第1講　空間幾何體的表面積、體積及有關(guān)量的計算

[做小題——激活思維]
1．一個球的表面積是16π，那么這個球的體積為(　　)
A.π　　　B.π　　　C．16π　　　D．24π
B　[設(shè)球的半徑為R，則由4πR2＝16π，解得R＝2，所以這個球的體積為πR3＝π.]
2．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝，AA1＝4，若點P從點A出發(fā)，沿著正三棱柱的表面，經(jīng)過棱A1B1運動到點C1，則點P運動的最短路程為(　　)
A．5 B.
C．4 D．6
B　[將三棱柱展開成如圖的圖形，讓點C1與ABB1A1在同一平面內(nèi)，C1D⊥AB交A1B1
于Q，則C1Q⊥A1B1，∴A1Q＝AD＝，
兩點之間線段最短，故AC1即為所求的最短距離，
因為C1Q＝A1C1×sin 60°＝×＝，所以C1D＝＋4＝，AD＝，
所以AC1＝＝＝.]
3．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為________，體積為________．

28π　16π＋π　[由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由圖得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.V＝V柱＋V錐＝16π＋π.]
4．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為，D為BC的中點，則三棱錐A-B1DC1的體積為________．
1　[在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，∴AD⊥平面B1DC1.
∴VA-B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1.]
5．已知一個圓臺的下底面半徑為3，高為2，當(dāng)圓臺的上底面半徑r′變化時，圓臺體積的變化范圍是________．
(6π，18π)　[V圓臺＝π(r2＋rr′＋r′2)h,0＜r′＜3.
當(dāng)上底面面積為0時，圓臺變?yōu)閳A錐，V圓錐＝πr2h＝6π；
當(dāng)r′＝3時，圓臺變?yōu)閳A柱，V圓柱＝πr2h＝18π.
所以圓臺體積的變化范圍是.]
[扣要點——查缺補漏]
1．空間幾何體的表面積與體積
(1)求三棱錐的體積時，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上，如T4.
(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解.
(3)已知幾何體的三視圖，可去判斷幾何體的形狀和各個度量，然后求解表面積和體積，如T3.
2．柱、錐、臺之間的關(guān)系

3．多面體與球
(1)設(shè)球的半徑為R，球的截面圓半徑為r，球心到球的截面的距離為d，則有r＝.
(2)當(dāng)球內(nèi)切于正方體時，球的直徑等于正方體的棱長，當(dāng)球外接于長方體時，長方體的體對角線長等于球的直徑；當(dāng)球與正方體各棱都相切時，球的直徑等于正方體底面的對角線長．
(3)若正四面體的棱長為a，則正四面體的外接球半徑為a，內(nèi)切球半徑為a.



　空間幾何體的三視圖、展開圖、截面圖(5年2考)

[高考解讀]　重點考查考生的識圖能力和空間想象能力、考生對試題的研究必須經(jīng)歷從“識圖”、“想圖”到“構(gòu)圖”的過程，要通過觀察、分析、想象、判斷、計算的邏輯思維才能求解，考查了考生的直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).
(2018·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　)

A．2　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．2
切入點：圓柱的三視圖．
關(guān)鍵點：正確還原圓柱體并將側(cè)面展開，找出M，N在側(cè)面展開圖中的位置．
B　[設(shè)過點M的高與圓柱的下底面交于點O，將圓柱沿MO剪開，則M，N的位置如圖所示，連接MN，易知OM＝2，ON＝4，則從M到N的最短路徑為＝＝2.]

[教師備選題]
1．(2018·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
C　[由三視圖得到空間幾何體，如圖所示，則PA⊥平面ABCD，平面ABCD為直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝，所以△PCD為銳角三角形．所以側(cè)面中的直角三角形為△PAB，△PAD，△PBC，共3個．
故選C.]
2．(2015·北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為(　　)

A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D．2
C　[根據(jù)三視圖，可知幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐V-ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是邊長為1的正方形，VB＝1.所以四棱錐中最長棱為VD.連接BD，易知BD＝，在Rt△VBD中，VD＝＝.]


1．由三視圖還原直觀圖需遵循以下3步
(1)看視圖明關(guān)系；
(2)分部分想整體；
(3)合起來定整體．
2．解決空間幾何體表面上兩點間的最短路徑問題的常用方法：把立體圖形展為平面圖形，利用兩點之間線段最短進行求解．

1．(由三視圖還原幾何體)某四棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是等腰直角三角形，俯視圖的輪廓是直角梯形，則該四棱錐的各側(cè)面面積的最大值為(　　)

A．8　　　　B．4　　　　C．8　　　　D．12
D　[由三視圖可知該幾何體是一個底面為直角梯形，高為4的四棱錐，如圖，其中側(cè)棱PA⊥平面ABCD，PA＝4，AB＝4，BC＝4，CD＝6，所以AD＝2，PD＝6，PB＝4，連接AC，則AC＝4，所以PC＝4，顯然在各側(cè)面面積中△PCD的面積最大，又PD＝CD＝6，所以PC邊上的高為＝2，所以S△PCD＝×4×2＝12，故該四棱錐的各側(cè)面面積的最大值為12.故選D.]
2.(側(cè)面展開圖)如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4 m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處．若該小蟲爬行的最短路程為4 m，則圓錐底面圓的半徑等于________m.
　[把圓錐側(cè)面沿過點P的母線展開成如圖所示的扇形，
由題意OP＝4，PP′＝4，則cos∠POP′＝＝－，所以∠POP′＝.
設(shè)底面圓的半徑為r，則2πr＝×4，
所以r＝.]
3．(截面問題)已知圓錐的底面直徑為，母線長為1，過圓錐的頂點，作圓錐的截面，則截面面積的最大值為________．
　[由于圓錐的底面直徑為，母線長為1，設(shè)圓錐軸截面的頂角為α，則cos α＝＝－.
又α∈(0，π)，∴α＝.因此截面面積的最大值為×1×1×sin ＝.]

　空間幾何體的表面積和體積(5年18考)

[高考解讀]　空間幾何體的表面積和體積是每年的必考內(nèi)容，題型既有選擇題也有解答題，以往多與三視圖綜合考查，由于新課標對三視圖不作要求，對表面積和體積的考查也以單一考點的形式出現(xiàn)在高考試題中.
角度一：空間幾何體的表面積
1．(2018·全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　)
A．12π　　　B．12π　　　C．8π　　　D．10π
切入點：過直線O1O2的平面截該圓柱所得的軸截面是面積為8的正方形．
關(guān)鍵點：找出圓柱的底面半徑及母線的長．
B　[因為過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2×π×()2＋2π××2＝12π.]
2．(2016·全國卷Ⅲ)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　)

A．18＋36 B．54＋18
C．90 D．81
切入點：多面體的三視圖．
關(guān)鍵點：正確還原幾何體．
B　[由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱．
由題意可知該幾何體底面邊長為3，高為6，所以側(cè)棱長為＝3.故該幾何體的表面積S＝32×2＋(3×6)×2＋(3×3)×2＝54＋18.]
角度二：空間幾何體的體積
3．[一題多解](2017·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　)

A．90π B．63π C．42π D．36π
切入點：三視圖．
關(guān)鍵點：割補法求體積．
B　[法一(割補法)：如圖所示，由幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得．

將圓柱補全，并將圓柱體從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.
故選B.
法二(估值法)：由題意，知V圓柱＜V幾何體＜V圓柱．又V圓柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V幾何體＜90π.觀察選項可知只有63π符合．
故選B.]
4．(2019·全國卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.
切入點：E、F、G、H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.
關(guān)鍵點：正確求出四棱錐的體積．
118．8　[由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，
對角線長分別為6 cm和4 cm，
故V挖去的四棱錐＝××4×6×3＝12(cm3)．
又V長方體＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的體積為
V長方體－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)，
所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．]
5.(2019·全國卷Ⅱ)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)證明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱錐E-BB1C1C的體積．
切入點：ABCD為正方形，BE⊥EC1.
關(guān)鍵點：①線面垂直判定定理的應(yīng)用；②正確求出四棱錐E-BB1C1C的高．
[解]　(1)證明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，
所以BE⊥平面EB1C1.
(2)由(1)知∠BEB1＝90°.
由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，
故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.
如圖，作EF⊥BB1，垂足為F，則EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.
所以四棱錐E-BB1C1C的體積
V＝×3×6×3＝18.

[教師備選題]
1．(2015·全國卷Ⅱ)一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(　　)
A.　 B.
C. D.
D　[由已知三視圖知該幾何體是由一個正方體截去了一個“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐．設(shè)正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為
V1＝××1×1×1＝，
剩余部分的體積V2＝13－＝.
所以＝＝，故選D.]
2．(2017·全國卷Ⅱ)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)證明：直線BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面積為2，求四棱錐P-ABCD的體積．
[解]　(1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因為∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.
(2)如圖，取AD的中點M，連接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.
因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.
因為CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.
設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.
如圖，取CD的中點N，連接PN，則PN⊥CD，
所以PN＝x.
因為△PCD的面積為2，所以×x×x＝2.
解得x＝－2(舍去)或x＝2.
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.
所以四棱錐P-ABCD的體積V＝××2＝4.


1．求幾何體的表面積的方法
(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點．
(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得所給幾何體的表面積.
2．求空間幾何體體積的常用方法
公式法
直接根據(jù)常見柱、錐、臺等規(guī)則幾何體的體積公式計算
等積法
根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求出一些體積比等
割補法
把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a形，轉(zhuǎn)化為可計算體積的幾何體


1．(組合體的表面積)某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖的下半部分曲線為半圓弧，則該幾何體的表面積為________．

5π＋16＋2　[由三視圖可知該幾何體是一個正三棱柱和一個半圓柱的組合體，三棱柱的兩個側(cè)面面積之和為2×4×2＝16，兩個底面面積之和為2××2×＝2；半圓柱的側(cè)面積為π×4＝4π，兩個底面面積之和為2××π×12＝π，所以幾何體的表面積為5π＋16＋2.]
2．(等體積轉(zhuǎn)換)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，點P在棱CC1上，則三棱錐P-ABA1的體積為________．

　[由題意，得V三棱錐P-ABA1＝V三棱錐C-ABA1＝V三棱錐A1-ABC＝S△ABC·AA1＝××32×3＝.]
　球與幾何體的切、接問題(5年5考)

[高考解讀]　球與幾何體的切、接問題是高考的?？伎键c，難度偏高，主要考查考生將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的能力，體現(xiàn)了考生的空間想象邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
角度一：球與多面體的切、接問題
1．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　)
A．12　　 　B．18　　 　C．24　　 　D．54
切入點：①△ABC為等邊三角形；
②S△ABC＝9.
關(guān)鍵點：求出△ABC的邊長及點D到平面ABC的距離的最大值．
B　[如圖，E是AC中點，M是△ABC的重心，O為球心，連接BE，OM，OD，BO.因為S△ABC＝AB2＝9，所以AB＝6，BM＝BE＝＝2.易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝＝2，所以當(dāng)D，O，M三點共線且DM＝OD＋OM時，三棱錐D－ABC的體積取得最大值，且最大值Vmax＝S△ABC×(4＋OM)＝×9×6＝18.故選B.
]
2．(2016·全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　)
A．4π B. C．6π D.
切入點：①球在直三棱柱ABC-A1B1C1的內(nèi)部；
②AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3.
關(guān)鍵點：求出最大球的半徑．
B　[設(shè)球的半徑為R，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.
當(dāng)球與直三棱柱的三個側(cè)面相切時，有(6＋8＋10)×R＝×6×8，此時R＝2；
當(dāng)球與直三棱柱兩底面相切時，有2R＝3，此時R＝.
所以在封閉的直三棱柱中，球的最大半徑只能為，故最大體積V＝π3＝.]
角度二：球與旋轉(zhuǎn)體的切、接問題
3．(2017·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(　　)
A．π B. C. D.
切入點：圓柱的兩個底面在直徑為2的同一個球的球面上．
關(guān)鍵點：確定圓柱底面圓的半徑．
B　[設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形．
∴r＝＝.
∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝.
故選B.]
4．(2017·江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________．
切入點：球與圓柱相切．
關(guān)鍵點：確定內(nèi)切球的半徑．
　[設(shè)球O的半徑為R，
∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，
∴圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R.
∴＝＝.]
[教師備選題]
1．(2015·全國卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點．若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　)
A．36π　　　B．64π　　　C．144π　　　D．256π
C　[如圖，設(shè)球的半徑為R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2.
∵VO-ABC＝VC-AOB，而△AOB面積為定值，
∴當(dāng)點C到平面AOB的距離最大時，VO-ABC最大，
∴當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點時，體積VO-ABC最大為×R2×R＝36，
∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π×62＝144π.故選C.]
2．(2017·全國卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________．
C　[如圖，連接OA，OB.
由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC.
由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.
設(shè)球O的半徑為r，則
OA＝OB＝r，SC＝2r，
∴三棱錐S-ABC的體積
V＝×·OA＝，
即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.]


解決與球有關(guān)的切、接問題的策略
(1)“接”的處理：
①構(gòu)造正(長)方體，轉(zhuǎn)化為正(長)方體的外接球問題.
②空間問題平面化，把平面問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，作出適當(dāng)截面(過球心，接點等).
③利用球心與截面圓心的連線垂直于截面定球心所在直線.
(2)“切”的處理：
①體積分割法求內(nèi)切球半徑.
②作出合適的截面(過球心，切點等)，在平面上求解，
③多球相切問題，連接各球球心，轉(zhuǎn)化為處理多面體問題.

1．(外接球)已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球面上，PC是球O的直徑．若平面PCA⊥平面PCB，PA＝AC，PB＝BC，三棱錐P-ABC的體積為a，則球O的體積為(　　)
A．2πa B．4πa C.πa D.πa
B　[設(shè)球O的半徑為R，因為PC為球O的直徑，PA＝AC，PB＝BC，所以△PAC，△PBC均為等腰直角三角形，點O為PC的中點，連接AO，OB(圖略)，所以AO⊥PC，BO⊥PC，因為平面PCA⊥平面PCB，平面PCA∩平面PCB＝PC，所以AO⊥平面PCB，所以V三棱錐P-ABC＝·S△PBC·AO＝××AO＝××R＝R3＝a，所以球O的體積V＝πR3＝4πa.故選B.]
2．(內(nèi)切球)四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是 (　　)
A．6 B．5 C. D.
D　[過點P作PH⊥平面ABCD于點H.由題意知，四棱錐P-ABCD是正四棱錐，內(nèi)切球的球心O應(yīng)在四棱錐的高PH上．過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖，其中PE，PF是斜高，M為球面與側(cè)面的一個切點．設(shè)PH＝h，易知Rt△PMO∽Rt△PHF，所以＝，即＝，解得h＝(h＝0舍去)，故選D.]
3．(折疊問題)一張半徑為1＋的圓形包裝紙，按照如圖所示的實線裁剪，并按虛線折疊為各棱長都相等的四棱錐，折疊所成的四棱錐外接球的表面積為________．

8π　[如圖，連接OE，與AD交于I，
設(shè)正方形ABCD的邊長為2x，則EI＝x，
則x＋x＝1＋，即x＝1.

設(shè)外接球的球心為Q，半徑為R，可得OC＝，OP＝＝，R2＝(－R)2＋()2.
∴R＝，∴該四棱錐的外接球的表面積S＝4πR2＝8π.
故答案為8π.]

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