（山東專用）2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第四講平面向量的綜合應(yīng)用學(xué)案（含解析）

第四講　平面向量的綜合應(yīng)用ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知識(shí)梳理·雙基自測(cè) 知識(shí)點(diǎn)一　向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)用向量解決常見(jiàn)平面幾何問(wèn)題的技巧：問(wèn)題類型所用知識(shí)公式表示線平行、點(diǎn)共線等問(wèn)題共線向量定理a∥b?__a＝λb__?__x1y2－x2y1＝0__，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直問(wèn)題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)a⊥b?__a·b＝0__?__x1x2＋y1y2＝0__，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量夾角問(wèn)題數(shù)量積的定義cos θ＝____(θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量長(zhǎng)度問(wèn)題數(shù)量積的定義|a|＝____＝____，其中a＝(x，y)，a為非零向量用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟：平面幾何問(wèn)題向量問(wèn)題解決向量問(wèn)題解決幾何問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)二　向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問(wèn)題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體．知識(shí)點(diǎn)三　向量與相關(guān)知識(shí)的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))、解析幾何結(jié)合，常通過(guò)向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問(wèn)題．1．若G是△ABC的重心，則＋＋＝0.2．若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(－B，A)與直線l平行．題組一　走出誤區(qū)1．(多選題)下列命題正確的是(　ACD　)A．若∥，則A，B，C三點(diǎn)共線B．在△ABC中，若·<0，則△ABC為鈍角三角形C．向量，，中三終點(diǎn)A、B、C共線，則存在實(shí)數(shù)α，β，使得＝α＋β，且α＋β＝1D．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)定點(diǎn)A(－2，－1)，B(0,10)，C(8,0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足：＝＋t(＋)，t∈R，則點(diǎn)P的軌跡方程是x－y＋1＝0題組二　走進(jìn)教材2．(必修4P119A組T12改編)設(shè)向量a＝(cos θ，2)，b＝(－1，sin θ)，若a⊥b，則sin 2θ＝____.[解析]　∵a＝(cos θ，2)，b＝(－1，sin θ)，且a⊥b.∴a·b＝－cos θ＋2sin θ＝0，∴tan θ＝.∴sin 2θ＝＝＝.3．(必修4P119B組T13改編)平面四邊形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，則四邊形ABCD是(　C　)A．矩形　　 B．正方形　　C．菱形　　 D．梯形[解析]　因?yàn)?/span>＋＝0，所以＝－＝，所以四邊形ABCD是平行四邊形．又(－)·＝·＝0，所以四邊形對(duì)角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形．4．(必修4P108B組T5改編)已知在正方形ABCD中，＝，＝，則在方向上的投影為(　A　)A．4　　 B．　　C．2　　 D．[解析]　設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則由已知可得C(4,4)，E(2,0)，F(0,1)，所以＝(－2，－4)，＝(－4，－3)，則在方向上的投影為＝＝4，故選A．題組三　考題再現(xiàn)5．(2017·北京)已知點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2,0)，O為原點(diǎn)，則·的最大值為_(kāi)_6__.[解析]　方法一：由題意知，＝(2,0)，令P(cos α，sin α)，則＝(cos α＋2，sin α)，·＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故·的最大值為6.方法二：由題意知，＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，則·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故·的最大值為6.6．(2019·天津)在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且AE＝BE，則·＝__－1__.[解析]　方法一：△AEB為等腰三角形，易得|BE|＝2，所以＝＋＝－，則·＝(－)·(－)＝－2－2＋·＝－10－12＋21＝－1.方法二：如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，垂直BC且過(guò)點(diǎn)B的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B(0,0)，易知E(－2,0)，A(－3，)，又BD＝＝，所以D(2，)，于是＝(2，)，＝(1，－)，所以·＝(2，)·(1，－)＝2－3＝－1.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究 考點(diǎn)一　向量與平面幾何——師生共研例1　(2018·天津，8)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則·的最小值為(　A　)A．　　 B．　　C．　　 D．3[解析]　本題主要考查數(shù)量積的綜合應(yīng)用．解法一：如圖，以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B(，)，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，∴·＝(－1，t)·(－，t－)＝t2－t＋，∵t∈[0，]，∴當(dāng)t＝－＝時(shí)，·取得最小值，(·)min＝－×＋＝.故選A．解法二：令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝，∵＝＋λ，∴＝＋＝＋＋λ，又·＝0，∴·＝(＋λ)·(＋＋λ)＝·＋||2＋λ·＋λ2||2＝3λ2－λ＋.當(dāng)λ＝－＝時(shí)，·取得最小值.故選A．[方法總結(jié)]　向量的最值問(wèn)題常用數(shù)形結(jié)合的方法和函數(shù)的思想方法求解，建立函數(shù)關(guān)系時(shí)，可用平面向量基本定理，也可利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算．名師點(diǎn)撥　?平面幾何問(wèn)題的向量解法(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決．(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解．〔變式訓(xùn)練1〕(2020·安徽皖南八校聯(lián)考)在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，則·的最大值為(　B　)A．－　　 B．－　　C．－　　 D．－[解析]　由題意可知＝－＝(1－x)－，＝－＝(1－y)－，又x＋y＝1，∴＝－＋x，又||＝||＝1，·＝，∴·＝[(1－x)－]·(－＋x)＝＝≤－(當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào))故選B．考點(diǎn)二　向量在解析幾何中的應(yīng)用——師生共研例2　已知直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝2交于A，B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn)，C是圓上一點(diǎn)，若＋＝，則a的值為(　A　)A．±1　　 B．±　　C．±　　 D．±2[解析]　因?yàn)?/span>A，B，C均為圓x2＋y2＝2上的點(diǎn)，故||＝||＝||＝，因?yàn)?/span>＋＝，所以(＋)2＝2，即2＋2·＋2＝2，即4＋4cos ∠AOB＝2，故∠AOB＝120°.則圓心O到直線AB的距離d＝·cos 60°＝＝，則|a|＝1，即a＝±1.故選A．名師點(diǎn)撥　?向量在解析幾何中的“兩個(gè)”作用：①載體作用，向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題；②工具作用，利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問(wèn)題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題常常是比較優(yōu)越的方法．〔變式訓(xùn)練2〕(2017·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上，若·≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是__[－5，1]__.[解析]　設(shè)P(x，y)，由·≤20，易得2x－y＋5≤0.由解得或令M(－5，－5)，N(1,7)，由2x－y＋5≤0得P點(diǎn)在圓左邊弧上，結(jié)合限制條件－5≤x≤5，可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為[－5，1]．考點(diǎn)三　向量與其他知識(shí)的交匯——師生共研例3　(2020·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上第四次月考)已知向量a＝(sin x，－1)，b＝(cos x，－)，函數(shù)f(x)＝(a＋b)·a－2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，其中A為銳角，a＝，c＝1，且f(A)＝1，求△ABC的面積S.[解析]　(1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2＝sin2x＋1＋sin xcos x＋－2＝＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin (2x－)，則－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)．解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．(2)f(A)＝sin (2A－)＝1，∵A∈(0，)，∴2A－∈(－，)，∴2A－＝，∴A＝.又a2＝b2＋c2－2bccos A，∴b＝2，從而S＝bcsin A＝.名師點(diǎn)撥　?平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模或者其他向量的表達(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值．〔變式訓(xùn)練3〕(2020·廣東華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考)在△ABC中，邊a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且滿足bcos C＝(3a－c)cos B，若·＝4，則ac的值為(　A　)A．12　　 B．11　　C．10　　 D．9[解析]　在△ABC中，∵bcos C＝(3a－c)cos B，由正弦定理可得sin B·cos C＝(3sin A－sin C)cos B，∴3sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C，∴3sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C，∴3sin Acos B＝sin (B＋C)．又sin (B＋C)＝sin A，∴3sin Acos B＝sin A．在△ABC中，sin A≠0，故cos B＝.∵·＝4，∴accos B＝4，即ac＝12.故選A．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名師講壇·素養(yǎng)提升 三角形的四“心”及三角形形狀的判定例4　(1)點(diǎn)P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若·＝·＝·，則點(diǎn)P是△ABC的(　D　)A．外心　　 B．內(nèi)心　　C．重心　　 D．垂心(2)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的(　B　)A．外心　　 B．內(nèi)心　　C．重心　　 D．垂心(3)已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的(　B　)A．重心　　 B．垂心　　C．內(nèi)心　　 D．外心(4)已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的(　A　)A．重心　　 B．垂心　　C．內(nèi)心　　 D．外心[解析]　(1)由·＝·，得·－·＝0，即·(－)＝0，即·＝0，則PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P為△ABC的垂心．故選D．(2)因?yàn)?/span>是向量方向上的單位向量，設(shè)與方向上的單位向量分別為e1和e2，又－＝，則原式可化為＝λ(e1＋e2)，則由菱形的基本性質(zhì)可知AP平分∠BAC，選B．(3)由條件，得＝λ(＋)從而·＝λ(＋)＝λ[＋]＝λ(－||＋||)＝0，得⊥，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的垂心．故選B．另解：作AD⊥BC于D，則＋＝＋＝＋＝(＋).∴與共線，故點(diǎn)P必過(guò)△ABC的垂心．(4)由正弦定理得＝，即||·sin B＝||sin C，∴－＝λ(＋)，即＝(＋)＝(其中M為BC的中點(diǎn))，∴P∈AM，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的重心，故選A．另解：作AD⊥BC于D，則＋＝(＋)＝(其中M為BC的中點(diǎn))，即與共線，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定過(guò)△ABC的重心，選A．名師點(diǎn)撥　?三角形各心的概念介紹(1)重心：三角形的三條中線的交點(diǎn)；O是△ABC的重心?＋＋＝0；(2)垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)；O是△ABC的垂心?·＝·＝·；(3)外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)(三角形外接圓的圓心)．O是△ABC的外心?||＝||＝||(或2＝2＝2)；(4)內(nèi)心：三角形的三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)(三角形內(nèi)切圓的圓心)；O是△ABC的內(nèi)心?·(－)＝·(－)＝·(－)＝0.注意：向量λ(＋)(λ≠0)所在直線過(guò)△ABC的內(nèi)心(是∠BAC的角平分線所在直線)．例5　(2020·駐馬店質(zhì)檢)若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為(　C　)A．正三角形　　 B．直角三角形C．等腰三角形　　 D．等腰直角三角形[分析]　通過(guò)向量運(yùn)算從算式中消掉O.[解析]　由題意知·(＋)＝0.所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形，故選C．[引申]　(1)若條件改為“|－|＝|＋－2|”結(jié)果如何？(2)若條件改為“2＝·＋·＋·”結(jié)果如何？[解析]　(1)＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|?|＋|2＝|－|2?·＝0，∴三角形為直角三角形，故選B．(2)∵2＝·＋·＋·，∴(－)＝(－)，∴·＝2，∴(＋)＝0，即·＝0∴⊥，即C＝.∴△ABC為直角三角形，故選B．名師點(diǎn)撥　?三角形形狀的判斷在△ABC中，①若||＝||，則△ABC為等腰三角形；②若·＝0，則△ABC為直角三角形；③若·<0，則△ABC為鈍角三角形；④若·>0，·>0，且·>0，則△ABC為銳角三角形；⑤若|＋|＝|－|，則△ABC為直角三角形；⑥若(＋)·＝0，則△ABC為等腰三角形．〔變式訓(xùn)練4〕(1)若P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)．①若(－)·(－)＝0，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必過(guò)△ABC的__垂心__.②若＝＋λ(＋)(λ≥0)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必過(guò)△ABC的__重心__.③若2＝2－2·，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必過(guò)△ABC的__外心__.(2)已知非零向量與滿足(＋)·＝0且·＝，則△ABC為(　D　)A．三邊均不相等的三角形　　 B．直角三角形C．等腰非等邊三角形　　 D．等邊三角形[解析]　(1)①由題意知·＝0，∴AP⊥BC，∴動(dòng)點(diǎn)P必過(guò)△ABC的垂心；②由題意知＝λ(＋)＝2λ(M為BC中點(diǎn))∴P、A、M共線，∴P必過(guò)△ABC的重心；③2·＝2－2＝(－)·(＋)＝·(＋)，即2·＝·(＋)，∴·(2－－)＝·(＋)＝0.∴以，為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線互相垂直．∴點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，∴P必過(guò)△ABC的外心．(2)因?yàn)榉橇阆蛄?/span>與滿足(＋)·＝0，所以∠BAC的平分線垂直于BC，所以AB＝AC.又cos ∠BAC＝·＝，所以∠BAC＝.所以△ABC為等邊三角形．故選D．