江蘇省南京市五所高中合作聯(lián)盟2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期中 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

這是一份江蘇省南京市五所高中合作聯(lián)盟2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期中 數(shù)學(xué)試卷（含解析），共11頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
2．在中，若，，，則等于（ ）
A．B．C．或D．或
3．（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，，則（ ）
A．B．
C．D．
5．若csα=?23，α∈(0,π)，則csα2的值為（ ）
A. 66B. ?66C. ±66D. 36
6．已知、，且，，則（ ）
A．B．C．或D．或
7．在斜中，設(shè)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，若是的角平分線，且，則（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在梯形中，，，，若，則（ ）

A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則
B．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，
10．關(guān)于平面向量、、，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．若非零向量、滿足，則與的夾角是
D．若向量，，則向量在向量上的投影向量為
11．下列選項(xiàng)中，值為的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，，則 .
13．已知，則 .
14．如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，若，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知向量與滿足，，與的夾角為.
(1)當(dāng)為何值時(shí)，；
(2)求向量與向量的夾角的余弦值.
16．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，且.
(1)求；
(2)已知點(diǎn)在線段上，且，求長(zhǎng).
17．若已知向量，，設(shè)函數(shù).
(1)若且，求角的大小；
(2)已知，均為銳角，，，求的值.
18．“無(wú)想山國(guó)家森林公園”位于南京市溧水區(qū)城南新區(qū)，總面積約平方千米，平均海拔米，擁有天池、無(wú)想湖等多個(gè)天然和人工湖泊，以及壯觀的松林景觀和竹海景觀，森林覆蓋率為，空氣質(zhì)量常年保持一級(jí)標(biāo)準(zhǔn).無(wú)想山景區(qū)山清水秀，文化底蘊(yùn)深厚，自古被譽(yù)為“溧水第一勝境”.為了方便市民休閑、觀光和鍛煉，溧水區(qū)政府決定在無(wú)想山腳下挖掘一個(gè)人工湖.人工湖設(shè)計(jì)呈凸四邊形形狀，記為四邊形，并規(guī)劃百米，百米.
(1)設(shè)計(jì)師發(fā)現(xiàn)無(wú)論多長(zhǎng)，為一個(gè)定值，請(qǐng)你驗(yàn)證設(shè)計(jì)師的結(jié)論，并求出這個(gè)定值；
(2)為了能容納更多的游船，人工湖的面積越大越好，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)才能使人工湖的面積最大？并求出最大值.
19．如圖，在中，，，，，.
(1)求的值；
(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若是內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，求的最小值.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】，
故選：D
2．【答案】D
【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.
【詳解】由正弦定理可得，，，
，，
或，
故選D.
3．【答案】A
【詳解】
故選：A
4．【答案】B
【詳解】
，
故選：B
5．【答案】A
【解析】∵csα=?23，∴cs2α2=csα+12=?23+12=16.
∵α∈(0,π)，∴α2∈(0,π2)，
∴csα2=66，故選A.
6．【答案】B
【詳解】、，且，，
，
，
，
，，
、，
，
，
故選： B
7．【答案】B
【詳解】解：由正弦定理可得得，

由余弦定理可得，
由于所以，
，
由于，所以，
由于，，
由余弦定理可得，
，
，，
，，
，
故選：B
8．【答案】C
【詳解】，
，
，
，，，
，
，
，
故選：C.
9．【答案】ACD
【詳解】A：若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，
則，解得，故本選項(xiàng)正確；
B：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得，
故本選項(xiàng)不正確；
C：當(dāng)時(shí)，，，故本選項(xiàng)正確；
D ：時(shí)，，
，
，
，故本選項(xiàng)正確；
故選：ACD
10．【答案】BCD
【詳解】對(duì)于A，若，則，但、的方向不一定相同，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由平面向量數(shù)量積的定義可知，，故B正確；
對(duì)于C，若非零向量、滿足，
則根據(jù)平面向量減法的幾何意義可以確定以、、為邊長(zhǎng)的三角形為等邊三角形，根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結(jié)合等邊三角形三線合一，
所以和的夾角為，故C正確；
對(duì)于D，若向量，，則，，則向量在向量上的投影向量為，故D正確，
故選：BCD
11．【答案】ABD
【詳解】A選項(xiàng)：；
B選項(xiàng)：
；
C選項(xiàng)：
；
D選項(xiàng)：因?yàn)?，可得?br>故選：ABD.
12．【答案】
【詳解】，
，
故答案為：
13．【答案】/
【詳解】
.
故答案為：.
14．【答案】
【詳解】，
，
，
，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，
故答案為：
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），,
，，
，解得，
當(dāng)時(shí)，；
（2），
，
，
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由余弦定理可得，
，，
解得；
（2）由（1）可得，
，，
在中，，，
解得.
17．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
.
18．【答案】(1)答案見解析，定值為1
(2)當(dāng)時(shí)，才能使人工湖的面積最大，最大值為
【詳解】（1）
始終為定值；
（2），
，
，
，
，
，
、，
當(dāng)時(shí)，，
.
19．【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【詳解】（1），
，
（2）設(shè)，
，
，
，
，
，
解得；
（3），
所以，
，
，
，
，
，，、、三點(diǎn)共線，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即為中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
而，
所以的最小值為.