第一講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)


考點(diǎn)一　三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系
1．三角函數(shù)的定義
若角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(x，y)，則sinα＝，cosα＝，tanα＝(其中r＝)．
2．誘導(dǎo)公式
(1)sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)，cos(2kπ＋α)＝cosα(k∈Z)，tan(2kπ＋α)＝tanα(k∈Z)．
(2)sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝＝tanα.
(3)sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.
(4)sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.
(5)sin＝cosα，cos＝sinα，
sin＝cosα，cos＝－sinα.
3．基本關(guān)系
sin2x＋cos2x＝1，tanx＝.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2018·山東壽光一模)若角α的終邊過(guò)點(diǎn)A(2,1)，則
sin＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
[解析]　根據(jù)三角函數(shù)的定義可知cosα＝＝，則sin＝－cosα＝－，故選A.
[答案]　A
2．已知sin＝，則cos＝(　　)
A．－ B. C. D．－
[解析]　cos＝cos
＝sin＝sin
＝－sin＝－sin＝－.
[答案]　A
3．已知P(sin40°，－cos140°)為銳角α終邊上的點(diǎn)，則α＝(　　)
A．40° B．50° C．70° D．80°
[解析]　∵P(sin40°，－cos140°)為角α終邊上的點(diǎn)，因而tanα＝＝＝＝tan50°，又α為銳角，則α＝50°，故選B.
[答案]　B
4．(2018·福建泉州質(zhì)檢)已知θ為第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，則tanθ＝________.
[解析]　由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因?yàn)棣葹榈谒南笙藿?，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－.
[答案]?。?br /> [快速審題]　(1)看到終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，想到三角函數(shù)的定義．
(2)看到三角函數(shù)求值，想到誘導(dǎo)公式及切弦互化．

誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用策略
(1)已知角求值問(wèn)題，關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解．轉(zhuǎn)化過(guò)程中注意口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的應(yīng)用．
(2)對(duì)給定的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值時(shí)，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的式子，結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
考點(diǎn)二　三角函數(shù)的圖象與解析式
1．“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象
設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點(diǎn)、連線可得．
2．兩種圖象變換





[解析]　(1)∵f(x)＝cos＝sin＝sin，∴只需將函數(shù)g(x)＝sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到f(x)的圖象．故選C.
(2)由＝π－π＝，得T＝π，
又知T＝，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
又知f＝－2，∴2sin＝－2，
即sin＝－1.∴π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)．
∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又∵－0)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置．
(2)在圖象變換過(guò)程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換，變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度和方向．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．[原創(chuàng)題]將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)先伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝sinx的圖象，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
[解析]　解法一：將函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，則函數(shù)變?yōu)閥＝sin，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)為y＝sin＝sin＝sinx，又ω>0，所以又－≤φ0)在某一區(qū)間的最值時(shí)，將ωx＋φ視為整體，借助正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．[角度1](2018·內(nèi)蒙古赤峰二中三模)已知函數(shù)f(x)＝2sin－1，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　)
A．f(x)的最小正周期為π
B．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)
C．f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)
D．函數(shù)f(x)的圖象可由g(x)＝2sin2x－1的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
[解析]　對(duì)于函數(shù)f(x)＝2sin－1，由于它的最小正周期為π，故A項(xiàng)正確；當(dāng)x＝時(shí)，f(x)＝2sin－1＝1，函數(shù)取得最大值，故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)，故B項(xiàng)正確；當(dāng)x在區(qū)間上時(shí)，2x－∈，故f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，故C項(xiàng)正確；由于把g(x)＝2sin2x－1的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝2sin2－1＝2sin－1的圖象，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D.
[答案]　D
2．[角度2](2018·河南濮陽(yáng)一模)先將函數(shù)f(x)＝sinx的圖象上的各點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的(其中ω∈N*)，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的最大值為_(kāi)_______．
[解析]　由題意易知g(x)＝sin在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有k∈Z，即12k－4≤ω≤8k＋，k∈Z.
由12k－4≤8k＋可得k≤，當(dāng)k＝1時(shí)，ω∈，所以正整數(shù)ω的最大值為9.
[答案]　9


1．(2018·天津卷)將函數(shù)y＝sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)(　　)
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
[解析]　將y＝sin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝sin＝sin2x，令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以y＝sin2x的遞增區(qū)間為(k∈Z)，當(dāng)k＝1時(shí)，y＝sin2x在上單調(diào)遞增，故選A.
[答案]　A
2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是減函數(shù)，則a的最大值是(　　)
A. B. C. D．π
[解析]　f(x)＝cosx－sinx＝cos，
由題意得a>0，故－a＋

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