2021版新高考數(shù)學(xué)一輪教師用書：第3章【經(jīng)典微課堂】——突破疑難系列1　函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第60頁)突破疑難點(diǎn)1　構(gòu)造函數(shù)證明不等式構(gòu)造法證明不等式是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明．常見的構(gòu)造方法有：(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln (x＋1)≤x(x＞－1)；(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號(hào)，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)也不易求得，因此函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解．方法高考示例思維過程直接構(gòu)造法(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝－x＋a ln x．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：＜a－2.……(2)證明：由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2－ax＋1＝0(函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0)，所以x1x2＝1.不妨設(shè)x1＜x2，則x2＞1(注意原函數(shù)的定義域).由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以＜a－2等價(jià)于－x2＋2ln x2＜0.【關(guān)鍵1：將所證不等式進(jìn)行變形與化簡】設(shè)函數(shù)g(x)＝－x＋2ln x，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減，【關(guān)鍵2：直接構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性】又g(1)＝0，從而當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)＜0，所以－x2＋2ln x2＜0，即＜a－2.【關(guān)鍵3：結(jié)合單調(diào)性得到函數(shù)最值，證明不等式】放縮構(gòu)造法(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝aex－ln x－1.(1)設(shè)x＝2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)a≥時(shí)，f(x)≥0.……(2)證明：當(dāng)a≥時(shí)，f(x)≥－ln x－1.【關(guān)鍵1：利用不等式性質(zhì)放縮，將a代換掉】設(shè)g(x)＝－ln x－1，【關(guān)鍵2：利用不等式右邊構(gòu)造函數(shù)】則g′(x)＝－.當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′(x)＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＞0.所以x＝1是g(x)的最小值點(diǎn)．【關(guān)鍵3：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值】故當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)≥g(1)＝0.【關(guān)鍵4：利用函數(shù)最值使放縮后的不等式得到證明】因此，當(dāng)a≥時(shí)，f(x)≥0.構(gòu)造雙函數(shù)法(2014·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝aex ln x＋，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)＞1.……(2)證明：由(1)知，f(x)＝ex ln x＋ex－1，從而f(x)＞1等價(jià)于x ln x＞xe－x－.【關(guān)鍵1：將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，為構(gòu)造雙函數(shù)創(chuàng)造條件】設(shè)函數(shù)g(x)＝x ln x，則g′(x)＝1＋ln x，所以當(dāng)x∈(0，)時(shí)，g′(x)＜0；當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0.故g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g()＝－.【關(guān)鍵2：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求最小值】設(shè)函數(shù)h(x)＝xe－x－，則h′(x)＝e－x(1－x).所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h′(x)＞0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)＜0.故h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，＋∞)上的最大值為h(1)＝－.【關(guān)鍵3：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求最大值】因?yàn)?/span>g(x)min＝g()＝h(1)＝h(x)max，所以當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1.【關(guān)鍵4：利用函數(shù)最值證明不等式】 突破疑難點(diǎn)2　利用分類討論法確定參數(shù)取值范圍一般地，若a＞f(x)對(duì)x∈D恒成立，則只需a＞f(x)max；若a＜f(x)對(duì)x∈D恒成立，則只需a＜f(x)min.若存在x0∈D，使a＞f(x0)成立，則只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，則只需a＜f(x0)max.由此構(gòu)造不等式，求解參數(shù)的取值范圍．常見有兩種情況，一種先利用綜合法，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之間大小關(guān)系的決定條件，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，分類后，判斷不同區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性，得到最值，構(gòu)造不等式求解；另外一種，直接通過導(dǎo)函數(shù)的式子，看出導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，通常導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)或者一次函數(shù)．方法高考示例思維過程結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x－1－a ln x.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，(1＋)(1＋)…(1＋)＜m，求m的最小值．(1)f(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)(求函數(shù)定義域).①若a≤0，因?yàn)?/span>f()＝－＋a ln 2＜0，所以不滿足題意．【關(guān)鍵1：利用原函數(shù)解析式的特點(diǎn)確定分類標(biāo)準(zhǔn)】②若a＞0，由f′(x)＝1－＝知，當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增．【關(guān)鍵2：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論】故x＝a是f(x)在(0，＋∞)上的唯一最小值點(diǎn)．由于f(1)＝0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)≥0，故a＝1.……結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx.(1)證明：f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；(2)若對(duì)于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍．……(2)由(1)知，對(duì)任意的m，f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝0處取得最小值．所以對(duì)于任意x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是即①【關(guān)鍵1：利用充要條件把不等式恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化】設(shè)函數(shù)g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.【關(guān)鍵2：直接構(gòu)造函數(shù)，并求導(dǎo)】當(dāng)t＜0時(shí)，g′(t)＜0；當(dāng)t＞0時(shí)，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故當(dāng)t∈[－1，1]時(shí)，g(t)≤0.【關(guān)鍵3：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論】故當(dāng)m∈[－1，1]時(shí)，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；當(dāng)m＞1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，知g(m)＞0，即em－m＞e－1；當(dāng)m＜－1時(shí)，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.【關(guān)鍵4：通過分類討論得到參數(shù)的取值范圍】綜上，m的取值范圍是[－1，1].由導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)直接分類討論(2014·全國卷)函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)，求a的取值范圍．……(2)當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0.【關(guān)鍵1：函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)確定分類標(biāo)準(zhǔn)】故當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)．當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－≤a＜0.【關(guān)鍵2：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合需滿足的條件，求解關(guān)于參數(shù)的不等式，得到參數(shù)的取值范圍】綜上，a的取值范圍是[－，0)∪(0，＋∞). 突破疑難點(diǎn)3　兩法破解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題兩類零點(diǎn)問題的不同處理方法：利用零點(diǎn)存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0.①直接法：判斷一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明f(a)·f(b)＜0；②分類討論法：判斷幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點(diǎn)存在性定理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)·f(b)＜0.方法高考示例思維過程直接法(2017·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ax2－ax－x ln x，且f(x)≥0.(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e－2＜f(x0)＜2－2.……(2)證明：由(1)知f(x)＝x2－x－x ln x，f′(x)＝2x－2－ln x.設(shè)h(x)＝2x－2－ln x，則h′(x)＝2－.當(dāng)x∈(0，)時(shí)，h′(x)＜0；當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0.所以h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增．【關(guān)鍵1：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】又h(e－2)＞0，h()＜0，h(1)＝0，所以h(x)在(0，)上有唯一零點(diǎn)x0，在[，＋∞)上有唯一零點(diǎn)1，【關(guān)鍵2：利用零點(diǎn)存在性定理判斷導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的位置】且當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，h(x)＞0；當(dāng)x∈(x0，1)時(shí)，h(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)＞0.因?yàn)?/span>f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)．由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0).由x0∈(0，)得f(x0)＜.【關(guān)鍵3：求二次函數(shù)值域得到f(x0)的范圍】因?yàn)?/span>x＝x0是f(x)在(0，1)上的最大值點(diǎn)，由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得f(x0)＞f(e－1)＝e－2，所以e－2＜f(x0)＜2－2.【關(guān)鍵4：利用函數(shù)最值證明不等式】分類討論法(2015·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋，g(x)＝－ln x.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y＝f(x)的切線；(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．……(2)當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)＝－ln x＜0，從而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)＜0，故h(x)在(1，＋∞)上無零點(diǎn)．【關(guān)鍵1：對(duì)x的取值分類討論，適當(dāng)放縮，判斷h(x)的符號(hào)，確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)】當(dāng)x＝1時(shí)，若a≥－，則f(1)＝a＋≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零點(diǎn)；若a＜－，則f(1)＜0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)＜0，故x＝1不是h(x)的零點(diǎn)．【關(guān)鍵2：當(dāng)x的取值固定時(shí)，對(duì)參數(shù)a的取值分類討論，確定函數(shù)值的符號(hào)得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)】當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g(x)＝－ln x＞0，所以只需考慮f(x)在(0，1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(ⅰ)若a≤－3或a≥0，則f′(x)＝3x2＋a在(0，1)上無零點(diǎn)，故f(x)在(0，1)上單調(diào)．而f(0)＝，f(1)＝a＋，所以當(dāng)a≤－3時(shí)，f(x)在(0，1)上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a≥0時(shí)， f(x)在(0，1)上沒有零點(diǎn)．(ⅱ)若－3＜a＜0，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，1)上單調(diào)遞增，故在(0，1)上，當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f()＝＋.①若f()＞0，即－＜a＜0，則f(x)在(0，1)上無零點(diǎn)；②若f()＝0，即a＝－，則f(x)在(0，1)上有唯一零點(diǎn)；③若f()＜0，即－3＜a＜－，由于f(0)＝，f(1)＝a＋，所以當(dāng)－＜a＜－時(shí)，f(x)在(0，1)上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)－3＜a≤－時(shí)，f(x)在(0，1)上有一個(gè)零點(diǎn)．【關(guān)鍵3：當(dāng)x的取值固定在一個(gè)范圍內(nèi)時(shí)，對(duì)參數(shù)a的取值分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性、最值、零點(diǎn)存在性定理得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)】綜上，當(dāng)a＞－或a＜－時(shí)，h(x)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＝－或a＝－時(shí)，h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)－＜a＜－時(shí)，h(x)有三個(gè)零點(diǎn)． 突破疑難點(diǎn)4　兩法破解由零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)問題已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍常用的方法：(1)分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分類討論法：一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．方法高考示例思維過程由導(dǎo)數(shù)特點(diǎn)分類討論(2018·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.……(2)設(shè)函數(shù)h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0，＋∞)只有一個(gè)零點(diǎn)．【關(guān)鍵1：構(gòu)造函數(shù)h(x)，將f(x)的零點(diǎn)情況轉(zhuǎn)化為h(x)的零點(diǎn)情況】(ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí)，h(x)＞0，h(x)沒有零點(diǎn)．(ⅱ)當(dāng)a＞0時(shí)，h′(x)＝ax(x－2)e－x.【關(guān)鍵2：對(duì)參數(shù)a分類討論，結(jié)合函數(shù)值判斷函數(shù)零點(diǎn)情況】當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，h′(x)＜0；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0.所以h(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．故h(2)＝1－是h(x)在(0，＋∞)的最小值．【關(guān)鍵3：分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最值】①若h(2)＞0，即a＜，h(x)在(0，＋∞)沒有零點(diǎn)；②若h(2)＝0，即a＝，h(x)在(0，＋∞)只有一個(gè)零點(diǎn)；③若h(2)＜0，即a＞，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0，2)有一個(gè)零點(diǎn)．由(1)知，當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞x2，所以h(4a)＝1－＝1－＞1－＝1－＞0.故h(x)在(2，4a)有一個(gè)零點(diǎn)．因此h(x)在(0，＋∞)有兩個(gè)零點(diǎn)．【關(guān)鍵4：對(duì)函數(shù)最小值的符號(hào)分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)情況，求出參數(shù)值】綜上，f(x)在(0，＋∞)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a＝.直接分類討論(2017·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．……(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．【關(guān)鍵1：針對(duì)f(x)解析式的特點(diǎn)，可對(duì)參數(shù)a直接分類討論】(ⅱ)若a＞0，由(1)知，當(dāng)x＝－ln a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(－ln a)＝1－＋ln a.【關(guān)鍵2：結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最小值，進(jìn)而根據(jù)最小值直接判斷零點(diǎn)的情況】①當(dāng)a＝1時(shí)，由于f(－ln a)＝0，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)a∈(1，＋∞)時(shí)，由于1－＋ln a＞0，即f(－ln a)＞0，故f(x)沒有零點(diǎn)；③當(dāng)a∈(0，1)時(shí)，1－＋ln a＜0，即f(－ln a)＜0.又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，－ln a)上有一個(gè)零點(diǎn)．設(shè)正整數(shù)n0滿足n0＞ln (－1)，則f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0.由于ln (－1)＞－ln a，因此f(x)在(－ln a，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)．【關(guān)鍵3：對(duì)參數(shù)a分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最小值判斷函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)取值范圍】綜上，a的取值范圍為(0，1).