三）正態(tài)分布與概率、統(tǒng)計的綜合題(2019·安徽六校教育研究會第一次素質(zhì)測試)從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，記作xi，i＝1,2，…，7)；(2)由頻率分布直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2.①若使84.13%的產(chǎn)品的質(zhì)量指標值高于企業(yè)制定的合格標準，則合格標準的質(zhì)量指標值大約為多少？②若該企業(yè)又生產(chǎn)了這種產(chǎn)品1000件，且每件產(chǎn)品相互獨立，則這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標值不低于12.14的件數(shù)最有可能是多少？附：參考數(shù)據(jù)與公式：(xi－)2hi＝3.46,3.46≈×2.632；若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ－σ)＝0.6826；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.解　(1)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.4，s2＝(xi－)2hi×2＝3.46×2＝6.92.(2)①由題意X～N(17.4,692)，則P(X>μ－σ)＝＋≈0.8413，∴當μ－σ＝17.4－2.63＝14.77時，滿足題意，即合格標準的質(zhì)量指標值約為14.77.②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋≈0.9772，可知每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值不低于12.14的事件概率為0.9772，記這1000件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值不低于12.14的件數(shù)為ξ，則ξ～B(103，p)，其中p＝0.9772，∴恰有k件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值不低于12.14的事件概率P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)1000－k，則＝>1，解得k<1001p＝978.1772，∴當0≤k≤978時，P(ξ＝k－1)<P(ξ＝k)，當979≤k≤1000時，P(ξ＝k－1)>P(ξ＝k)，由此可知，在這1000件產(chǎn)品中，質(zhì)量指標值不低于12.14的件數(shù)最有可能是978.答題啟示本題考查正態(tài)分布、概率統(tǒng)計問題的綜合，是在知識網(wǎng)絡的交匯處命制的一道較為新穎的試題．正態(tài)分布與統(tǒng)計案例有些知識點是所謂的高考“冷點”，由于考生對這些“冷點”的內(nèi)容重視不夠，復習不全面，一旦這些“冷點”知識出了考題，雖然簡單但也做錯，甚至根本不會做，因而錯誤率相當高．此題告訴我們必須全面掌握每一個知識點．對點訓練(2019·山東青島模擬)“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個人的立德之源、立功之本．”在中華民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長河中，愛國主義始終是激昂的主旋律．愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機進行科技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x(億元)與科技改造直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當0<x≤17時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：＝4.1x＋11.8；模型②：＝21.3－14.4；當x>17時，y與x滿足的線性回歸方程為＝－0.7x＋a.(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當0<x≤17時模型①、②的相關指數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型預測對“東方紅”款汽車發(fā)動機科技改造的投入為17億元時的直接收益；回歸模型模型①模型②回歸方程＝4.1x＋11.8＝21.3－14.4(yi－i)2182.479.2(2)為鼓勵科技創(chuàng)新，當科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預測依據(jù)，比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大??；(3)科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動機的熱效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布N(0.52,0.012)，公司對科技改造團隊的獎勵方案如下：若發(fā)動機的熱效率不超過50%，不予獎勵；若發(fā)動機的熱效率超過50%但不超過53%，每臺發(fā)動機獎勵2萬元；若發(fā)動機的熱效率超過53%，每臺發(fā)動機獎勵5萬元．求每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學期望．附：刻畫回歸效果的相關指數(shù)R2＝1－，≈4.1.用最小二乘法求線性回歸方程y＝bx＋a的系數(shù)公式＝＝，＝－ .隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.解　(1)由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4>79.2，即>，所以模型①的R2小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好．所以當x＝17億元時，科技改造直接收益的預測值為＝21.3×－14.4≈21.3×4.1－14.4＝72.93(億元)．(2)由已知，得－20＝＝3，所以＝23，－60＝＝7.2，則＝67.2.所以a＝＋0.7＝67.2＋0.7×23＝83.3，即當x>17億元時，y與x滿足的線性回歸方程為＝－0.7x＋83.3.所以當x＝20億元時，科技改造直接收益的預測值＝－0.7×20＋83.3＝69.3.當x＝20億元時，實際收益的預測值為69.3＋10＝79.3億元>72.93億元，即科技改造投入20億元時，公司的實際收益的更大．(3)因為P(0.52－0.02<X<0.52＋0.02)＝0.9544，所以P(X>0.50)＝＝0.9772，P(X≤0.50)＝＝0.0228，又P(0.52－0.01<X<0.52＋0.01)＝0.6826，所以P(X>0.53)＝＝0.1587，則P(0.50<X≤0.53)＝0.9772－0.1587＝0.8185.設每臺發(fā)動機獲得的獎勵為Y(萬元)，則Y的分布列如下，Y025P0.02280.81850.1587則每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學期望為E(Y)＝0×0.0228＋2×0.8185＋5×0.1587＝2.4305(萬元)．＝－1200金．

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