二次函數(shù)
知識點(diǎn)：
1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)的性質(zhì)
(1)拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是軸.

(2)函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系.

① 時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

② 當(dāng)時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)

3.二次函數(shù) 的圖像是對稱軸平行于(包括重合)軸的拋物線.

4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中

.

5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：
①；②；③；④；⑤.

6.拋物線的五要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)、與x軸交點(diǎn)、與y軸交點(diǎn).
① 決定拋物線的開口方向：
當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同；越大，開口越小。

②平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.

③求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法
(1)公式法：，∴頂點(diǎn)是，
對稱軸是直線.

(2)配方法：運(yùn)用配方法將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對稱軸是.

(3)運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線
的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

④拋物線與x軸有無交點(diǎn)的判定情況
⑴
⑵
⑶
⑤拋物線與y軸的交點(diǎn) ()
★用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失★

9.拋物線中，的作用
(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.

(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線,故：
①時(shí)，對稱軸為軸；②(即、同號)時(shí),對稱軸在軸左側(cè)；
③(即、異號)時(shí),對稱軸在軸右側(cè). （左同右異）

(3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.
當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，)：
①，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); ②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.
以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 .
10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：
函數(shù)解析式
開口方向
對稱軸
頂點(diǎn)坐標(biāo)

當(dāng)時(shí)
開口向上
當(dāng)時(shí)
開口向下
(軸)
(0,0)

(軸)
(0, )


(,0)


(,)


()

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

(3)交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.

12.直線與拋物線的交點(diǎn)

(1)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).
(2)平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)
同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(3)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組
的解的數(shù)目來確定：
①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn);
②方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn).
(4)拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故

13．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

(1)一元二次方程就是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)y的值為0時(shí)的情況．
(2)二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)時(shí)自變量的值，即一元二次方程的根．
(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸沒有交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根

14、二次函數(shù)圖象的對稱
二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)

1. 關(guān)于軸對稱
關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；
關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；

2. 關(guān)于軸對稱
關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；
關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；
3. 關(guān)于原點(diǎn)對稱
關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是；
關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是；
4. 關(guān)于頂點(diǎn)對稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）
關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是；
關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是．
5. 關(guān)于點(diǎn)對稱
關(guān)于點(diǎn)對稱后，得到的解析式是
根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式．
15.二次函數(shù)的應(yīng)用：
(1)二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大(小)值；
(2)二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；
運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決實(shí)際問題中的最大(小)值．
15.解決實(shí)際問題時(shí)的基本思路：(1)理解問題；(2)分析問題中的變量和常量；(3)用函數(shù)表達(dá)式表示出它們之間的關(guān)系；(4)利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；(5)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，對問題加以拓展等．

重難點(diǎn)：
二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，用二次函數(shù)解決實(shí)際問題。
考點(diǎn)：
二次函數(shù)在中考中占有很重要的地位，是中考中的必考內(nèi)容。中考的主要命題點(diǎn)為：（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式（2）拋物線的頂點(diǎn)、開口方向和對稱軸（3）二次函數(shù)的最大（?。┲担?）拋物線（a≠0）與a,b,c的符號（5）二次函數(shù)與一元二次方程（6）二次函數(shù)的簡單實(shí)際問題等。題型主要有選擇題、填空題、解答題，還有探究題和開放題。有關(guān)二次函數(shù)的熱點(diǎn)問題仍然是函數(shù)型應(yīng)用題與方程、幾何知識、三角函數(shù)等知識綜合在一起的綜合題、探究題和開放題。


圓的基本性質(zhì)
知識點(diǎn)：
1.圓的有關(guān)概念
（1）圓心、半圓、同心圓、等圓、弦與弧。

（2）直徑是經(jīng)過圓心的弦。是圓中最長的弦。弧是圓的一部分。

2.圓周角與圓心角
（1）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
（2）圓周角與半圓或直徑：半圓或直徑所對的圓周角是直角；
圓周角所對的弦是圓的直徑。
（3）圓周角與半圓或等?。和』虻然∷鶎Φ膱A周角相等；
在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。

3.圓的對稱性
（1）圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。

（2）圓的旋轉(zhuǎn)不變性：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其他各組量分別相等。

（3）圓的軸對稱性：經(jīng)過圓心都的任意一條直線都是它的對稱軸。垂徑定理是研究有關(guān)圓的知識的基礎(chǔ)。
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。還可以概括為：如果有一條直線,1.垂直于弦；2.經(jīng)過圓心；3.平分弦（非直徑）；4.平分弦所對的優(yōu)?。?br /> 5.平分弦所對的劣弧，同時(shí)具備其中任意兩個(gè)條件，那么就可以得到其他三個(gè)結(jié)論。

4.弧長及扇形的面積
弧長公式：
圓弧是圓的一部分，若將圓周分為360份，1°的圓心角所對的弧是圓周長的，因?yàn)榘霃綖閞的圓周長是2r，所以n°的圓心角所對的弧長的計(jì)算公式為（其中，為弧長，n為弧所對的圓心角度數(shù)，r為弧所在圓的半徑）
扇形的面積公式：
1·扇形的定義：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形，如圖，和半徑OA、OB所組成的圖形是一個(gè)扇形，讀作扇形OAB
2·扇形的周長
扇形的周長等于弧長與兩半徑的長之和，即
3·扇形是圓面的一部分，若將半徑為r的圓分為360份，圓心角1°的扇形面積是圓面積的，因?yàn)榘霃綖閞的圓的面積是，所以半徑為r，圓心角為n°的扇形面積為
4·弧長為，半徑為r的扇形面積為
5·扇形面積的應(yīng)用（求圓的一部分的面積）：
5.圓錐的側(cè)面積和全面積
圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如圖，設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的半徑即為母線長l，扇形的弧長即為底面圓的周長2πr，根據(jù)扇形面積公式可知S＝·2πr·l＝πrl．因此圓錐的側(cè)面積為S側(cè)＝πrl．圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積，全面積為S全=πr2+πrl．
重點(diǎn)：
1.弦和弧的概念、弧的表示方法和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。
2.用尺規(guī)作圖法對不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓。
3.垂徑定理。（重中之重：“垂直于弦的直徑平分弦和弧”經(jīng)?？迹?br /> 4.扇形弧長和面積、圓錐側(cè)面積和體積的計(jì)算。
難點(diǎn)：
1..對“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”中的存在性和唯一性的理解
2. 圓錐側(cè)面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程需要較強(qiáng)的空間想像能力
3. 類似螞蟻爬圓錐的計(jì)算問題。
4.有關(guān)圓的無圖多解問題。
考點(diǎn)：
1 垂直于弦的直徑
2 圓周角定理及其推論
3 圓內(nèi)接四邊形
4 圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系
5 圓的性質(zhì)綜合題

相似三角形
知識點(diǎn)：
1 相似圖形
形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形.

2 比例線段的相關(guān)概念
如果選用同一單位量得兩條線段的長度分別為，
那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗桑?br />
注意：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位．

在四條線段中，如果的比等于的比，

那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．
注意：
(1) 當(dāng)兩個(gè)比例式的每一項(xiàng)都對應(yīng)相同，兩個(gè)比例式才是同一比例式．

(2)比例線段是有順序的，如果說是的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為：．
3 比例的性質(zhì)
基本性質(zhì)：
(1)；(2)．

注意：
由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如，除
了可化為，還可化為，，，，，，．

更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：

反比性質(zhì)(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)：．

合比性質(zhì)：．

注意：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間
發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：等等．
等比性質(zhì)：

如果，那么．
注意：
(1) 此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法” ，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法．

(2)應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零．

(3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．如：；其中．

4 比例線段的有關(guān)定理
平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．
推論：
(1)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例．
(2)平行于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例．
定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例，
那么這條直線平行于三角形第三邊．

5 黃金分割
把線段分成兩條線段，且使是的比例中項(xiàng)，叫做把線段黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，其中≈0.618．
6 相似三角形的概念
對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．
相似用符號“∽”表示，讀作“相似于” ．
相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))．
相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．
注意：
①對應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí)，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊．
②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．
③兩個(gè)三角形形狀一樣，但大小不一定一樣．
④全等三角形是相似比為1的相似三角形．二者的區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例．

7 相似三角形的基本定理
定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原
三角形相似．
定理的基本圖形：

用數(shù)學(xué)語言表述是：，∽．

8 相似三角形的等價(jià)關(guān)系
(1) 反身性：對于任一有∽．

(2) 對稱性：若∽，則∽．


(3) 傳遞性：若∽，且∽，則∽．

9 三角形相似的判定方法


1、 定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似．

2、 平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，

所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．


3、判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩
個(gè)三角形相似．簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．


4、判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾
角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．

5、判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，
那么這兩個(gè)三角形相似．簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似．

6、判定直角三角形相似的方法：
(1)以上各種判定均適用．

(2) 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似．

直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。
　　公式 如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：
　?。?）（AD）2=BD·DC，
　?。?）（AB）2=BD·BC ，
　?。?）（AC）2=CD·BC 。
　　
證明：在 △BAD與△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即
（AD）2=BD·DC。其余類似可證。
　　注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式（2）+（3）得：
（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2，
即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。
　　這就是勾股定理的結(jié)論。


10 相似三角形性質(zhì)
(1) 相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．

(2) 相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．


(3) 相似三角形周長的比等于相似比．

(4) 相似三角形面積的比等于相似比的平方．


(5)相似三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計(jì)算周長、邊長等．

11 相似多邊形

如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比(相似系數(shù))．

12 相似多邊形的性質(zhì)

(1)相似多邊形周長比，對應(yīng)對角線的比等于相似比．
(2)相似多邊形中對應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比．
(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方．
注意：相似多邊形問題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識是基礎(chǔ)和關(guān)鍵．

13 與位似圖形有關(guān)的概念
1. 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.
2. 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.
拓展：
（1） 位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn).
（2） 位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.
（3） 位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或共線.


14 位似圖形的性質(zhì)
位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比. 拓展：位似圖形有許多性質(zhì)，它具有相似圖形的所有性質(zhì).

15 畫位似圖形
1. 畫位似圖形的一般步驟：
（1） 確定位似中心
（2） 分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長（或截?。?
（3） 根據(jù)已知的位似比，確定所畫位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置.
（4） 順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形.
2. 位似中心的選?。?
（1） 位似中心可以在圖形外部，此時(shí)位似中心在兩個(gè)圖形中間，或在兩個(gè)圖形之外.
（2） 位似中心可取在多邊形的一條邊上.
（3） 位似中心可取在多邊形的某一頂點(diǎn)上.
說明：位似中心的選取決定了位似圖形的位置，以上位似中心位置的選取中，每一種方法都能把一個(gè)圖形放大或縮小.

16 相似三角形常見的圖形

（1） 若DE∥BC（A型和X型）則△ADE∽△ABC

（2） 射影定理 若CD為Rt△ABC斜邊上的高（雙直角圖形）
則Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；

（3）滿足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．
（4）當(dāng)或AD·AB=AC·AE時(shí)，△ADE∽△ACB．

（3） （4）
重點(diǎn)：
相似三角形的判定方法及相似三角形的有關(guān)性質(zhì)
難點(diǎn)：
相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用
考點(diǎn)：
圖形的相似是平面幾何中極為重要的內(nèi)容。中考的主要命題點(diǎn)為：
（1） 比例的性質(zhì)和黃金分割

（2） 相似三角形的定義及相似三角形的判定

（3） 相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用

（4） 相似多邊形的定義和性質(zhì)

（5） 位似圖形及其作圖等。


題型主要為選擇題、填空題、解答題等，選擇題、填空題將注重“相似三角的判定與性質(zhì)”等基礎(chǔ)知識的考查，將在解答題中加大知識的橫向與縱向聯(lián)系及應(yīng)用問題的力度。
解直角三角形
知識點(diǎn)：
一、 銳角三角函數(shù)的定義：
在中，∠C=90°，、、分別是∠A、∠B、∠C的對邊，則：

常用變形：；等，由同學(xué)們自行歸納。
二、 銳角三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：
1、 當(dāng)0°

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