一、選擇題
1. 下列代數(shù)式中是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．的分母中不含有字母，不是分式，故本選項不符合題意；
B. 的分母中不含有字母，不是分式，故本選項不符合題意；
C. 的分母中不含有字母，不是分式，故本選項不符合題意；
D. 的分母中含有字母，是分式，故本選項符合題意．
故選：D．
2. 若分式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依題意，，
∴，
故選：C．
3. 下列分式中，是最簡分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A選項是最簡分式，故正確；
B選項分子分母有公因式，不是最簡分式，故不正確；
C選項分子分母有公因式，不是最簡分式，故不正確；
D選項分子分母有公因式，不是最簡分式，故不正確．
故選：A．
4. 在下列圖像中，表示y是x的函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)函數(shù)的定義可知，只有B選項符合題意；
故選：B．
5. 根據(jù)物理學知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強是它的受力面積的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示，當時，該物體承受的壓強的值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)反比例函數(shù)解析式為，
由圖象得反比例函數(shù)經(jīng)過點，
，
反比例函數(shù)的解析式為，
當時，．
故選：B．
6. 一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】一次函數(shù)中的，，
它的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，
故選：C．
7. 若關(guān)于x的方程有增根，則的值是（ ）
A. 5B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】，
方程兩邊同乘以得：，
解得，
因為關(guān)于的方程有增根，
所以，即，
所以，
解得，
故選：B．
8. 我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．“其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每件椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意得：，
故選：A．
9. 雙曲線和的圖象如圖所示，點A是上一點，分別過點A作軸，軸，垂足分別為點，點，與交于點，若的面積為，則的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∵反比例函數(shù)位于第二象限，
∴，
故選：D．
10. 甲、乙兩運動員在直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步560米，先到終點的運動員原地休息．已知甲先出發(fā)1秒，兩運動員之間的距離y（米）與乙出發(fā)的時間t（秒）之間的關(guān)系如圖所示．給出以下結(jié)論：①乙運動員的速度比甲運動員每秒快1米；②乙出發(fā)后7秒追上甲；③甲乙兩運動員的最大距離是63米；④乙運動員比甲運動員早10秒到達終點．其中正確的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】A
【解析】①當時，甲已跑了1秒，跑的路程為米，
甲運動員的速度是米/秒，
乙運動員70秒跑到了終點，速度為（米/秒）；
（米/秒），
乙運動員的速度比甲運動員每秒快1米；故①正確；
②設(shè)乙出發(fā)后秒時追上甲，
當乙追上甲時，二人跑過的路程相等，得，
解得：，
乙出發(fā)后7秒追上甲，故②正確；
③由圖象可得，乙出發(fā)后秒兩人之間的距離最大，最大距離為（米），故③正確；
④乙運動員到達終點的時間為秒，
設(shè)甲運動員到達終點的時間為秒，則，
解得：，
乙運動員比甲運動員早秒到達終點，故④錯誤；
綜上所述，正確的有①②③，
故選：A．
二、填空題
11. 點在y軸上，則________．
【答案】
【解析】點在y軸上，
，
，
故答案為：．
12. 每個生物攜帶自身基因的載體是生物細胞的．分子直徑只有它們在細胞核的染色體上，按一定順序排列成螺旋形的獨特結(jié)構(gòu)．將用科學記數(shù)法表示是__________．
【答案】
【解析】，
故答案為：．
13. 點P在第二象限，距x軸2個單位長度，距y軸3個單位長度，則點P的坐標為________．
【答案】
【解析】∵點P在第二象限，距x軸2個單位長度，距y軸3個單位長度，
∴，即．
故答案為：．
14. 如圖，直線與直線相交于點，則不等式的解集為________．
【答案】
【解析】直線與直線相交于點，
∴，
解得：，
∴不等式的解集為．
故答案為：．
15. 關(guān)于的分式方程的解為非正數(shù)，則的取值范圍是________．
【答案】且
【解析】解得，，
關(guān)于的分式方程的解為非正數(shù)，
，
解得：，
，
，
，
，
的取值范圍是且，
故答案為：且．
16. 直線與軸和軸分別交于A、兩點，把射線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得射線，點是射線上一個動點，點是軸上一個動點．若與全等，則點的坐標是________．
【答案】或
【解析】將時，，
即，
當時，，
即，
當時，
可知，，
如圖，
則，，
∴，
當時，，，如圖，
，
則，，，
過點作軸于點，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
綜上所述：點的坐標是或，
故答案為：或．
三、解答題
17. 計算：．
解：
．
18. 先化簡，再求值：，其中．
解：
，
當時，原式．
19. 解方程：．
解：方程兩邊同乘以，
約去分母，得，
解得：，
檢驗：把代入得：
，
所以是原方程的解．
20. 如圖，直線y＝x+1與x軸交于點A，點A關(guān)于y軸的對稱點為A′，經(jīng)過點A′和y軸上的點B（0，2）的直線設(shè)為y＝kx+b．
（1）求點A′的坐標；
（2）確定直線A′B對應的函數(shù)表達式．
解：（1）令y＝0，則x+1＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
∵點A關(guān)于y軸的對稱點為A′，
∴A′（2，0）．
（2）設(shè)直線A′B的函數(shù)表達式為y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直線A′B對應的函數(shù)表達式為y＝﹣x+2．
21. 如圖，在平面直角坐標系中，點為原點，已知，設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點A和點．已知點A的橫坐標是，點的縱坐標是．
（1）求，的值；
（2）過點A作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第一象限交于點．過點A作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第三象限交于點．求證：，，三點共線．
解：（1）函數(shù)的圖象過點A，
當時，，
點A的坐標，
函數(shù)的圖象過點，
，，反比例函數(shù)表達式為，
當時，，點B的坐標，
函數(shù)的圖象過點，
，；
（2）由（1）得：點的坐標，點的坐標，
設(shè)直線的解析式為，得
，
解得：，
直線的解析式為，
當時，，
點在直線上，
，，三點共線．
22. 某電商公司根據(jù)市場需求購進一批A，兩種型號的電腦小音箱進行銷售，每臺型小音箱的進價比A型小音箱的進價多元，用元購進A型小音箱的臺數(shù)是用元購進型小音箱的臺數(shù)的倍．
（1）求每臺A，兩種型號的小音箱的進價．
（2）該電商公司計劃分別購進A，兩種型號的小音箱共臺進行銷售，其中A型小音箱臺數(shù)不少于型小音箱臺數(shù)的倍，A型小音箱每臺售價為元，型小音箱每臺售價為元，怎樣安排進貨才能使售完這臺小音箱所獲利潤最大？最大利潤是多少元？
解：（1）設(shè)每臺A型小音箱的進價為元，則每臺型小音箱的進價為元，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的解，且符合題意．
每臺型小音箱的進價：（元）．
答：每臺A型小音箱的進價為元，每臺型小音箱的進價為元．
（2）設(shè)購進A型小音箱臺，則購進型小音箱臺，
依題意得：，
解得：，
設(shè)利潤為元，則
，
，隨的增大而減少，
取最小值時，獲得利潤最大，
即當時，（元），
所以應購進A型小音箱臺，型小音箱臺，售完之后所獲的利潤最大，最大利潤是元．
23. 在函數(shù)的學習，我們經(jīng)歷了“函數(shù)表達式－畫函數(shù)圖象－利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)－利用圖象和性質(zhì)解決問題”的學習，我們可以借鑒這種方法探究函數(shù)的圖象性質(zhì)．
（1）根據(jù)題意，列表如下：
在所給平面直角坐標系中描點并連線，畫出該函數(shù)的圖象；
（2）觀察圖象，發(fā)現(xiàn)：
①當________時，y隨x的增大而________（填“增大”或“減少”）；
②圖象是中心對稱圖形，其對稱中心的坐標為________；
（3）函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到（不必畫圖），想象平移后得到的函數(shù)圖象，直接寫出當時，x的取值范圍是_____________．
解：（1）在所給平面直角坐標系中描點并連線，畫出該函數(shù)的圖象，如圖所示，
（2）觀察圖象，發(fā)現(xiàn)：
①當時，y隨x的增大而增大；
故答案為：1，增大．
②圖象是中心對稱圖形，其對稱中心的坐標為．
（3）函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向上平移個單位得到，
∴當時，x的取值范圍是或．
24. 如圖，在平面直角坐標系中，點分別在反比例函數(shù)和的圖象上．已知軸于點A，軸于點，原點恰好是線段的中點，連接，的面積為6，．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）是線段上的一個動點，是線段上的一個動點，試探究是否存在點使得是等腰直角三角形？若存在，求出符合條件的點、點的坐標；若不存在，請說明理由．
解：（1）點在反比例函數(shù)的圖象上，，
令，則，
，即，
原點恰好是線段的中點，
，
即，
，
，
，
，解得：，
反比例函數(shù)的解析式為．
（2）存在點，使得是等腰直角三角形．理由如下：
由（1）得：，
直線的表達式為，
是線段上的一個動點．
設(shè)．
①當，時，點與原點重合，
，；
②當，時，如圖，
，解得，
，
，，
③當，時，如圖，
過點作于點N，則，
由②的解法可求得：，，
，
，；
綜上所述：當，或，或，時，是等腰直角三角形．
25. 已知：直線．
（1）不論取何值，直線恒過定點，則的坐標是________．
（2）已知點坐標分別為、，若直線與線段AB相交，求的取值范圍；
（3）在范圍內(nèi)，任取3個自變量，、，它們對應的函數(shù)值分別為、、，若以、、為長度的3條線段能圍成三角形，求的取值范圍．
解：（1）∵，
∴恒過某一定點的坐標為，
即點的坐標為；
（2）∵點坐標分別為、，直線與線段AB相交，直線恒過某一定點，
，
解得：或；
（3）當時，直線中，隨的增大而增大，
∴當時，，
∵以、、為長度的3條線段能圍成三角形，
∴，得，
∴；
當時，直線中，隨的增大而減小，
∴當時，，
∵以、、為長度的3條線段能圍成三角形，
∴，得，
∴；
由上可得，或．

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