2021高三數(shù)學(xué)北師大版（理）一輪教師用書：第11章第5節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列

第五節(jié)　離散型隨機(jī)變量及其分布列[最新考綱]　1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用．1．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)將隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn)(或觀測)的每一個(gè)可能的結(jié)果都對應(yīng)于一個(gè)數(shù)，這種對應(yīng)稱為一個(gè)隨機(jī)變量．(2)離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．(3)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為a1，a2，…，ai，…，ar，隨機(jī)變量X取ai的概率為pi(i＝1,2，…，r)，記作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)，或把上式列表：X＝aia1a2…ai…arP(X＝ai)p1p2…pi…pr稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．(4)性質(zhì)：①pi≥0，i＝1,2，…，r；②p1＋p2＋…＋pr＝1.2．超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X＝k)＝(其中k為非負(fù)整數(shù))．如果一個(gè)隨機(jī)變量的分布列由上式確定，則稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布．一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)離散型隨機(jī)變量的分布列中，各個(gè)概率之和可以小于1.(　　)(2)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)(3)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出，則它服從兩點(diǎn)分布．(　　)X25P0.30.7(4)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√二、教材改編1．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：X12345Pp則p為(　　)A．　 B．　　　C．　 D．C　[由分布列的性質(zhì)知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.]2．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(ξ≤1)等于(　　)A． B．  C． D．D　[P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.]3．有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是________．0,1,2,3　[因?yàn)榇纹饭灿?/span>3件，所以在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的可能取值為0,1,2,3.]4．從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，則隨機(jī)變量X的分布列為________． X012P0.10.60.3　[因?yàn)?/span>X的所有可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝＝0.1，P(X＝1)＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3，所以X的分布列為X012P0.10.60.3]考點(diǎn)1　離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)　分布列性質(zhì)的2個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性．(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率．　1.隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________．　　[因?yàn)?/span>a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.又a＝－d，c＝＋d，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤.]2．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求a；(2)求P；(3)求P.[解]　(1)由分布列的性質(zhì)，得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝.(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝.　由于分布列中每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)，故在利用概率和為1求參數(shù)值時(shí)，務(wù)必要檢驗(yàn)．[教師備選例題]設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求隨機(jī)變量Y＝2X＋1的分布列；(2)求隨機(jī)變量η＝|X－1|的分布列；(3)求隨機(jī)變量ξ＝X2的分布列．[解]　(1)由分布列的性質(zhì)知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表為：X012342X＋113579從而Y＝2X＋1的分布列為Y13579P0.20.10.10.30.3(2)列表為X01234|X－1|10123∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列為η0123P0.10.30.30.3(3)首先列表為X01234X2014916從而ξ＝X2的分布列為ξ014916P0.20.10.10.30.3考點(diǎn)2　求離散型隨機(jī)變量的分布列　離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些，且每一個(gè)取值所表示的意義．(2)求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率．(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列．(4)做檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確．　已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或檢測出3件正品時(shí)檢測結(jié)束．(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列．[解]　(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，P(A)＝＝.(2)X的可能取值為200,300,400.P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝＝.故X的分布列為X200300400P　求解本題的關(guān)鍵是明確題設(shè)限制條件：“不放回”、“直到檢測出2件次品或檢測出3件正品時(shí)檢測結(jié)束”．[教師備選例題]一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)．(1)求取出的4張卡片中，含有編號為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．[解]　(1)由題意知，在7張卡片中，編號為3的卡片有2張，故所求概率為P＝1－＝1－＝.(2)由題意知，X的可能取值為1,2,3,4，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以隨機(jī)變量X的分布列是X1234P　袋子中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球．(1)每次取1個(gè)球，不放回，直到取到白球?yàn)橹?，求取球次?shù)X的分布列；(2)每次取1個(gè)球，有放回，直到取到白球?yàn)橹梗槿〈螖?shù)不超過5次，求取球次數(shù)X的分布列；(3)每次取1個(gè)球，有放回，共取5次，求取到白球次數(shù)X的分布列．[解]　(1)X可能取值1,2,3.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X分布列為X123P(2)X可能取值為1,2,3,4,5.P(X＝k)＝k－1×，k＝1,2,3,4，P(X＝5)＝4.故X分布列為X12345P(3)因?yàn)?/span>X～B，所以X的分布列為P(X＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.X012345P5考點(diǎn)3　超幾何分布　求超幾何分布的分布列的步驟      　端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個(gè)．(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列．[解]　(1)令A表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則P(A)＝＝.(2)X的所有可能值為0,1,2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.綜上知，X的分布列為X123P[母題探究]1．在本例條件下，求至少有一個(gè)豆沙粽的概率．[解]　由題意知，至少有一個(gè)豆沙粽的概率P＝P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.2．若本例中的X表示取到的粽子的種類，求X的分布列．[解]　由題意知X的所有可能值為1,2,3，且P(X＝1)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－－＝.綜上可知，X的分布列為X123P　 超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，其實(shí)質(zhì)是古典概型，主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型．[教師備選例題](2018·天津高考)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；②設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．【解】　(1)由題意得，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．(2)①隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝3)＝＝，則P(X＝2)＝1－－－＝，所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P②設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A＝B＋C，且B與C互斥．由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B＋C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.所以，事件A發(fā)生的概率為.　在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列；(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率．[解]　(1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為C，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為CC，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P(2)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3，而P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝.∴取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.