3.集合的基本運算基本運算并集交集補集符號表示A∪B　A∩B　若全集為U，則集合A的補集為?UA圖形表示數(shù)學語言{x|　x∈A　，或x∈B　}{x|　x∈A　，且x∈B　}　{x|x∈U　，　且x?A}　運算性質A∪?＝　A　；A∪A＝　A　；A∪B＝B∪A.A∩?＝　?　；A∩A＝　A　；A∩B＝B∩A.A∪(?UA)＝　U　；A∩(?UA)＝　?　；?U(?UA)＝　A　.1.A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B.2．若集合A中含有n個元素，則它的子集個數(shù)為2n，真子集個數(shù)為2n－1，非空真子集個數(shù)為2n－2.[思考辨析]判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里打“√”，錯誤的打“×”．(1)?＝{0}．(　　)(2)空集是任何集合的子集，兩元素集合是三元素集合的子集．(　　)(3)a在集合A中，可用符號表示為a?A.(　　)(4)N?N*?Z.(　　)(5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，則A∩B＝{x|x∈R}．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×[小題查驗]1．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，則下列結論正確的是(　　 )A．{a}?A　　　　　　　　 B．a?AC．{a}∈A  D．a?A解析：D　[由題意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2，知a?A.]2．(2019·全國Ⅲ卷)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝(　　)A．{－1,0,1}  B．{0,1}C．{－1,1}  D．{0,1,2}解析：A　[本題考查了集合交集的求法，是基礎題．由題意得，B＝{x|－1≤x≤1}，則A∩B＝{－1,0,1}．故選A.]3．(2019·唐山市模擬)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2,5}，則(?UA)∪B＝(　　 )A．{3,4,5}  B．{2,3,5}C．{5}  D．{3}解析：B　[因為U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，所以?UA＝{3,5}，又B＝{2,5}，所以(?UA)∪B＝{2,3,5}．]4．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1?A，則實數(shù)a的取值范圍是　________　.解析：∵1?{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.答案：(－∞，1]5．(教材改編)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，則A∩(?UB)＝________________________________________________________________________.答案：{2,4}考點一　集合的基本概念(自主練透)[題組集訓]1．(2018·全國Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為(　　 )A．9　　　　　　　　　 B．8C．5  D．4解析：A　[∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，當x＝－1時，y＝－1,0,1；當x＝0時，y＝－1,0,1；當x＝1時，y＝－1,0,1；所以共有9個，選A.]2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝(　　 )A.  B.C．0  D．0或解析：D　[若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根．當a＝0時，x＝，符合題意；當a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，所以a的取值為0或.]3．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為　________　.解析：因為3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.當m＋2＝3，即m＝1時，2m2＋m＝3，此時集合A中有重復元素3，所以m＝1不符合題意，舍去．當2m2＋m＝3時，解得m＝－或m＝1(舍去)，此時當m＝－時，m＋2＝≠3符合題意．所以m＝－.答案：－4．已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，則(m－n) 2019＝　________　.解析：由M＝N知或∴或∴(m－n)2019＝－1或0.答案：－1或01．研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性，對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性．2．對于集合相等首先要分析已知元素與另一個集合中哪一個元素相等，分幾種情況列出方程(組)進行求解，要注意檢驗是否滿足互異性．考點二　集合間的基本關系(師生共研)[典例]　(1)已知集合A＝{x|ax＝1}, B＝{x|x2－1＝0}，若A?B，則a的取值構成的集合是(　　)A．{－1}　　　　　　　　 B．{1}C．{－1,1}  D．{－1,0,1}(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍是________________________________________________________________________．[解析]　(1)由題意，得B＝{－1,1}，因為A?B，所以當A＝?時，a＝0；當A＝{－1}時，a＝－1；當A＝{1}時，a＝1.又A中至多有一個元素，所以a的取值構成的集合是{－1,0,1}．故選D.(2)當B＝?時，有m＋1≥2m－1，則m≤2.當B≠?時，若B?A，如圖．則，解得2<m≤4.綜上，m的取值范圍為m≤4.[答案]　(1)D　(2){m| m≤4}[互動探究]本例(1)中若A＝{x|ax>1(a≠0)}，B＝{x|x2－1>0}，其它條件不變，則a的取值范圍是　________　.解析：由題意，得B＝{x|x>1，或x<－1}，對于集合A，①當a>0時，A＝.因為A?B，所以≥1.又a>0，所以0<a≤1.②當a<0時，A＝.因為A?B，所以≤－1，又a<0，所以－1≤a<0，綜上所述，0<a≤1，或－1≤a<0.答案：[－1,0)∪(0,1]　　由集合的關系求參數(shù)的關鍵點由兩集合的關系求參數(shù)，其關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系，進而轉化為參數(shù)滿足的關系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析，而且常要對參數(shù)進行討論，注意區(qū)間端點的取舍．提醒：解決兩個集合的包含關系時，要注意空集的情況．[跟蹤訓練](1) 若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}的子集只有兩個，則實數(shù)a＝　________　.解析：∵集合A的子集只有兩個，∴A中只有一個元素，即方程ax2＋ax＋1＝0只有一個根．當a＝0時方程無解．當a≠0時，Δ＝a2－4a＝0，∴a＝4.故a＝4.答案：4(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝　________　.解析：由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)．由于A?B，如圖所示，則a>4，即c＝4.答案：4考點三　集合的基本運算(多維探究)[命題角度1]　求交集、并集　1．(2018·全國Ⅰ卷)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，則A∩B＝(　　 )A．{0,2}　　　　　　　 B．{1,2}C．{0}  D．{－2，－1,0,1,2}解析：A　[根據(jù)集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}，故選A.]2．(2019·全國Ⅱ卷)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，則A∩B＝(　　)A．(－1，＋∞)  B．(－∞，2)C．(－1,2)  D．?解析：C　[A∩B＝{x|x＞－1}∩{x|x＜2}＝{x|－1＜x＜2}．][命題角度2]　集合的交、并、補的綜合運算　3．(2019·全國Ⅰ卷)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，則B∩?UA＝(　　)A．{1,6}  B．{1,7}C．{6,7}  D．{1,6,7}解析：C　[∵?UA＝{1,6,7}，∴B∩?UA＝{6,7}．][命題角度3]　利用集合的基本運算求參數(shù)的取值(范圍)　4．(2017·全國Ⅱ卷)設集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝(　　 )A．{1，－3}  B．{1,0}C．{1,3}  D．{1,5}解析：C　[由題意知x＝1是方程x2－4x＋m＝0的解，代入解得m＝3，所以x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，從而B＝{1,3}．]5．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪?RB＝R，則實數(shù)a的取值范圍是　________　.解析：?RB＝{x|x＜1，或x＞2}，要使A∪(?RB)＝R，則a≥2.答案：[2，＋∞)解集合運算問題應注意以下三點(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵．(2)對集合化簡．有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了、易于解決．(3)注意數(shù)形結合思想的應用，常用的數(shù)形結合形式有數(shù)軸、坐標系和韋恩(Venn)圖．　提醒：Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心．

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