一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 中，已知，則邊為（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理得，
，
所以.
故選：C.
2. 若，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
∴.
故選：D．
3. 已知非零向量滿足向量與向量的夾角為，那么下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】向量與向量夾角為，
，
，可得，∴.
故選：B．
4. 若角滿足，則角為（ ）
A. 第一或第四象限角B. 第二或第三象限角
C. 第三或第四象限角D. 第一或第三象限角
【答案】B
【解析】，所以角為第二或第三象限角.
故選：B.
5. 設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果，且，那么外接圓的半徑為（ ）
A. 2B. 4C. D. 8
【答案】A
【解析】∵，
∴，化為：.
∴，∵，∴，
∵，由正弦定理可得，
解得，即外接圓的半徑為2.
故選：A.
6. 如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10 m到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°，則塔AB的高是（ ）
A. 10 mB. 10mC. 10mD. 10m
【答案】D
【解析】在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得＝，
BC＝＝10（m）.
在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BC×tan 60°＝10（m）.
故選：D.
7. 已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，若函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則的范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
并且在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，所以，
又，得，
令，得，
所以在上的圖象與直線的第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
第二個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以，解得，
綜上所述，.
故選：.
8. 如圖，在中，，，，D為線段的中點(diǎn)，，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值與最小值的差為（ ）
A B. 5C. 3D. 4
【答案】D
【解析】如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
由題意，，，，
設(shè)，（），
設(shè)，（），
由，則，，
，
，
解得，則，
，，
又，，
因?yàn)?，所以?br>的最大值為，的最小值為，
的最大值與最小值的差為：4.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列各組向量中，不能作為基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】CD
【解析】對(duì)于A，，，設(shè)存在使得，即，
明顯不可能，則不共線，所以可以作為一組基底，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，假設(shè)，共線，則，明顯不可能，則不共線，
所以可以作為一組基底 ，故B錯(cuò)誤；
C.因，則共線，所以不可以作為一組基底，故C正確；
D. 因，則共線，所以不可以作為一組基底，故D正確.
故選：CD.
10. 已知函數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A. 的最小正周期為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的圖象與函數(shù)的圖象重合
【答案】ABD
【解析】，
對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；
對(duì)于B，由，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于C，由，則，
因?yàn)樵谏喜皇菃握{(diào)遞減，所以在上不是單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，故D正確.
故選：ABD.
11. 在中，為內(nèi)的一點(diǎn)，，則下列說法正確的是（ ）
A. 若為的重心，則
B. 若為的外心，則
C. 若為的垂心，則
D. 若為的內(nèi)心，則
【答案】BCD
【解析】在中，，，為內(nèi)的一點(diǎn)，
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，
對(duì)于選項(xiàng)A：若為的重心，則，，則，
所以，
若，由平面向量基本定理可得：，
解得，所以，故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：若為的外心，其必在直線上，
所以，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：若為的垂心，其必在上，設(shè)，
則，解得，
此時(shí)，
若，由平面向量基本定理可得：，
解得，所以，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：若為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
則，得，則，
此時(shí)，
若，由平面向量基本定理可得：，
解得，所以，即選項(xiàng)D正確．
故選：BCD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則____________.
【答案】
【解析】將兩邊平方，得，得.
13. 已知，則________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以.
14. 對(duì)集合，其中，定義向量集合，若對(duì)任意，存在，使得，則______.
【答案】5或
【解析】取，則存在使得，從而可得，即，
所以一定是一正一負(fù)（因?yàn)?不屬于集合），不妨令，則，
所以，所以，
取，則存在使得，從而可得，
若，則矛盾，故不可能同時(shí)大于0，
若，則矛盾，故不可能同時(shí)小于0，
所以必定有一正一負(fù)，
所以有：，則，或，則，
情況一：當(dāng)，時(shí)，，
從而，或（舍去，集合元素間互異），
或，即（舍去，與矛盾），
此時(shí)（這里不考慮具體與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，
因?yàn)橛杉臃ń粨Q律可知，兩個(gè)加數(shù)交換位置不影響結(jié)果），
情況一：當(dāng)，，，
從而，即（舍去，集合元素間互異），
或（舍去，集合元素間互異），或，即，
此時(shí)（這里不考慮具體與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，
因?yàn)橛杉臃ń粨Q律可知，兩個(gè)加數(shù)交換位置不影響結(jié)果），
綜上所述，或.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù).
（1）求的最小正周期；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.
解：（1）最小正周期為.
（2），
.
即在區(qū)間上的最大值為，最小值為.
16. 如圖所示，在中，D為BC邊上一點(diǎn)，且．過D點(diǎn)的直線EF與直線AB相交于E點(diǎn)，與直線AC相交于F點(diǎn)（E，F(xiàn)兩點(diǎn)不重合）．
（1）用，表示；
（2）若，，求的值．
解：（1）在中，由，
又，所以，
所以
.
（2）因?yàn)椋?br>又，，所以，，
所以，
又三點(diǎn)共線，且在線外，所以有，即.
17. 已知，其中，.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）依題意，，得到，
又，所以，，
故.
（2）因?yàn)?，所以，又?br>所以，則，
故
.
18. 在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且
（1）求角B的值；
（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.
解：（1）由，
可得，，即，
由余弦定理得：，
因?yàn)?，所?
（2）由，則，，，
所以均為銳角，在銳角中，，，
由正弦定理得：，
故，，
則
，
因?yàn)殇J角中，，
則，，解得：，
故，，
則，，
故，，
所以三角形周長(zhǎng)的取值范圍是.
19. 城市住宅小區(qū)的綠化建設(shè)是提升小區(qū)品質(zhì)?改善空氣質(zhì)量?創(chuàng)造美麗怡人的居住環(huán)境的重要組成部分.如圖1，長(zhǎng)沙市某小區(qū)居民決定在小區(qū)內(nèi)部一塊半徑長(zhǎng)為的半圓形荒地上建設(shè)一塊矩形綠化園，其中位于半圓的直徑上，位于半圓的圓弧上，記.
（1）求矩形面積關(guān)于的函數(shù)解析式，并求該矩形面積的最大值以及取得最大值時(shí)的值.
（2）部分居民提出意見，認(rèn)為這樣的綠化同建設(shè)太過單調(diào)，一名居住在本小區(qū)的設(shè)計(jì)師提出了如圖2的綠化園建設(shè)新方案：在半圓的圓弧上取兩點(diǎn)，使得，扇形區(qū)域和均進(jìn)行綠化建設(shè)，同時(shí)，在扇形內(nèi)，再將矩形區(qū)域也全部進(jìn)行綠化建設(shè)，其中分別在直線上，與平行，在扇形的圓弧上，請(qǐng)問：與（1）中的原方案相比，選擇哪一種方案所得到的綠化面積的最大值更大？
解：（1）作與平行，交于，
與平行，四邊形為矩形，
，
平分平分，
；
，
，
當(dāng)時(shí)，矩形面積最大，最大面積為.
（2）作平行于，交于于，連接，設(shè)，延長(zhǎng)交于，
平行于，交于于，
，平分平分，
又，由圓的性質(zhì)，有，
，
，
又，得到平行于，顯然四邊形為矩形，
故，而，
，
，
故矩形面積為
，
當(dāng)時(shí)，矩形面積的最大值為，
故新方案的綠化園面積最大值為
，
所以（2）中新方案的綠化面積最大值比（1）中原方案的綠化面積最大值更大.

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