課時分層作業(yè)(十一) 基本不等式的應用


(建議用時：40分鐘)





一、選擇題


1．若a＞1，則a＋eq \f(1,a－1)的最小值是( )


A．2 B．a(chǎn)


C．eq \f(2\r(a),a－1) D．3


D [∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋eq \f(1,a－1)＝a－1＋eq \f(1,a－1)＋1≥


2eq \r( ?a－1?·\f(1,a－1))＋1＝3．]


2．已知f(x)＝x＋eq \f(1,x)－2(x0，求a2＋eq \f(16,b?a－b?)的最小值．


[解] ∵a>b>0，


所以b(a－b)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋a－b,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(a2,4)，


∴a2＋eq \f(16,b?a－b?)≥a2＋eq \f(64,a2)≥16．


當且僅當eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝a－b，,a2＝8，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2\r(2)，,b＝\r(2)))時取等號．


故a2＋eq \f(16,b?a－b?)的最小值為16．


10．為了改善居民的居住條件，某城建公司承包了棚戶區(qū)改造工程，按合同規(guī)定在4個月內(nèi)完成．若提前完成，則每提前一天可獲2 000元獎金，但要追加投入費用；若延期完成，則每延期一天將被罰款5 000元．追加投入的費用按以下關系計算：6x＋eq \f(784,x＋3)－118(千元)，其中x表示提前完工的天數(shù)，試問提前多少天，才能使公司獲得最大附加效益？(附加效益＝所獲獎金－追加費用)


[解] 設城建公司獲得的附加效益為y千元，由題意得


y＝2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(784,x＋3)－118))＝118－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(784,x＋3)))


＝118－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4?x＋3?＋\f(784,x＋3)－12))


＝130－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4?x＋3?＋\f(784,x＋3)))


≤130－2eq \r(4?x＋3?·\f(784,x＋3))＝130－112＝18(千元)，


當且僅當4(x＋3)＝eq \f(784,x＋3)，即x＝11時取等號．


所以提前11天，能使公司獲得最大附加效益．





1．若－40，y>0且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，


∴x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)


≥4＋2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，當且僅當eq \f(4y,x)＝eq \f(x,y)，


即x＝4，y＝2時取等號，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，


即8>m2＋2m，解得－4

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