1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，
所以.
故選：D
2. 已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，故.
故選：B
3. 命題“，”的否定為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是特稱量詞，改量詞否定結(jié)論.
所以命題“，”的否定為“，”.
故選：D.
4. 定義在上的函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，
所以即圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，，
又在上單調(diào)遞增，所以.
故選：A
5. 已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，定義域?yàn)椋?br>，為奇函數(shù)，
又，所以在上單調(diào)遞增，
所以即，
即的取值范圍是.
故選：C
6. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)．若，則（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、，
若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，
因?yàn)?，則，
所以，，可得，
所以，，可得，
，解得，
所以，，，則，
拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以，.
故選：C.
7. 有甲、乙、丙3臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，加工的次品率分別為、、，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知甲、乙、丙臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的、、．任取一個(gè)零件，如果取到的零件是次品，則它是甲車(chē)床加工的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】記事件取到的零件為甲車(chē)床加工的，事件取到的零件為乙車(chē)床加工的，
事件取到的零件為丙車(chē)床加工的，事件取到的零件是次品，
則，，，
，，，
由貝葉斯公式可得.
因此，如果取到的零件是次品，則它是甲車(chē)床加工的概率為.
故選：C.
8. 已知向量滿足，，則取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】取，為線段的中點(diǎn)，記，則．
．
又，
點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，
長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為4，短半軸的長(zhǎng)為，
．
故選：A.
二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 一組數(shù)5，7，9，11，3，13，15的第60百分位數(shù)是11
B 若隨機(jī)變量，滿足，，則
C. 一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則
D. 某學(xué)校要從12名候選人（其中7名男生，5名女生）中，隨機(jī)選取5名候選人組成學(xué)生會(huì)，記選取的男生人數(shù)為，則服從超幾何分布
【答案】ACD
【解析】數(shù)據(jù)組為5，7，9，11，3，13，15，排序后為3，5，7，9，11，13，15.
計(jì)算第60百分位數(shù)：
根據(jù)人教版教材方法，位置計(jì)算為 ，向上取整到第5個(gè)位置，對(duì)應(yīng)數(shù)值11,因此選項(xiàng)A正確;
選項(xiàng)分析：
隨機(jī)變量，已知，根據(jù)方差性質(zhì)：
方差線性變換公式為 ，選項(xiàng)中錯(cuò)誤;
選項(xiàng)分析：
線性回歸方程 必經(jīng)過(guò)樣本均值點(diǎn),當(dāng) 時(shí)，代入方程得 ，選項(xiàng)正確;
選項(xiàng)分析：
從12名候選人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人數(shù)X服從超幾何分布H(12, 7, 5)，選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
10. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線與的右支交于、兩點(diǎn)，則（ ）
A. 直線與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)
B. 雙曲線的離心率為
C. 當(dāng)時(shí)，的面積為
D. 當(dāng)直線的斜率為，過(guò)線段的中點(diǎn)和原點(diǎn)的直線的斜率為時(shí)，
【答案】BC
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，聯(lián)立可得，
所以，直線與恰有只有一個(gè)公共點(diǎn)，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)于雙曲線，則，，，
所以，雙曲線的離心率為，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，，由雙曲線的定義可得，
由余弦定理可得，
可得，則，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，線段的中點(diǎn)為，
則，，則，
由題意可得，所以，，則，D錯(cuò).
故選：BC.
11. 設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即．當(dāng)，函數(shù)在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷時(shí)，直線，，和曲線所圍成的區(qū)域的面積為，且，則（ ）
A.
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 存在實(shí)數(shù)，使得、、成等比數(shù)列
D. 直線，，和曲線所圍成的區(qū)域的面積為
【答案】BD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，，為常數(shù)，A錯(cuò)；
對(duì)于選項(xiàng)B，，為常數(shù)，
即要證，．
設(shè)，，．
則在上單調(diào)遞減，所以．B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，，，，
要使、、成等比數(shù)列，
則．．
． ①
時(shí)，，
又．
，．
①不成立，C錯(cuò)誤．
對(duì)于選項(xiàng)D，，為常數(shù)．
D正確．
故選：BD.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 的展開(kāi)式中，各二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和之比為，則的值為_(kāi)_____．
【答案】7
【解析】根據(jù)題意，的展開(kāi)式中，各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，
再令，可得其展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，
依據(jù)題意有，解得.
故答案為：7.
13. 在中，角所對(duì)的邊分別是．若，，則______．
【答案】
【解析】由，
由即正弦定理可得，
所以，
所以，
所以.
故答案為：
14. 已知正六棱錐的高為，它的外接球的表面積是．若在此正六棱錐內(nèi)放一個(gè)正方體，使正方體可以在該正六棱錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體的棱長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】設(shè)外接球的半徑為，則，．
設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為，則，，
即正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2．
正六棱錐的底面積．
側(cè)面面積．
正六棱錐的體積．
設(shè)正六棱錐的內(nèi)切球的半徑為，
則．
．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，．
正方體的棱長(zhǎng)的最大值為．
故答案為：.
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15. 已知向量，，設(shè)函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）．
函數(shù)的最小正周期．
由，，
得，．
的單調(diào)遞減區(qū)間為，．
（2）當(dāng)時(shí)，，
結(jié)合的圖像，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，
，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍為．
16. 如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，，為線段上一點(diǎn)，且．
（1）證明：平面；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）證明：，，，故．
又面面，面面，面，
面．
面，，
又，面，，面．
（2）解：面，，四邊形為菱形，
取的中點(diǎn)為，連接，，為等邊三角形．
．又，．
又平面，．
如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，
建立空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，，，
，，．
設(shè)為面的一個(gè)法向量，
則令，則．
設(shè)為點(diǎn)到面的距離，
則．
，即或．
故存在或，滿足題意．
17. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．?dāng)?shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）解： 是等差數(shù)列，，．
又，．
等差數(shù)列的公差，
．
（2）證明：，．
又，，為常數(shù)．
是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
（3）解：由（2）得，
記，
．
18. 已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．
（1）求的方程；
（2）過(guò)的右焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交于兩點(diǎn)．
①證明：四邊形的面積為定值，并求出該定值；
②若直線的斜率存在且不為0，設(shè)線段的中點(diǎn)為，記，的面積分別為．當(dāng)時(shí)，求的最小值．
解：（1）根據(jù)題意，得，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）（?。┳C明：設(shè)四邊形的面積為，
由（1）得，橢圓的焦點(diǎn)，
因?yàn)橹本€的垂直平分線段，所以，
當(dāng)直線與軸重合時(shí)，此時(shí)，，
．
由圓的性質(zhì)知直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性知．
當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線方程為．
，，
．
，則直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，
得，解得
．
．
．
綜上所述，四邊形的面積為定值．
（ⅱ）易知，，又，
直線的斜率存在且不為0，
．
由（?。┲?br>設(shè)，則，
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)．
故的最小值為．
19. 已知函數(shù)，．
（1）求的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：；
（3）當(dāng)恰有四個(gè)零點(diǎn)，，，時(shí)，證明：．
解：（1）由題知，
令，則．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為增函數(shù)，
故，無(wú)極小值．
（2）．
令，
，故在上為減函數(shù)．
，即．
由（1）可知在上為增函數(shù)，，，
即．
（3）由（2）同理可證，當(dāng)時(shí)，．
令，得，
由題意得直線與兩條曲線，共有四個(gè)交點(diǎn)．
如圖所示，，且．
由，得．
，，且在上為增函數(shù)，
，即．．同理：．
故，即，得證．

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