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第2課時(shí) 三角恒等變換的應(yīng)用

題型一三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合

【典例1】已知函數(shù)f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))(x∈R)．

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合．

[思路導(dǎo)引] 先降冪，再用輔助角公式化為Asin(ωx＋φ)的形式，從而研究三角函數(shù)的性質(zhì)．

[解] (1)∵f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))

＝eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))＋1－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))

＝2eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))－\f(1,2)cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))))＋1

＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))－\f(π,6)))＋1

＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，

∴f(x)的最小正周期為T＝eq \f(2π,2)＝π.

(2)當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝1，

有2x－eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，

∴所求x的集合為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x＝kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)).

(1)為了研究函數(shù)的性質(zhì)，往往要充分利用三角變換公式轉(zhuǎn)化為正弦型(余弦型)函數(shù)，這是解決問(wèn)題的前提．

(2)解此類題時(shí)要充分運(yùn)用兩角和(差)、二倍角公式、輔助角轉(zhuǎn)換公式消除差異，減少角的種類和函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)，為討論函數(shù)性質(zhì)提供保障．

[針對(duì)訓(xùn)練]

1．已知函數(shù)f(x)＝2eq \r(3)sin(x－3π)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,2)))－1，x∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值；

(2)若f(x0)＝eq \f(6,5)，x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求cs2x0的值．

[解] f(x)＝eq \r(3)(2sinxcsx)＋(2cs2x－1)

＝eq \r(3)sin2x＋cs2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).

(1)f(x)的最小正周期為π；最大值為2，最小值為－1.

(2)由(1)可知f(x0)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6))).

又∵f(x0)＝eq \f(6,5)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5).

由x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，得2x0＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))，

∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6))))＝－eq \f(4,5)，

cs2x0＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))－\f(π,6)))

＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))cseq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(π,6)))sineq \f(π,6)

＝eq \f(3－4\r(3),10).

題型二三角恒等變換在實(shí)際生活中的應(yīng)用

【典例2】有一塊以O(shè)為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD開(kāi)辟為綠地，使其一邊AD落在半圓的直徑上，另外兩點(diǎn)B，C落在半圓的圓周上，已知半圓的半徑長(zhǎng)為a，如何選擇關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)A，D的位置，可以使矩形ABCD的面積最大？

[思路導(dǎo)引] 在△AOB中利用∠AOB表示OA，AB的長(zhǎng)，然后表示出矩形面積：2OA·OB，從而得到面積與角間的函數(shù)關(guān)系，再通過(guò)求函數(shù)的最值得到面積的最值．

[解] 畫出圖象如右圖所示，設(shè)∠AOB＝θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，

則AB＝asinθ，OA＝acsθ.

設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S＝2OA·AB，即S＝2acsθ·asinθ＝a2·2sinθcsθ＝a2sin2θ.

∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2θ∈(0，π)，當(dāng)2θ＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,4)時(shí)，Smax＝a2，此時(shí)，A，D距離O點(diǎn)都為eq \f(\r(2),2)a.

解決實(shí)際問(wèn)題應(yīng)首先設(shè)定主變量角α以及相關(guān)的常量與變量，建立含有角α的三角函數(shù)關(guān)系式，再利用三角函數(shù)的變換、性質(zhì)等進(jìn)行求解．求三角函數(shù)最值的問(wèn)題，一般需利用三角函數(shù)的有界性來(lái)解決．

[針對(duì)訓(xùn)練]

2.某工人要從一塊圓心角為45°的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接長(zhǎng)方形桌面，若扇形的半徑長(zhǎng)為1 m，求割出的長(zhǎng)方形桌面的最大面積(如右圖)．

[解] 連接OC，設(shè)∠COB＝θ，則0°

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