第一講　直線與圓



考點(diǎn)一　直線的方程
1．兩條直線平行與垂直的判定
若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．
2．兩個(gè)距離公式
(1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.
(2)點(diǎn)(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2018·東北三校聯(lián)考)過點(diǎn)(5,2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是(　　)
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
[解析]　當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，由題意可得直線方程為2x－5y＝0；當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出其截距式為＋＝1，再由過點(diǎn)(5,2)即可解出2x＋y－12＝0，故選B.
[答案]　B
2．直線l過點(diǎn)(2,2)，且點(diǎn)(5,1)到直線l的距離為，則直線l的方程是(　　)
A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0
C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0
[解析]　由已知，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，所以＝，解得k＝3，所以直線l的方程為3x－y－4＝0，故選C.
[答案]　C
3．(2018·湖北孝感五校聯(lián)考)已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(　　)
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
[解析]　設(shè)A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x，y)，則解得即A′(4，－2)，∴直線A′C即BC所在直線的方程為y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.又知點(diǎn)C在直線y＝2x上，聯(lián)立解得則C(2,4)，故選C.
[答案]　C
4．(2018·湖南東部十校聯(lián)考)經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線方程為________________________．
[解析]　解法一：由方程組解得
即交點(diǎn)為，
∵所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直，
∴所求直線的斜率為k＝.
由點(diǎn)斜式得所求直線方程為y－＝，
即4x－3y＋9＝0.
解法二：由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x－3y＋m＝0，
由方程組可解得交點(diǎn)為，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直線方程為4x－3y＋9＝0.
解法三：由題意可設(shè)所求直線的方程為(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①
又因?yàn)樗笾本€與直線3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0
所以λ＝2，代入①式得所求直線方程為4x－3y＋9＝0.
[答案]　4x－3y＋9＝0
[快速審題]　看到直線方程的求解，想到直線方程的五種形式，想到每種形式的適用條件．



　求直線方程的兩種方法
(1)直接法：選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，由題設(shè)條件直接求出方程中系數(shù)，寫出結(jié)果．
(2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的一個(gè)條件設(shè)出直線方程，使方程中含有待定系數(shù)，再由題設(shè)條件構(gòu)建方程，求出待定系數(shù)．
考點(diǎn)二　圓的方程
1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2＋y2＝r2.
2．圓的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以為圓心，為半徑的圓．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．(2018·福建漳州模擬)圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程為(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
[解析]　∵點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)為P′(y，x)，
∴(1,2)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)為(2,1)，
∴圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1，故選A.
[答案]　A
2．(2018·廣東珠海四校聯(lián)考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
[解析]　由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)，則有＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1.故圓心坐標(biāo)為(1，－1)，半徑r＝＝，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2，故選B.
[答案]　B
3．(2018·重慶一模)若P(2,1)為圓(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為(　　)
A．x－y－1＝0 B．2x－y－3＝0
C．x＋y－3＝0 D．2x＋y－5＝0
[解析]　圓心C的坐標(biāo)為(1,0)，所以直線PC的斜率為kPC＝＝1，所以直線AB的斜率為－1，故直線AB的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，故選C.
[答案]　C
4．[原創(chuàng)題]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________________________________．
[解析]　解法一：由題意得：半徑等于＝＝≤ ≤，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1時(shí)取等號(hào)，所以半徑最大為r＝，所求圓為(x－1)2＋y2＝2.
解法二：直線mx－y－2m－1＝0過定點(diǎn)(2，－1)，當(dāng)切點(diǎn)為(2，－1)時(shí)圓的半徑最大，此時(shí)半徑r＝＝，故所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝2.
[答案]　(x－1)2＋y2＝2
[快速審題]　看到圓的方程，想到圓心與半徑，看到含參數(shù)的直線方程，想到直線是否過定點(diǎn)．

　求圓的方程的兩種方法
(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程．
(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程，一般采用待定系數(shù)法．
考點(diǎn)三　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
1．判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法
(1)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式Δ來討論位置關(guān)系：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ

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