第2講　古典概率與離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差

古典概型中事件的概率
[核心提煉]
1．古典概型的概率
P(A)＝＝.
2．互斥事件與對(duì)立事件
(1)互斥事件：A∩B為不可能事件(A∩B＝?)?事件A與事件B互斥，即事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生．
(2)互斥事件的概率加法公式：
①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)；
②P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．
(3)對(duì)立事件：A∩B為不可能事件，且A∪B為必然事件?事件A與事件B互為對(duì)立事件，即事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生．
(4)對(duì)立事件的概率公式：P(A)＝1－P(A)．
[典型例題]
(1)小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
(2)(2019·臺(tái)州高三教學(xué)質(zhì)量評(píng)估)袋子里裝有編號(hào)分別為“1，2，2，3，4，5”的6個(gè)大小、質(zhì)量相同的小球，某人從袋子中一次任取3個(gè)球，若每個(gè)球被取到的機(jī)會(huì)均等，則取出的3個(gè)球編號(hào)之和大于7的概率為(　　)
A. B. C. D.
【解析】　(1)開(kāi)機(jī)密碼的所有可能結(jié)果有：(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15種，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是，故選C.
(2)由題設(shè)取三個(gè)球的所有可能有n＝C＝＝20，其中編號(hào)之和小于或等于7的所有可能有(1，2，2)，(1，2，3)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，4)，(2，2，3)共6種，其概率P＝＝，
所以3個(gè)球編號(hào)之和大于7的概率為P′＝1－＝，
應(yīng)選答案B.
【答案】　(1)C　(2)B

解答古典概型、隨機(jī)事件概率問(wèn)題時(shí)的注意點(diǎn)
(1)解答有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí)．
(2)在求基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性．
(3)求隨機(jī)事件概率的步驟
第一步，根據(jù)題意將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和；第二步，利用古典概型計(jì)算公式計(jì)算這些彼此互斥的事件的概率；第三步，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算概率．
[注]　當(dāng)直接求解有困難時(shí)，可考慮其對(duì)立事件的概率．　
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球．從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為(　　)
A. .
C. D．1
解析：選B.從15個(gè)球中任取2個(gè)球共有C種取法，其中有1個(gè)紅球，1個(gè)白球的情況有C·C＝50(種)，
所以P＝＝.
2．將一枚硬幣連擲5次，則至少出現(xiàn)一次正面向上的概率為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)閷⒁幻队矌胚B擲5次，沒(méi)有出現(xiàn)正面向上的概率為，所以至少出現(xiàn)一次正面向上的概率為1－＝.
答案：
3．從20名男生、10名女生中任選3名參加體能測(cè)試，則選到的3名學(xué)生中既有男生又有女生的概率為_(kāi)_______．
解析：選到的學(xué)生中有男生1名、女生2名的選法有CC種，選到的學(xué)生中有男生2名、女生1名的選法有CC種，則選到的3名學(xué)生中既有男生又有女生的概率為P＝＝.
答案：

離散型隨機(jī)變量的分布列
[核心提煉]
離散型隨機(jī)變量的分布列
(1)定義：若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列，有時(shí)為了表達(dá)簡(jiǎn)單，也用等式P(X＝xi)＝p1，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)性質(zhì)
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；
②i＝1.
[典型例題]
(1)(2019·寧波市十校聯(lián)考模擬)將3個(gè)小球隨機(jī)地投入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)小盒中(每個(gè)盒子容納的小球的個(gè)數(shù)沒(méi)有限制)，則1號(hào)盒子中小球的個(gè)數(shù)ξ的分布列為_(kāi)_______．
(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
則2X＋1的分布列為_(kāi)_______，P(1

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