時(shí)間：120分鐘 滿分：150分





一、選擇題（本大題共10小題，每題4分，共40分）


1．（4分）﹣5的倒數(shù)是（ ）


A．5 B．﹣5 C． D．﹣


2．（4分）下列運(yùn)算中，正確的是（ ）


A．5a﹣2a=3 B．（x+2y）2=x2+4y2 C．x8÷x4=x2 D．（2a）3=8a3


3．（4分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國(guó)水資源總量約為27500億立方米，居世界第六位，其中數(shù)據(jù)27500億用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）


A．2.75×108B．2.75×1012C．27.5×1013D．0.275×1013


4．（4分）如圖，將一個(gè)小球擺放在圓柱上底面的正中間，則該幾何體的俯視圖是（ ）





A．B．C．D．


5．（4分）立定跳遠(yuǎn)是小剛同學(xué)體育中考的選考項(xiàng)目之一．某次體育課上，體育老師記錄了小剛的一組立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練成績(jī)?nèi)缦卤恚?br/>

則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說(shuō)法中正確的是（ ）


A．眾數(shù)是2.45 B．平均數(shù)是2.45 C．中位數(shù)是2.5D．方差是0.48


6．（4分）某人沿斜坡坡度i=1：2的斜坡向上前進(jìn)了6米，則他上升的高度為（ ）


A．3米 B．米 C．2米 D．米


7．（4分）某廣場(chǎng)綠化工程中有一塊長(zhǎng)2千米，寬1千米的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，兩塊綠地之間既周邊留有寬度相等的人行通道（如圖），并在這些人行通道鋪上瓷磚，要求鋪瓷磚的面積是矩形空地面積的，設(shè)人行通道的寬度為x千米，則下列方程正確的是（ ）





A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 B．（2﹣3x）（1﹣2x）=1


C．（2﹣3x）（1﹣2x）=1 D．（2﹣3x）（1﹣2x）=2


8．（4分）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（ ）





A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD


9．（4分）設(shè)△ABC的一邊長(zhǎng)為x，這條邊上的高為y，y與x滿足的反比例函數(shù)關(guān)系如圖所示．當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，x+y的值為（ ）





A．4 B．5 C．5或3 D．4或3


10．（4分）已知拋物線y=ax2+bx+c（b＞a＞0）與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；②關(guān)于x的方程ax2+bx+c+2=0無(wú)實(shí)數(shù)根；③a﹣b+c≥0； ④的最小值為3．其中正確的是（ ）


A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④


二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）


11．（5分）分解因式：ax2﹣6ax+9a= ．


12．（5分）如圖所示，AB∥CD，EC⊥CD．若∠BEC=30°，則∠ABE的度數(shù)為 ．





13．（5分）如圖1，一張紙條上依次寫有10個(gè)數(shù)，如圖2，一卡片每次可以蓋住紙條上的3個(gè)數(shù)，那么隨機(jī)地用卡片蓋住的3個(gè)數(shù)中有且只有一個(gè)是負(fù)數(shù)的概率 ．





14．（5分）已知，如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于D，OD交AC的延長(zhǎng)線于E，OA=1，AE=3．則下列結(jié)論正確的有 ．


①∠B=∠CAD；②點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)；③=；④tan B=．





三、（本大題共2小題，每題8分，共16分）


15．（8分）計(jì)算：+（﹣）﹣2﹣（﹣1）0﹣2sin60°．








16．（8分）解方程：x2+4x﹣2=0．





四．（本大題共2小題，每題8分，共16分）


17．（8分）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．


（1）將△ABC向左平移7個(gè)單位后再向下平移3個(gè)單位，請(qǐng)畫出兩次平移后的△A1B1C1，若M為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（a，b），直接寫出兩次平移后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M1的坐標(biāo)；


（2）以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小，使變換后得到的△A2B2C2與△ABC對(duì)應(yīng)邊的比為1：2．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格內(nèi)畫出在第三象限內(nèi)的△A2B2C2，并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)．























18．（8分）甲、乙兩公司各為“希望工程”捐款2000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人數(shù)是甲公司人數(shù)的，問甲、乙兩公司人均捐款各多少元？

















五．（本大題共2小題，每題10分，共20分）


19．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)P是直徑AB上的一點(diǎn)（不與A重合），過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交BC于點(diǎn)Q．


（1）在線段PQ上取一點(diǎn)D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．


（2）若csB=，BP=6，AP=1，求QC的長(zhǎng)．





20．（10分）某中學(xué)廣場(chǎng)上有旗桿如圖1所示，在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量了旗桿的長(zhǎng)度．如圖2，在某一時(shí)刻，光線與水平面的夾角為72°，旗桿AB的影子一部分落在平臺(tái)上，另一部分落在斜坡上，測(cè)得落在平臺(tái)上的影長(zhǎng)BC為4米，落在斜坡上的影長(zhǎng)CD為3米，AB⊥BC，同一時(shí)刻，若1米的豎立標(biāo)桿PQ在斜坡上的影長(zhǎng)QR為2米，求旗桿AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）．














六、解答題（共1小題，滿分12分）


21．（12分）為加強(qiáng)公路的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市對(duì)居民用水實(shí)行階梯水價(jià)，居民家庭每月用水量劃分為兩個(gè)階梯，一、二階梯用水的單價(jià)之比等于1：2，如圖折線表示實(shí)行階梯水價(jià)后每月水費(fèi)y（元）與用水量x（m3）之間的函數(shù)關(guān)系，其中射線AB表示第二級(jí)階梯時(shí)y與x之間的函數(shù)關(guān)系．


（1）寫出點(diǎn)B的實(shí)際意義；


（2）求射線AB所在直線的表達(dá)式．








七、（本大題共12分）


22．（12分）若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)相同，開口大小相同，但開口方向相反，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“對(duì)稱二次函數(shù)”．


（1）請(qǐng)寫出二次函數(shù)y=2（x﹣2）2+1的“對(duì)稱二次函數(shù)”；


（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=x2﹣3x+1和y2=ax2+bx+c，若y1﹣y2與y1互為“對(duì)稱二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求出當(dāng)﹣3≤x≤3時(shí)，y2的最大值．




















八．（本大題共14分）


23．（14分）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．


（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．


（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G．


①求證：BD⊥CF；


②當(dāng)AB=4，AD=時(shí)，求線段BG的長(zhǎng)．











參考答案與試題解析





一、選擇題（本大題共10小題，每題4分，共40分）


1．（4分）﹣5的倒數(shù)是（ ）


A．5B．﹣5C．D．﹣


【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義可直接解答．


【解答】解：﹣5的倒數(shù)是﹣．


故選：D．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是倒數(shù)的定義，即乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．





2．（4分）下列運(yùn)算中，正確的是（ ）


A．5a﹣2a=3B．（x+2y）2=x2+4y2C．x8÷x4=x2D．（2a）3=8a3


【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、完全平方公式、同底數(shù)冪的除法、積的乘方，即可解答．


【解答】解：A、5a﹣2a=3a，故錯(cuò)誤；


B、（x+2y）2=x2+4xy+4y2，故錯(cuò)誤；


C、x8÷x4=x4，故錯(cuò)誤；


D、正確；


故選：D．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合并同類項(xiàng)、完全平方公式、同底數(shù)冪的除法、積的乘方，解決本題的關(guān)鍵是熟記合并同類項(xiàng)、完全平方公式、同底數(shù)冪的除法、積的乘方．





3．（4分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國(guó)水資源總量約為27500億立方米，居世界第六位，其中數(shù)據(jù)27500億用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）


A．2.75×108B．2.75×1012C．27.5×1013D．0.275×1013


【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．


【解答】解：將27500億用科學(xué)記數(shù)法表示為：2.75×1012．


故選：B．


【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．





4．（4分）如圖，將一個(gè)小球擺放在圓柱上底面的正中間，則該幾何體的俯視圖是（ ）





A．B．C．D．


【分析】根據(jù)俯視圖是從上邊看得到的圖形，可得答案．


【解答】解：從上邊看是一個(gè)實(shí)線的同心圓，


故選：C．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，俯視圖是從上邊看得到的圖形．





5．（4分）立定跳遠(yuǎn)是小剛同學(xué)體育中考的選考項(xiàng)目之一．某次體育課上，體育老師記錄了小剛的一組立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練成績(jī)?nèi)缦卤恚?br/>

則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說(shuō)法中正確的是（ ）


A．眾數(shù)是2.45B．平均數(shù)是2.45C．中位數(shù)是2.5D．方差是0.48


【分析】利用方差的定義、以及眾數(shù)和中位數(shù)的定義分別計(jì)算得出答案．


【解答】解：A、如圖表所示：眾數(shù)是2.5，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；


B、平均數(shù)是：（2.35+2.4+2.45×2+2.5×5+2.55）=2.47（m），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；


C、中位數(shù)是：=2.5，故此選項(xiàng)正確；


D、方差為：[（2.35﹣2.225）2+（2.4﹣2.225）2+…+（2.55﹣2.225）2]


=（0.015625+0.030625+0.050625+0.378125+0.105625）


=0.0580625，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；


故選：C．


【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中位數(shù)以及方差以及眾數(shù)的定義等知識(shí)，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．





6．（4分）某人沿斜坡坡度i=1：2的斜坡向上前進(jìn)了6米，則他上升的高度為（ ）


A．3米B．米C．2米D．米


【分析】由坡度定義可得位置升高的高度即為坡角所對(duì)的直角邊．根據(jù)題意可得tan∠A=，AB=10m，可解出直角邊BC，即得到位置升高的高度．


【解答】解：由題意得，BC：AC=1：2．


∴BC：AB=1：．


∵AB=6m，


∴BC=m．


故選B．





【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查坡度的定義和解直角三角形的應(yīng)用，注意畫出示意圖會(huì)使問題具體化．





7．（4分））某廣場(chǎng)綠化工程中有一塊長(zhǎng)2千米，寬1千米的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，兩塊綠地之間既周邊留有寬度相等的人行通道（如圖），并在這些人行通道鋪上瓷磚，要求鋪瓷磚的面積是矩形空地面積的，設(shè)人行通道的寬度為x千米，則下列方程正確的是（ ）





A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1B．（2﹣3x）（1﹣2x）=1C．（2﹣3x）（1﹣2x）=1D．（2﹣3x）（1﹣2x）=2


【分析】根據(jù)題意分別表示出矩形綠地的長(zhǎng)和寬，再由鋪瓷磚的面積是矩形空地面積的，即矩形綠地的面積=矩形空地面積，可列方程．


【解答】解：設(shè)人行通道的寬度為x千米，


則矩形綠地的長(zhǎng)為：（2﹣3x），寬為（1﹣2x），


由題意可列方程：2×（2﹣3x）（1﹣2x）=×2×1，


即：（2﹣3x）（1﹣2x）=1，


故選：A．


【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問題列方程的能力，分析題意準(zhǔn)確抓住相等關(guān)系是解方程的關(guān)鍵．





8．（4分）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（ ）





A．AB=ADB．AC=BDC．AD=BCD．AB=CD


【分析】由點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得EF=GH=AB，EH=FG=CD，又由當(dāng)EF=FG=GH=EH時(shí)，四邊形EFGH是菱形，即可求得答案．


【解答】解：∵點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，


∴EF=GH=AB，EH=FG=CD，


∵當(dāng)EF=FG=GH=EH時(shí)，四邊形EFGH是菱形，


∴當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形EFGH是菱形．


故選：D．


【點(diǎn)評(píng)】此題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)、菱形的判定以及三角形中位線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．





9．（4分）設(shè)△ABC的一邊長(zhǎng)為x，這條邊上的高為y，y與x滿足的反比例函數(shù)關(guān)系如圖所示．當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，x+y的值為（ ）





A．4B．5C．5或3D．4或3


【分析】根據(jù)圖象得出xy=4，進(jìn)而利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出x，y的值即可得出答案．


【解答】解：由反比例函數(shù)的圖象得xy=4，當(dāng)?shù)妊苯恰鰽BC的斜邊為底時(shí)，該底邊上的高為這個(gè)底的一半，


即x=2y，2y2=4，


解得：y=，


則x=2，


∴x+y=3；


當(dāng)?shù)妊苯恰鰽BC的一條直角邊為底時(shí)，該底邊上的高為另一條直角邊，


即x=y，y2=4，


解得：y=2，


則x=2，


∴x+y=4，


綜上知x+y的值為4或3．


故選：D．


【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象，正確分類討論得出x，y的值是解題關(guān)鍵．





10．（4分）已知拋物線y=ax2+bx+c（b＞a＞0）與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；②關(guān)于x的方程ax2+bx+c+2=0無(wú)實(shí)數(shù)根；③a﹣b+c≥0； ④的最小值為3．其中正確的是（ ）


A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④


【分析】利用拋物線的對(duì)稱軸方程x=﹣＜0可對(duì)①進(jìn)行判斷；拋物線與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)且拋物線開口向上，則y≥0，則可對(duì)②③進(jìn)行判斷；當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=4a﹣2b+c≥0，變形得到 a+b+c≥3（b﹣a），則利用b＞a＞0得到≥3，則可對(duì)D進(jìn)行判斷．


【解答】解：∵b＞a＞0，


∴拋物線的對(duì)稱軸x=﹣＜0，所以①正確；


∵拋物線與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，


而拋物線開口向上，


∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c=﹣2無(wú)實(shí)數(shù)根，所以②正確；


∵a＞0及拋物線與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，


∴x取任何值時(shí)，y≥0，


∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，a﹣b+c≥0；所以③正確；


當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=4a﹣2b+c≥0，


∴a+b+c≥3b﹣3a，


即a+b+c≥3（b﹣a），


而b＞a＞0，


∴≥3，所以④正確．


故選D．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．





二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）


11．（5分）分解因式：ax2﹣6ax+9a= a（x﹣3）2 ．


【分析】先提取公因式a，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．


【解答】解：ax2﹣6ax+9a


=a（x2﹣6x+9）﹣﹣（提取公因式）


=a（x﹣3）2．﹣﹣（完全平方公式）


故答案為：a（x﹣3）2．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底．





12．（5分）如圖所示，AB∥CD，EC⊥CD．若∠BEC=30°，則∠ABE的度數(shù)為 120° ．





【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠GEC=90°，再根據(jù)垂線的定義以及平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．


【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，則EG∥CD，


由平行線的性質(zhì)可得∠GEC=90°，


所以∠GEB=90°﹣30°=60°，


因?yàn)镋G∥AB，


所以∠ABE=180°﹣60°=120°．


故答案為：120°．





【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和垂直的概念等，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．





13．（5分）如圖1，一張紙條上依次寫有10個(gè)數(shù)，如圖2，一卡片每次可以蓋住紙條上的3個(gè)數(shù)，那么隨機(jī)地用卡片蓋住的3個(gè)數(shù)中有且只有一個(gè)是負(fù)數(shù)的概率 ．





【分析】從蓋住開始三個(gè)數(shù)開始到最后三個(gè)數(shù)共有8種等可能的結(jié)果，再找出蓋住的3個(gè)數(shù)中有且只有一個(gè)是負(fù)數(shù)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．


【解答】解：用卡片隨機(jī)地蓋住紙條上的3個(gè)數(shù)，共有8個(gè)等可能結(jié)果．其中有且只有一個(gè)是負(fù)數(shù)的結(jié)果有4個(gè)，


所以所求的概率==．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．





14．（5分）已知，如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于D，OD交AC的延長(zhǎng)線于E，OA=1，AE=3．則下列結(jié)論正確的有 ①③④ ．


①∠B=∠CAD；②點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)；③=；④tan B=．





【分析】①依據(jù)同角的余角相等即可得出結(jié)論；②依據(jù)△ECD∽△EDA，求得CE=≠AE，即可得出點(diǎn)C不是AE的中點(diǎn)；③由△ECD∽△EDA，得=，根據(jù)△ACD∽△BAD，可得=，進(jìn)而得出=；④根據(jù)tanB===，即可得出結(jié)論．


【解答】解：∵AB為直徑，


∴∠ADB=90°，


∴∠B+∠DAB=90°，


∵∠CAD+∠DAB=90°，


∴∠B=∠CAD，故①正確；


∵∠CAD=∠B=∠ODB=∠CDE，∠E=∠E，


∴△ECD∽△EDA，


∴=，


∵OA=1，AE=3，


∴OE=，ED=﹣1，


∴=，


∴CE=≠AE，


即點(diǎn)C不是AE的中點(diǎn)，故②不正確；


由△ECD∽△EDA，得=，


在Rt△ABC中，AD⊥BC，


∴△ACD∽△BAD，


∴=，


∴=，故③正確；


tanB====，故④正確．


故答案為：①③④．





【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理以及解直角三角形的運(yùn)用，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合．





三、（本大題共2小題，每題8分，共16分）


15．（8分）計(jì)算：+（﹣）﹣2﹣（﹣1）0﹣2sin60°．


【分析】原式利用二次根式性質(zhì)，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果．


【解答】解：原式=2+4﹣1﹣2×=+3．


【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．





16．（8分）（2012?遂寧）解方程：x2+4x﹣2=0．


【分析】先移項(xiàng)，得x2+4x=2，再在兩邊同時(shí)加上22，再利用平方法即可解出原方程．


【解答】解：移項(xiàng)，得x2+4x=2，


兩邊同加上22，得x2+4x+22=2+22，


即（x+2）2=6，


利用開平方法，得或，


∴原方程的根是，．


【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用，難度適中．





四．（本大題共2小題，每題8分，共16分）


17．（8分）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．


（1）將△ABC向左平移7個(gè)單位后再向下平移3個(gè)單位，請(qǐng)畫出兩次平移后的△A1B1C1，若M為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（a，b），直接寫出兩次平移后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M1的坐標(biāo)；


（2）以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小，使變換后得到的△A2B2C2與△ABC對(duì)應(yīng)邊的比為1：2．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格內(nèi)畫出在第三象限內(nèi)的△A2B2C2，并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)．





【分析】（1）找出三角形平移后各頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；根據(jù)平移的規(guī)律即可寫出點(diǎn)M平移后的坐標(biāo)；


（2）根據(jù)位似變換的要求，找出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接各點(diǎn)即可．


【解答】解：（1）所畫圖形如下所示，其中△A1B1C1即為所求，根據(jù)平移規(guī)律：左平移7個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，可知M1的坐標(biāo)（a﹣7，b﹣3）；


（2）所畫圖形如下所示，其中△A2B2C2即為所求，點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．





【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移變換和位似變換后圖形的畫法，解題關(guān)鍵是根據(jù)變換要求找出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．





18．（8分）甲、乙兩公司各為“希望工程”捐款2000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人數(shù)是甲公司人數(shù)的，問甲、乙兩公司人均捐款各多少元？


【分析】首先根據(jù)題意，設(shè)甲公司人均捐款x元，則乙公司人均捐款x+20元，然后根據(jù)：甲公司的人數(shù)×=乙公司的人數(shù)，列出方程，求出x的值，即可求出甲、乙兩公司人均捐款各多少元．


【解答】解：設(shè)甲公司人均捐款x元，則乙公司人均捐款x+20元，


×=


解得：x=80，


經(jīng)檢驗(yàn)，x=80為原方程的根，


80+20=100（元）


答：甲、乙兩公司人均捐款分別為80元、100元．


【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，要熟練掌握，列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答，必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等．





五．（本大題共2小題，每題10分，共20分）


19．（10分）（2013?太原）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)P是直徑AB上的一點(diǎn)（不與A重合），過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交BC于點(diǎn)Q．


（1）在線段PQ上取一點(diǎn)D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．


（2）若csB=，BP=6，AP=1，求QC的長(zhǎng)．





【分析】（1）連結(jié)OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根據(jù)QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，則∠1+∠2=90°，再利用平角的定義得到∠DCO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；


（2）連結(jié)AC，由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，根據(jù)余弦的定義得csB===，可計(jì)算出BC=，在Rt△BPQ中，利用余弦的定義得csB==，可計(jì)算出BQ=10，然后利用QC=BQ﹣BC進(jìn)行計(jì)算即可．


【解答】解：（1）CD與⊙O相切．理由如下：


連結(jié)OC，如圖，


∵OC=OB，


∴∠2=∠B，


∵DQ=DC，


∴∠1=∠Q，


∵QP⊥PB，


∴∠BPQ=90°，


∴∠Q+∠B=90°，


∴∠1+∠2=90°，


∴∠DCO=180°﹣∠1﹣∠2=90°，


∴OC⊥CD，


而OC為⊙O的半徑，


∴CD為⊙O的切線；





（2）連接AC，如圖，


∵AB為⊙O的直徑，


∴∠ACB=90°，


在Rt△ABC中，csB===，


而BP=6，AP=1，


∴BC=，


在Rt△BPQ中，csB==，


∴BQ==10，


∴QC=BQ﹣BC=10﹣=．





【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查圓周角定理的推論以及解直角三角形．





20．（10分）某中學(xué)廣場(chǎng)上有旗桿如圖1所示，在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量了旗桿的長(zhǎng)度．如圖2，在某一時(shí)刻，光線與水平面的夾角為72°，旗桿AB的影子一部分落在平臺(tái)上，另一部分落在斜坡上，測(cè)得落在平臺(tái)上的影長(zhǎng)BC為4米，落在斜坡上的影長(zhǎng)CD為3米，AB⊥BC，同一時(shí)刻，若1米的豎立標(biāo)桿PQ在斜坡上的影長(zhǎng)QR為2米，求旗桿AB的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）．





【分析】如圖作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根據(jù) =，求出CM，在RT△AMN中利用tan72°=，求出AN即可解決問題．


【解答】解：如圖，作CM∥AB交AD于點(diǎn)M，MN⊥AB于點(diǎn)N．


由題意=，即=，


∴CM=（米），


在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4米，∠AMN=72°，


∴tan 72°=，


∴AN=MN?tan 72°≈4×3.08≈12.3（米）．


∵M(jìn)N∥BC，AB∥CM，


∴四邊形MNBC是平行四邊形，


∴BN=CM=米，


∴AB=AN+BN=13.8米．





【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形、三角函數(shù)，影長(zhǎng)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．





六、解答題（共1小題，滿分12分）


21．（12分）為加強(qiáng)公路的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市對(duì)居民用水實(shí)行階梯水價(jià)，居民家庭每月用水量劃分為兩個(gè)階梯，一、二階梯用水的單價(jià)之比等于1：2，如圖折線表示實(shí)行階梯水價(jià)后每月水費(fèi)y（元）與用水量x（m3）之間的函數(shù)關(guān)系，其中射線AB表示第二級(jí)階梯時(shí)y與x之間的函數(shù)關(guān)系．


（1）寫出點(diǎn)B的實(shí)際意義；


（2）求射線AB所在直線的表達(dá)式．





【分析】（1）根據(jù)圖象的信息得出即可；


（2）首先設(shè)第一階梯用水的單價(jià)為x元/m3，則第二階梯用水單價(jià)為2x元/m3，設(shè)A（a，30）結(jié)合圖象可得方程組，解方程組可得a、x的值，


再設(shè)出解析式，利用待定系數(shù)法求出即可．


【解答】解：（1）圖中B點(diǎn)的實(shí)際意義表示當(dāng)用水25m3時(shí)，所交水費(fèi)為70元；





（2）設(shè)第一階梯用水的單價(jià)為x元/m3，則第二階梯用水單價(jià)為2x元/m3，


設(shè)A（a，30），則，


解得，，


∴A（15，30），B（25，70）


設(shè)線段AB所在直線的表達(dá)式為y=kx+b，


則，


解得，


∴線段AB所在直線的表達(dá)式為y=4x﹣30．


【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求出直線AB是解此題的關(guān)鍵．





七、（本大題共12分）


22．（12分）若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)相同，開口大小相同，但開口方向相反，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“對(duì)稱二次函數(shù)”．


（1）請(qǐng)寫出二次函數(shù)y=2（x﹣2）2+1的“對(duì)稱二次函數(shù)”；


（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=x2﹣3x+1和y2=ax2+bx+c，若y1﹣y2與y1互為“對(duì)稱二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求出當(dāng)﹣3≤x≤3時(shí)，y2的最大值．


【分析】（1）根據(jù)“對(duì)稱二次函數(shù)”的定義即可求解；


（2）根據(jù)y1﹣y2與y1互為“對(duì)稱二次函數(shù)”，求出函數(shù)y2的表達(dá)式，然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問題．


【解答】解：（1）二次函數(shù)y=2（x﹣2）2+1的“對(duì)稱二次函數(shù)”是y=﹣2（x﹣2）2+1；





（2）∵y1=x2﹣3x+1，y2=ax2+bx+c，


∴y1﹣y2=（1﹣a）x2﹣（3+b）x+1﹣c=（1﹣a）?[x﹣]2+．


又y1﹣y2與y1互為“對(duì)稱二次函數(shù)”，y1=x2﹣3x+1=（x﹣）2﹣，


∴，解得，


∴y2=2x2﹣6x+，


∴y2=2（x﹣）2，


∴y2的對(duì)稱軸為直線x=，


∵2＞0，且﹣3≤x≤3，


∴當(dāng)x=﹣3時(shí)，y2最大值=2×（﹣3）2﹣6×（﹣3）+=．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求二次函數(shù)表達(dá)式以及二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式之間的相互轉(zhuǎn)化，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了閱讀理解能力．而對(duì)新定義的正確理解是解題的關(guān)鍵．





八．（本大題共14分）


23．（14分）（2012?樂山）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．


（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．


（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G．


①求證：BD⊥CF；


②當(dāng)AB=4，AD=時(shí)，求線段BG的長(zhǎng)．





【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，易證得△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得BD=CF；


（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由對(duì)頂角相等，易證得△BMA∽△CMG，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可證得BD⊥CF；


②首先過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長(zhǎng)，繼而求得AN，CN的長(zhǎng)，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得AM=AB=，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求得線段BG的長(zhǎng)．


【解答】解（1）BD=CF成立．


理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，


∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，


∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，


∴∠BAD=∠CAF，


在△BAD和△CAF中，





∴△BAD≌△CAF（SAS）．


∴BD=CF．





（2）①證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M．


∵△BAD≌△CAF（已證），


∴∠ABM=∠GCM．


∵∠BMA=∠CMG，


∴△BMA∽△CMG．


∴∠BGC=∠BAC=90°．


∴BD⊥CF．





②過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N．


∵在正方形ADEF中，AD=DE=，


∴AE==2，


∴AN=FN=AE=1．


∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，


∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．


∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．


∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．


∴AM=AB=．


∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM===．


∵△BMA∽△CMG，


∴．


∴．


∴CG=．


∴在Rt△BGC中，BG==．





【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．





成績(jī)（m）
2.35
2.4
2.45
2.5
2.55
次數(shù)
1
1
2
5
1
成績(jī)（m）
2.35
2.4
2.45
2.5
2.55
次數(shù)
1
1
2
5
1

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