2021高三數(shù)學(xué)北師大版（理）一輪教師用書：第9章經(jīng)典微課堂突破疑難系列2圓錐曲線

解析幾何研究的問題是幾何問題，研究的方法是代數(shù)法(坐標(biāo)法)．因此，求解解析幾何問題最大的思維難點(diǎn)是轉(zhuǎn)化，即幾何條件代數(shù)化．如何在解析幾何問題中實(shí)現(xiàn)代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，找到常見問題的求解途徑，是突破解析幾何問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在．為此，從以下幾個(gè)途徑，結(jié)合數(shù)學(xué)思想在解析幾何中的切入為視角，突破思維難點(diǎn)．途徑一　“圖形”引路，“斜率”搭橋高考示例方法與思維1.(2015·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y＝與直線l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N兩點(diǎn)．(1)當(dāng)k＝0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM＝∠OPN？(說明理由)[解]　(1)x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.(步驟省略)(2)存在符合題意的點(diǎn)．證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.從而k1＋k2＝＋＝＝.【關(guān)鍵點(diǎn)1：建立斜率之間的關(guān)系】當(dāng)b＝－a時(shí)，有k1＋k2＝0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，【關(guān)鍵點(diǎn)2：把斜率間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為傾斜角之間的關(guān)系】故∠OPM＝∠OPN，所以點(diǎn)P(0，－a)符合題意． 【點(diǎn)評】　破解此類解析幾何題的關(guān)鍵：一是“圖形”引路，一般需畫出大致圖形，把已知條件翻譯到圖形中，利用直線方程的點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式，即可快速表示出直線方程；二是“轉(zhuǎn)化”橋梁，即先把要證的兩角相等，根據(jù)圖形的特征，轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系，再把直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及斜率公式即可證得結(jié)論.2.(2019·全國卷Ⅱ)已知點(diǎn)A(－2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為－.記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G，證明：(ⅰ)△PQG是直角三角形；[解]　(1)由題設(shè)得·＝－，化簡得＋＝1(|x|≠2)，【關(guān)鍵點(diǎn)1：指明斜率公式中變量隱含的范圍】所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)．(2)設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為y＝kx(k>0)．由得x＝±.記u＝，則P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直線QG的斜率為，方程為y＝(x－u)．由 得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①設(shè)G(xG，yG)，則－u和xG是方程①的解，故xG＝，由此得yG＝.從而直線PG的斜率為＝－.【關(guān)鍵點(diǎn)2：利用斜率之積為－1說明線段PQ與PG的幾何關(guān)系】所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形． 【點(diǎn)評】　(1)求曲線的軌跡時(shí)務(wù)必檢驗(yàn)幾何圖形的完備性，謹(jǐn)防增漏點(diǎn)；(2)幾何關(guān)系的證明問題常轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的運(yùn)算問題，此時(shí)常借助斜率公式、平面向量等實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化.途徑二　“換元”轉(zhuǎn)化，方便運(yùn)算高考示例方法與思維(2019·全國卷Ⅱ)已知點(diǎn)A(－2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為－.記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G，(ⅰ)△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面積的最大值． ……(ⅱ)由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝，所以△PQG的面積S＝|PQ‖PG|＝＝.【關(guān)鍵點(diǎn)1：分子分母同除以k2】設(shè)t＝k＋，則由k>0得t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號．【關(guān)鍵點(diǎn)2：整體代換，指明范圍】因?yàn)?/span>S＝在[2，＋∞)單調(diào)遞減，所以當(dāng)t＝2，即k＝1時(shí)，S取得最大值，最大值為.【關(guān)鍵點(diǎn)3：用活“對勾”函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性】因此，△PQG面積的最大值為.【點(diǎn)評】　基本不等式求最值的5種典型情況分析(1)s＝(先換元，注意“元”的范圍，再利用基本不等式)．(2)s＝≥(基本不等式)．(3)s＝(基本不等式)．(4)s＝＝(先分離參數(shù)，再利用基本不等式)．(5)s＝＝(上下同時(shí)除以k2，令t＝k＋換元，再利用基本不等式).途徑三　性質(zhì)主導(dǎo)，向量解題 高考示例方法與思維(2019·全國卷Ⅰ)已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，|AB| ＝4，⊙M過點(diǎn)A，B且與直線x＋2＝0相切．(1)若A在直線x＋y＝0上，求⊙M的半徑；(2)是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，│MA│－│MP│為定值？并說明理由.[解]　(1)因?yàn)?/span>⊙M過點(diǎn)A，B，所以圓心M在AB的垂直平分線上．【關(guān)鍵點(diǎn)1：圓的幾何性質(zhì)】由已知A在直線x＋y＝0上，且A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，【關(guān)鍵點(diǎn)2：圓的幾何性質(zhì)】所以M在直線y＝x上，故可設(shè)M(a，a)．因?yàn)?/span>⊙M與直線x＋2＝0相切，所以⊙M的半徑為r＝|a＋2|.【關(guān)鍵點(diǎn)3：直線與圓相切的幾何性質(zhì)】由已知得|AO|＝2，又⊥，【關(guān)鍵點(diǎn)4：圓的幾何性質(zhì)向量化】故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半徑r＝2或r＝6.(2)存在定點(diǎn)P(1,0)，使得|MA|－|MP|為定值．理由如下：設(shè)M(x，y)，由已知得⊙M的半徑為r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于⊥，【關(guān)鍵點(diǎn)5：圓的幾何性質(zhì)向量化】故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化簡得M的軌跡方程為y2＝4x.因?yàn)榍€C：y2＝4x是以點(diǎn)P(1,0)為焦點(diǎn)，以直線x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，所以|MP|＝x＋1.因?yàn)?/span>|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.【點(diǎn)評】　從本題可以看出，圓的幾何性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化涵蓋在整個(gè)解題過程中，向量在整個(gè)其解過程中起了“穿針引線”的作用，用活圓的幾何性質(zhì)可以達(dá)到事半功倍的效果.途徑四　設(shè)而不求，化繁為簡高考示例方法與思維(2018·全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，m)(m>0)．(1)證明：k<－；(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且＋＋＝0.證明：||，||，||成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差． [解]　(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＋＝1，＋＝1.兩式相減，并由＝k得＋·k＝0.【關(guān)鍵點(diǎn)1: “點(diǎn)差法”使直線的斜率與弦的中點(diǎn)緊緊地聯(lián)系在一起，運(yùn)算上大大簡化】由題設(shè)知＝1，＝m，于是k＝－.①由于點(diǎn)M(1，m)(m>0)在橢圓＋＝1內(nèi)，∴＋<1，解得0<m<，故k<－.(2)由題意得F(1,0)．設(shè)P(x3，y3)，則(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．由(1)及題設(shè)得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.【關(guān)鍵點(diǎn)2，設(shè)出點(diǎn)P，借助向量的建立變量間的關(guān)系，達(dá)到設(shè)而不求的目的】又點(diǎn)P在C上，所以m＝，從而P，||＝.于是||＝＝＝2－.同理||＝2－.所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.故2||＝||＋||，即||，||，||成等差數(shù)列．設(shè)該數(shù)列的公差為d，則2|d|＝|||－|||＝|x1－x2|＝.②將m＝代入①得k＝－1.所以l的方程為y＝－x＋，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋＝0.故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝.【關(guān)鍵點(diǎn)3：借用根與系數(shù)的關(guān)系，達(dá)到設(shè)而不求的目的】所以該數(shù)列的公差為或－.【點(diǎn)評】　本題(1)涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可以采用“點(diǎn)差法”求解，設(shè)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，代入橢圓方程并作差，再將弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)代入所得的差，可得直線AB的斜率；對于(2)圓錐曲線中的證明問題，常采用直接法證明，證明時(shí)常借助等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，化幾何關(guān)系為數(shù)量關(guān)系，然后借助方程思想給予解答.