2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做a與b的和(1)交換律：a＋b＝b＋a　；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝　a＋(b＋c　)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝ |λ||a|　；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向　相同　；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向　相反　；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝　0　(1)結(jié)合律λ(μa)＝(λμ)a；(2)分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得　b＝λa　.1.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．2．若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則＝(＋)．3．若A、B、C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則＋＋＝0?P為△ABC的重心．[思考辨析]判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號(hào)里打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．(1)若向量a，b共線，則向量a，b的方向相同．(　　 )(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.(　　 )(3)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．(　　 )(4)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān)．(　　 )(5)已知兩向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝2.(　　 )(6)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．(　　 )(7)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．(　　 )答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×　(7)√[小題查驗(yàn)]1．如圖所示，向量a－b等于(　　 )A．－4e1－2e2　　　　　 B．－2e1－4e2C．e1－3e2  D．3e1－e2解析：C　[由題圖可得a－b＝＝e1－3e2.]2．若||＝||，且＝，則四邊形ABCD的形狀為(　　 )A．平行四邊形  B．矩形C．菱形  D．等腰梯形解析：C　[因?yàn)?/span>＝，所以四邊形ABCD為平行四邊形．又因?yàn)?/span>||＝||，所以四邊形ABCD為菱形．]3．在△ABC中，＝c，＝b.若點(diǎn)D滿足＝2，則＝(　　 )A.b＋c  B.c－bC.b－c  D.b＋c解析：A　[如圖所示，可知＝＋(－)＝c＋(b－c)＝b＋c.]4．(教材改編)化簡：(1)(＋)＋＋＝　________　.(2)＋＋－＝　________　.答案：(1)　(2)05．已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝　________　.答案：－考點(diǎn)一　平面向量的基本概念(自主練透)[題組集訓(xùn)]1．給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量．②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小．③λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零．④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為(　　 )A．1　　　　　　　　　　　 B．2C．3  D．4解析：C　[①錯(cuò)誤．兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn)．②正確．因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小．③錯(cuò)誤．當(dāng)a＝0時(shí)，不論λ為何值，λa＝0.④錯(cuò)誤．當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb，此時(shí)a與b可以是任意向量．]2．給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號(hào)是　________　.解析：①不正確．兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵＝，∴||＝||且∥，又∵A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且||＝||，因此， ＝.故“＝”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件．③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要條件，而是必要不充分條件．綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.答案：②③對(duì)于向量的概念應(yīng)注意以下幾條(1)向量的兩個(gè)特征：有大小和方向，向量既可以用有向線段和字母表示，也可以用坐標(biāo)表示；(2)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量；(3)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小．考點(diǎn)二　平面向量的線性運(yùn)算(師生共研)[典例]　(1)(2014·全國Ⅰ卷)設(shè)D，E，F分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則＋＝(　　 )A.　　　　　　　　 B.C.  D.[解析]　A　[＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故選A.](2)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為　________　.[解析]　＝＋＝＋＝＋·(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.[答案]　[互動(dòng)探究]若典例(2)條件變?yōu)?/span>：若＝2，＝＋λ，則λ＝　________　.解析：∵＝＋，＝＋，∴2＝＋＋＋.又∵＝2，∴2＝＋＋＝＋＋(－)＝＋.∴＝＋，即λ＝.答案：向量的線性運(yùn)算的解題策略(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．[跟蹤訓(xùn)練](1)已知△ABC和點(diǎn)M滿足＋＋＝0，若存在實(shí)數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝(　　 )A．2  B．3 C．4  D．5解析：B　[由＋＋＝0，易得M是△ABC的重心，且重心M分中線AE的比為AM∶ME＝2∶1，∴＋＝2＝m·＝·，∴＝2，∴m＝3.](2)(2019·樂山市一模)在三角形ABC中，點(diǎn)E，F滿足＝，＝2，若＝x＋y，則x＋y＝　______　.解析：因?yàn)辄c(diǎn)E，F滿足＝，＝2，所以＝x＋y＝＋＝＋＝－＋，所以x＝－，y＝，則x＋y＝－＋＝－.答案：－考點(diǎn)三　向量共線定理及其應(yīng)用(子母變式)[母題]　設(shè)向量e1和e2不共線．若＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為　________　.[解析]　∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2，∴＝＋＝3e1－2e2.∵A，C，F三點(diǎn)共線，∴∥，從而存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ.∴3e1－2e2＝3λe1－λke2，又e1，e2是不共線的非零向量，∴因此k＝2.[答案]　2[子題1]　在本例條件下，若ke1＋e2與e1＋ke2共線．則實(shí)數(shù)k的值為　________　.解析：∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即ke1＋e2＝λe1＋λke2，∴解得k＝±1.答案：±1[子題2]　在母題條件下，如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A，C，D三點(diǎn)共線．證明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2，∴＝－2，∴與共線．又∵與有公共點(diǎn)C，∴A，C，D三點(diǎn)共線．1．共線向量定理及其應(yīng)用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值．(2)若a，b不共線，則λa＋μb＝0的充要條件是λ＝μ＝0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛．2．證明三點(diǎn)共線的方法若＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線．1．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E為BC的中點(diǎn)，則等于(　　)A.＋　　　 B.＋C.＋  D.＋解析：A　[＝＋＋＝－＋，＝＋＝＋＝＋＝＋.故選A.]2．已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)A．k＝1且c與d同向  B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向  D．k＝－1且c與d反向解析：D　[由題意可設(shè)c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.∵a，b 不共線，∴∴k＝λ＝－1.∴c與d反向．故選D.]3．D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量等于(　　)A．－＋  B．－－C.－  D.＋解析：A　[如圖，＝＋＝＋＝－＋.]4．已知向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，則“A，B，C三點(diǎn)共線”是“λ1·λ2－1＝0”的(　　)A．充分而不必要條件  B．必要而不充分條件C．充分必要條件  D．既不充分也不必要條件解析：C　[A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于，共線，根據(jù)向量共線的充要條件知，、共線，即存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于向量a，b不共線，根據(jù)平面向量的基本定理得λ1·λ＝1且λ2＝λ，消掉λ，得λ1·λ2－1＝0.故“A，B，C三點(diǎn)共線”是“λ1·λ2－1＝0”的充分必要條件．]5．(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則(　　 )A．a⊥b  B．|a|＝|b|C．a∥b  D．|a|>|b| 解析：A　[由|a＋b|＝|a－b|及平行四邊形法則得，以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的兩對(duì)角線相等，即為矩形，所以a⊥b.]6．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M為BC的中點(diǎn)，則＝(　　 )A.＋  B.＋C.＋  D.＋解析：B　[因?yàn)?/span>＝－2，所以＝2.又M是BC的中點(diǎn)，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.故選B.]7．(2020·濟(jì)寧市模擬)如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為(　　 )A．1  B．2C．3  D．4解析：B　[∵O為BC的中點(diǎn)，∴＝(＋)＝(m＋n)＝＋，∵M，O，N三點(diǎn)共線，∴＋＝1，∴m＋n＝2.]8．(2020·聊城市質(zhì)檢)設(shè)a，b不共線，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為(　　 )A．－2  B．－1C．1  D．2解析：B　[∵＝a＋b，＝a－2b，∴＝＋＝2a－b.又∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴，共線．設(shè)＝λ，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∵a，b不共線，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.]9．在平行四邊形ABCD中，＝e1，＝e2，＝ ，＝ ，則＝　________　(用e1，e2表示)．解析：如圖所示，＝－＝＋2 ＝＋＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2.答案：－e1＋e210．已知D、E、F分別為△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，且＝a，＝b，給出下列命題：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正確命題的序號(hào)為　________　.解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，＝＋＝a＋b，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，∴＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.∴正確命題為②③④.答案：②③④11．(2020·上饒市模擬)已知a，b為單位向量，且a＋b＋c＝0，則|c|的最大值為　________　.解析：因?yàn)?/span>a，b為單位向量，∴|a|＝|b|＝1，又a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|c|＝|－a－b|≤|a|＋|b|＝1＋1＝2，∴|c|的最大值為2.答案：2

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